考試范圍：必修二第6章 考試時間：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.
1. 化簡等于（ ）
A. B. C. D.
2. 等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知是兩個不共線的向量，向量， .若，則（ ）
A. B. C. 2D.
4. 已知向量滿足，且，則向量在向量上投影向量為（ ）
（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知向量滿足，，，則（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
6. 在中，角所對的邊分別為，且，則等于（ ）
A B. C. D.
7. 在中，，則（ ）
A. B. C. D.
8. 記的內(nèi)角的對邊分別是，已知，，則的面積為（ ）
A. 1B. 2C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知平面向量，，且，則（ ）
A. B.
C D.
11. 設(shè)是任意的非零向量，且它們相互不共線，則（ ）
A.
B. 不與垂直
C.
D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知點(diǎn)A(2，1)，B(－2，3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則點(diǎn)C坐標(biāo)為________.
13. 已知的內(nèi)角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，設(shè)向量，，若，則角B的大小為_____________.
14. 如圖所示，當(dāng)甲船位于處時獲悉，在其正東方向相距20海里的處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里處的乙船，乙船立即朝北偏東角的方向沿直線前往B處營救，則_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知平面向量
（1）若，求x的值；
（2）若，求.
16. 已知，，且與的夾角為.
（1）求；
（2）求與的夾角的余弦值.
17. 在中，已知，，.
（1）求；
（2）若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.
18. 中，已知．
（1）求證：；
（2）若，求A的值．
19. 如圖，某廣場有一塊不規(guī)則的綠地，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計的底座形狀分別為、，經(jīng)測量，，，．
（1）求的長度；
（2）若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計使建造費(fèi)用較低（請說明理由）？較低造價為多少？
2024-2025學(xué)年度昌泰高級中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考
（數(shù)學(xué)）
考試范圍：必修二第6章 考試時間：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.
1. 化簡等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算求解即可.
【詳解】
.
故選:C.
2. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的減法運(yùn)算可得答案.
【詳解】，
故選：B
3. 已知是兩個不共線的向量，向量， .若，則（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線定理結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算、平面向量基本定理求解.
【詳解】由題意，，設(shè)，即，
則，解得.
故選：A.
4. 已知向量滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的概念直接求解即可.
【詳解】因滿足，且，
所以，向量在向量上的投影向量為，
故選：D.
5. 已知向量滿足，，，則（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)模長與數(shù)量積的關(guān)系列出得的方程，解方程組即可.
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，解得.
故選：
6. 在中，角所對的邊分別為，且，則等于（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出角A，再利用三角形內(nèi)角和定理計算作答.
【詳解】在中，由余弦定理得，
而，則，
所以.
故選：B
7. 在中，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得，即，
則，故，
又，所以.
故選：B.
8. 記的內(nèi)角的對邊分別是，已知，，則的面積為（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理及余弦定理得，然后利用余弦定理結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】∵，
∴，，可得，
∵，，，
∴，
所以三角形的面積為.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由正弦定理邊角互化結(jié)合正弦函數(shù)值域可判斷選項正誤
【詳解】對于AB，注意到，又，則，然后由正弦定理邊角互化可得，故A錯誤，B正確；
對于CD，由正弦定理邊角互化，，故C正確；
，題目條件不足，無法判斷.
故選：BC
10. 已知平面向量，，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)即向量、的坐標(biāo)，求出，驗(yàn)證C選項，解出，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算驗(yàn)證A選項，向量平行的坐標(biāo)表示驗(yàn)證B選項，利用坐標(biāo)求模長驗(yàn)證D選項即可求解.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
所以
，
所以，
因?yàn)?，所以?br>整理得：，解得，故C錯誤；
所以，，故A正確；
因?yàn)?，，所以，所以，故B正確；
，故D正確.
故選：ABD
11. 設(shè)是任意的非零向量，且它們相互不共線，則（ ）
A.
B. 不與垂直
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律可計算并判斷A,B,D，利用三角形三邊關(guān)系不等式可判斷C.
【詳解】根據(jù)向量數(shù)量積的分配律可知A正確；
對于B，因?yàn)?，所以與垂直，故B錯誤；
對于C，因?yàn)椴还簿€，所以組成三角形三邊，則成立，故C正確；
根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知點(diǎn)A(2，1)，B(－2，3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________.
【答案】(04)
【解析】
【分析】由向量的坐標(biāo)表示計算即可.
【詳解】設(shè)C(x，y)，則.
由，則x＝0，y＝4.則.
故答案為：(0,4)
13. 已知的內(nèi)角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，設(shè)向量，，若，則角B的大小為_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由兩向量共線的充要條件可得三角形邊與角的關(guān)系，再利用余弦定理即可求解.
【詳解】，
由正弦定理可化簡得，
整理得.
【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的充要條件，正、余弦定理的應(yīng)用.熟練掌握并靈活運(yùn)用正、余弦定理是解題關(guān)鍵.
14. 如圖所示，當(dāng)甲船位于處時獲悉，在其正東方向相距20海里的處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里處的乙船，乙船立即朝北偏東角的方向沿直線前往B處營救，則_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理可得的值，再利用正弦定理即可求解.
【詳解】解：根據(jù)題意，,,,,
根據(jù)余弦定理,解得,
根據(jù)正弦定理，，解得.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知平面向量
（1）若，求x的值；
（2）若，求.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）直接利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列方程求解；
（2）先通過向量平行的坐標(biāo)公式求出，再通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求模.
【小問1詳解】
，，
解得或；
【小問2詳解】
，，即解得或，
當(dāng)時，，，；
當(dāng)時，，，，
或.
16. 已知，，且與的夾角為.
（1）求；
（2）求與的夾角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計算可得；
（2）首先根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)夾角公式計算可得.
【小問1詳解】
由已知可得，
所以，
所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以.
17. 在中，已知，，.
（1）求；
（2）若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；
(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.
【小問1詳解】
由余弦定理可得：
，
則，，
.
【小問2詳解】
由三角形面積公式可得，
則.
18. 在中，已知．
（1）求證：；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）見解析；（2）．
【解析】
【分析】
詳解】試題解析：(1)∵,∴,
即.
由正弦定理,得,∴.
又∵,∴.∴即.
(2)∵,∴.∴.
∴,即.∴.
由 (1) 得,解得.
∵,∴.∴.
考點(diǎn)：（1）向量的數(shù)量積的定義與正弦定理；（2）已知三角函數(shù)值，求角.
19. 如圖，某廣場有一塊不規(guī)則的綠地，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計的底座形狀分別為、，經(jīng)測量，，，．
（1）求的長度；
（2）若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計使建造費(fèi)用較低（請說明理由）？較低造價為多少？
【答案】（1）
（2）小李的設(shè)計符合要求，理由見解析；總造價為（元）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解即可.
（2）根據(jù)正弦定理面積公式得到選擇建筑環(huán)境標(biāo)志費(fèi)用較低，再計算其建造費(fèi)用即可.
【小問1詳解】
在中，由余弦定理，得．
在中，由余弦定理得．
由，得，所以，
解得，所以長度為．
【小問2詳解】
小李的設(shè)計符合要求．理由如下：
因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以，故選擇建筑環(huán)境標(biāo)志費(fèi)用較低．
因?yàn)椋允堑冗吶切?，?br>所以，
所以總造價為（元）．

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