一、高考真題匯編的意義。1、增強(qiáng)高考考生的復(fù)習(xí)動(dòng)力和信心；2、提高高考考生的復(fù)習(xí)效率；3、加深考生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握。
二、高考真題匯編的內(nèi)容。1、高考試題收錄，涵蓋了考試的各個(gè)學(xué)科；2、答案解析，加深知識(shí)點(diǎn)理解和掌握；3、復(fù)習(xí)指導(dǎo)，提高復(fù)習(xí)效率。
三、高考真題匯編的重要性。高考真題匯編不僅可以提高考生的復(fù)習(xí)動(dòng)力和信心，增強(qiáng)考生的復(fù)習(xí)效率，為高考復(fù)習(xí)提供了有力的支持。
最近5年（20-24）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（北京專用）
專題08 計(jì)數(shù)原理、概率及統(tǒng)計(jì)
考點(diǎn)01 計(jì)數(shù)原理
1．（2023·北京·高考真題）在的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（ ）
A．B．40C．D．80
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)式定理寫(xiě)出的展開(kāi)式的通項(xiàng)即可.
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
令，解得
所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.
故選：D.
2．（2024·北京·高考真題）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式，令，解出然后回代入二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)即可得解.
【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式為，
令，解得，
故所求即為.
故選：A.
3．（2022·北京·高考真題）若，則（ ）
A．40B．41C．D．
【答案】B
【分析】利用賦值法可求的值.
【詳解】令，則，
令，則，
故，
故選：B.
4．（2020·北京·高考真題）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）．
A．B．5C．D．10
【答案】C
【分析】首先寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.
【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，
令可得：，則的系數(shù)為：.
故選：C.
【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．
5．（2021·北京·高考真題）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為 ．
【答案】
【分析】利用二項(xiàng)式定理求出通項(xiàng)公式并整理化簡(jiǎn)，然后令的指數(shù)為零，求解并計(jì)算得到答案.
【詳解】
的展開(kāi)式的通項(xiàng)
令，解得，
故常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：.
考點(diǎn)02 概率
6．（2024·北京·高考真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬(wàn)元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬(wàn)元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.
(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；
(2)一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.
（i）記為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；
（ⅱ）如果無(wú)索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大小．（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)(i)0.122萬(wàn)元；(ii) 這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值大于（i）中估計(jì)值
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率;
（2）（ⅰ）設(shè)為賠付金額，則可取，用頻率估計(jì)概率后可求的分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求.
（ⅱ）先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合（1）的結(jié)果可求，從而即可比較大小得解.
【詳解】（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，
由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得.
（2）（ⅰ）設(shè)為賠付金額，則可取，
由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得，
，，
，
故
故（萬(wàn)元）.
（ⅱ）由題設(shè)保費(fèi)的變化為，
故（萬(wàn)元），
從而.
7．（2023·北京·高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同．
用頻率估計(jì)概率．
(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；
(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的．在未來(lái)的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)
(3)不變
【分析】（1）計(jì)算表格中的的次數(shù)，然后根據(jù)古典概型進(jìn)行計(jì)算；
（2）分別計(jì)算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進(jìn)行計(jì)算；
（3）通過(guò)統(tǒng)計(jì)表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進(jìn)行推斷第天的情況.
【詳解】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個(gè)，也就是有天是上漲的，
根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為：
（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，
于是未來(lái)任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是
（3）由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，
因此估計(jì)第次不變的概率最大.
8．（2022·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．
(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；
(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；
(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由頻率估計(jì)概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.
(3) 計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.
【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得
甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，
故答案為0.4
（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列為
∴
（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.
因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.
9．（2020·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．
（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與 的大?。ńY(jié)論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）,（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得結(jié)果；
（Ⅱ）先分類，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及分類計(jì)數(shù)加法公式求結(jié)果；
（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得大小.
【詳解】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，
該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;
（Ⅲ）
【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率、獨(dú)立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
10．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測(cè)中, “k合1” 混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.
現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.
（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的
分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).
(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)
【答案】（1）①次；②分布列見(jiàn)解析；期望為；（2）．
【分析】（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；
②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出兩名感染者在一組的概率，進(jìn)而求出，即可得解.
【詳解】（1）①對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽(yáng)性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；
所以總檢測(cè)次數(shù)為20次；
②由題意，可以取20，30，
，，
則的分布列:
所以；
（2）由題意，可以取25，30，
兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，
則.
考點(diǎn)03 統(tǒng)計(jì)
11．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)
B．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)
C．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
D．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)
【答案】D
【分析】根據(jù)與的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.
當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.
當(dāng)，時(shí)，與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)誤.
當(dāng)，時(shí)，因, 故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.
故選：D
1．（2010·陜西·高考真題）展開(kāi)式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a等于【】
A．-1B．C．1D．2
【答案】D
【詳解】解：∵Tr+1=C5r?x5-r?（a /x ）r=arC5rx5-2r，
又令5-2r=3得r=1，
∴由題設(shè)知C51?a1=10?a=2．
故選D
2．（2024·北京通州·三模）若，則（ ）
A．80B．C．40D．81
【答案】C
【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式即可得到答案.
【詳解】由題意，.
故選：C.
3．（2023·北京西城·一模）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì).
【詳解】設(shè)的通項(xiàng)，則，化簡(jiǎn)得，
令，則的系數(shù)為，即A正確.
故選：A
4．（2024·北京通州·二模）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．60B．120C．180D．240
【答案】D
【分析】寫(xiě)出通項(xiàng)，令的次數(shù)為零，求出，再計(jì)算常數(shù)項(xiàng)即可.
【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
令，
所以，
所以常數(shù)項(xiàng)為240.
故選：D.
5．（2024·河北唐山·一模）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】先由二項(xiàng)式定理求出的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再求出常數(shù)項(xiàng)即可．
【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，
令，解得，
所以常數(shù)項(xiàng)為：.
故答案為：
6．（2024·北京通州·三模）已知隨機(jī)變量，，且，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，即可得到，再由二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)榍?，所以，則，
又且，所以，解得.
故答案為：
7．（2024·北京海淀·二模）二維碼是一種利用黑?白方塊記錄數(shù)據(jù)符號(hào)信息的平面圖形.某公司計(jì)劃使用一款由個(gè)黑白方塊構(gòu)成的二維碼門(mén)禁，現(xiàn)用一款破譯器對(duì)其進(jìn)行安全性測(cè)試，已知該破譯器每秒能隨機(jī)生成個(gè)不重復(fù)的二維碼，為確保一個(gè)二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于，則的最小值為 .
【答案】7
【分析】根據(jù)題意可得，即可由不等式求解.
【詳解】由題意可知的二維碼共有個(gè)，
由可得，故，
由于，所以，
故答案為：7
8．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）在的展開(kāi)式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，則 ，此時(shí)的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答）
【答案】 6 135
【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，求解值，利用通項(xiàng)公式求解的系數(shù).
【詳解】由二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，則，；
通項(xiàng)公式為，
令，所以的系數(shù)為.
故答案為：；.
9．（2024·北京房山·一模）設(shè)，則 ；當(dāng)時(shí)， ．
【答案】
【分析】令可求出；先求出的通項(xiàng)，令和，求出，再由，即可求出的值.
【詳解】令可得：，
的通項(xiàng)為：，
令可得，
令可得，
所以由可得，所以.
故答案為：；.
10．（2024·北京海淀·一模）若，則 ； .
【答案】
【分析】借助賦值法，分別令、、計(jì)算即可得.
【詳解】令，可得，即，
令，可得，即，
令，可得，即，
則，
即，則，
故.
故答案為：；.
11．（2021·四川遂寧·三模）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 (用數(shù)字作答)
【答案】15
【分析】集合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.
【詳解】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得，令，則，所以系數(shù)為，
故答案為：15.
12．（2024·北京西城·三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個(gè)，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個(gè)，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長(zhǎng)沙、天津、鄭州、東莞、無(wú)錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過(guò)一千萬(wàn)的超大城市10個(gè)，分別為：上海、北京、深圳、重慶、 廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.
(1)從10個(gè)超大城市中隨機(jī)抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；
(2)從10個(gè)超大城市按不可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；
(3)從10個(gè)超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量Y表示新一線城市的數(shù)量，比較E（X）與E（Y）的大小關(guān)系.（直接寫(xiě)出結(jié)果）
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，
(3)
【分析】（1）根據(jù)古典概型直接求概率；
（2）根據(jù)超幾何分布求得X取值對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列和期望；
（3），運(yùn)用二項(xiàng)分布期望公式求得，即可得到二者相等.
【詳解】（1）10個(gè)超大城市中包含4個(gè)一線城市，
所以從10個(gè)超大城市中隨機(jī)抽取一座城市，該城市是一線城市的概率為.
（2）10個(gè)超大城市中包含6個(gè)新一線城市，
X所有可能的取值為：.
；；
；.
所以X的分布列為：
.
（3）
理由如下：從10個(gè)超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，
隨機(jī)變量，，所以.
13．（2024·北京順義·三模）習(xí)近平總書(shū)記高度重視體育運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，將體育與國(guó)家發(fā)展、民族振興緊密聯(lián)系在一起，多次強(qiáng)調(diào)體育“是實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)的重要內(nèi)容”“體育強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)，國(guó)運(yùn)興則體育興”，為了響應(yīng)總書(shū)記的號(hào)召，某中學(xué)組織全體學(xué)生開(kāi)展了豐富多彩的體育實(shí)踐活動(dòng).為了解該校學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘），得到下表：
(1)從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的概率；
(2)從該校參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求其中至少有1名初中學(xué)生的概率；
(3)假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替，樣本中的100名學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)記為，初中、高中學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分別記為，，試比較與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件概率公式求解即可；
（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解即可；
（3）補(bǔ)全初中段的人數(shù)表格，再分別計(jì)算，即可得解.
【詳解】（1）女生共有人，
記事件A為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，女生被抽到”，
事件B為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，參加體育活動(dòng)時(shí)間在”，
由題意可知，，
因此，
所以從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，
估計(jì)該學(xué)生參加體育活動(dòng)時(shí)間在的概率為.
（2）時(shí)間在的學(xué)生有人，
活動(dòng)時(shí)間在的初中學(xué)生有人，
記事件C為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，抽到初中學(xué)生”，
事件D為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是初中學(xué)生”，
由題意知，事件C，D相互獨(dú)立，
且,
所以至少有1名初中學(xué)生的概率；
（3）根據(jù)男女生人數(shù)先補(bǔ)全初中學(xué)生各區(qū)間人數(shù)：
初中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，
高中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，
又，，，
可得由.
14．（2020·北京·模擬預(yù)測(cè)）某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A，這種元件在使用過(guò)程中發(fā)生損壞時(shí)，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上 8：30 之前送到維修處，并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個(gè)工人獨(dú)立維修A元件需要時(shí)間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個(gè)數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：
從這20天中隨機(jī)選取一天，隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個(gè)數(shù)．
（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；
（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個(gè)維修工人每天維修元件A的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過(guò)4個(gè)，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫(xiě)出結(jié)論）
【答案】（Ⅰ）分布列見(jiàn)解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.
【解析】（Ⅰ）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．
（Ⅱ）當(dāng)P（a≤X≤b）取到最大值時(shí)，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．
（Ⅲ）利用前兩問(wèn)的結(jié)果，判斷至少增加2人．
【詳解】(Ⅰ)X的取值為：9，12，15，18，24；
,,,
,，
X的分布列為：
故X的數(shù)學(xué)期望；
(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時(shí),
a,b的值可能為：,或,或.
經(jīng)計(jì)算,,，
所以P(a≤X≤b)的最大值為.
(Ⅲ)至少增加2人.
【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬于中等題.
15．（2024·北京海淀·二模）圖象識(shí)別是人工智能領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向.某中學(xué)人.工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)人臉照片識(shí)別性別的程序.在對(duì)該程序的一輪測(cè)試中，小組同學(xué)輸入了200張不同的人臉照片作為測(cè)試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：張）：
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且該程序?qū)γ繌堈掌淖R(shí)別都是獨(dú)立的.
(1)從這200張照片中隨機(jī)抽取一張，已知這張照片的識(shí)別結(jié)果為女性，求識(shí)別正確的概率；
(2)在新一輪測(cè)試中，小組同學(xué)對(duì)3張不同的男性人臉照片依次測(cè)試，每張照片至多測(cè)一次，當(dāng)首次出現(xiàn)識(shí)別正確或3張照片全部測(cè)試完畢，則停止測(cè)試.設(shè)表示測(cè)試的次數(shù)，估計(jì)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)為處理無(wú)法識(shí)別的照片，該小組同學(xué)提出上述程序修改的三個(gè)方案：
方案一：將無(wú)法識(shí)別的照片全部判定為女性；
方案二：將無(wú)法識(shí)別的照片全部判定為男性；
方案三：將無(wú)法識(shí)別的照片隨機(jī)判定為男性或女性（即判定為男性的概率為50%，判定為女性的概率為.
現(xiàn)從若干張不同的人臉照片（其中男性?女性照片的數(shù)量之比為）中隨機(jī)抽取一張，分別用方案一?方案二?方案三進(jìn)行識(shí)別，其識(shí)別正確的概率估計(jì)值分別記為.試比較的大小.（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析；
(3)
【分析】（1）利用用頻率估計(jì)概率計(jì)算即可
（2）由題意知的所有可能取值為，分別求出相應(yīng)的概率，然后根據(jù)期望公式求出即可
（3）分別求出方案一?方案二?方案三進(jìn)行識(shí)別正確的概率，然后比較大小可得
【詳解】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，共有張照片被識(shí)別為女性，其中確為女性的照片有60張，所以該照片確為女性的概率為.
（2）設(shè)事件輸入男性照片且識(shí)別正確.
根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可估計(jì)為.
由題意知的所有可能取值為.
.
所以的分布列為
所以.
（3）由題可知，調(diào)查的200張照片中，其中女生共有80個(gè)，男生共有120個(gè)，
程序?qū)⒛猩R(shí)別正確的頻率為，識(shí)別為女生的頻率為，無(wú)法識(shí)別的頻率為，
程序?qū)⑴R(shí)別正確的頻率為，識(shí)別為男生的頻率為，無(wú)法識(shí)別的頻率為，
由頻率估計(jì)概率得
，
，
，
所以
16．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）科技發(fā)展日新月異，電動(dòng)汽車受到越來(lái)越多消費(fèi)者的青睞.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023 年1月至12月 A，B兩地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)各月的銷售量數(shù)據(jù)如下：
月銷量比是指：該月 A 地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)的銷售量與B 地區(qū)的銷售量的比值（保留一位小數(shù)）.
(1)在2023年2月至12月中隨機(jī)抽取1個(gè)月，求 A 地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)該月的銷售量高于上月的銷售量的概率；
(2)從2023 年1月至12月中隨機(jī)抽取3個(gè)月，求在這3個(gè)月中恰有1個(gè)月的月銷量比超過(guò)8且至少有1個(gè)月的月銷量比低于5的概率；
(3)記2023年1月至12月 A，B 兩地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)各月的銷售量數(shù)據(jù)的方差分別為，，試判斷與的大小.（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)找出符合的月份個(gè)數(shù)即可求解.
（2）先由表中數(shù)據(jù)找出月銷量比超過(guò)8的月份個(gè)數(shù)和低于5的月份個(gè)數(shù)再結(jié)合組合分配情況即可求解.
（3）由表中數(shù)據(jù)和方差定義即可判斷.
【詳解】（1）設(shè)事件C為“A 地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)該月的銷售量高于上月的銷售量”，
在2023年2月至12月中，A地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)該月的銷售量高于上月的銷售量的月份為2月、3月、5月、6月、8月、9月、10月、11月、12月，共9個(gè)月，
所以.
（2）設(shè)事件D為“這3個(gè)月中恰有1個(gè)月的月銷量比超過(guò)8且至少有1 個(gè)月的月銷量比低于5”，
在2023年1月至12月中，月銷量比超過(guò)8的只有11月和12月，月銷量比低于5的只有1月和2月，
則.
（3）A地區(qū)銷售量最低有29.4萬(wàn)輛，最高有89.2萬(wàn)輛，數(shù)據(jù)波動(dòng)較大；
相比之下B地區(qū)銷售量最低有7.8萬(wàn)輛，最高有10.4萬(wàn)輛，數(shù)據(jù)波動(dòng)幅度較小，變化較為平穩(wěn)；
故.
17．（2024·北京通州·二模）隨著生活水平的不斷提高，人們對(duì)于身體健康越來(lái)越重視．為了解人們的健康情況v某地區(qū)一體檢機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了年歲到歲來(lái)體檢的人數(shù)及年齡在，，，的體檢人數(shù)的頻率分布情況，如下表．該體檢機(jī)構(gòu)進(jìn)一步分析體檢數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：歲到歲（不含歲）體檢人群隨著年齡的增長(zhǎng)，所需面對(duì)的健康問(wèn)題越多，具體統(tǒng)計(jì)情況如圖．
注：健康問(wèn)題是指高血壓、糖尿病、高血脂、肥胖、甲狀腺結(jié)節(jié)等余種常見(jiàn)健康問(wèn)題．
(1)根據(jù)上表，求從年該體檢機(jī)構(gòu)歲到歲體檢人群中隨機(jī)抽取人，此人年齡不低于歲的頻率；
(2)用頻率估計(jì)概率，從年該地區(qū)歲到歲體檢人群中隨機(jī)抽取人，其中不低于歲的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)根據(jù)圖的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，有人認(rèn)為“該體檢機(jī)構(gòu)年歲到歲（不含歲）體檢人群健康問(wèn)題個(gè)數(shù)平均值一定大于個(gè)，且小于個(gè)”．判斷這種說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望
(3)不正確，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)直接求解即可；
（2）由題意可知，根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列；根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式可得；
（3）根據(jù)平均數(shù)的估計(jì)方法，通過(guò)反例可說(shuō)明論斷錯(cuò)誤.
【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知：從年該體檢機(jī)構(gòu)歲到歲體檢人群中抽取人，
此人年齡不低于歲的頻率為：.
（2）用頻率估計(jì)概率，從年該地區(qū)歲到歲體檢人群中隨機(jī)抽取人，此人年齡不低于歲的概率為，則；
所有可能的取值為，
；；；；
的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
（3）這種說(shuō)法不正確，理由如下：
假設(shè)在體檢人群年齡歲到歲（不含歲）中，、、、體檢人群所占頻率分別為、、、，
則歲到歲（不含歲）體檢人群健康問(wèn)題平均值為個(gè)，與該說(shuō)法結(jié)論不同，
該說(shuō)法是不正確的．
18．（2024·北京房山·一模）《中華人民共和國(guó)體育法》規(guī)定，國(guó)家實(shí)行運(yùn)動(dòng)員技術(shù)等級(jí)制度，下表是我國(guó)現(xiàn)行《田徑運(yùn)動(dòng)員技術(shù)等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)》（單位：m）（部分摘抄）：
在某市組織的考級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)參加了跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為預(yù)測(cè)考級(jí)能達(dá)到國(guó)家二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立，
(1)估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的概率；
(2)設(shè)X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；
(3)在跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績(jī)作為其最終成績(jī)本次考級(jí)比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績(jī)（單位：m）如下表：
若丙第6次試跳的成績(jī)?yōu)閍，用分別表示甲、丙試跳6次成績(jī)的方差，當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出a的值．（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)
(3)或.
【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)計(jì)算頻率，用頻率估計(jì)概率；
（2）由X的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，由公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
（3）當(dāng)兩人成績(jī)滿足的模型，方差相等.
【詳解】（1）甲以往的10次比賽成績(jī)中，有4次達(dá)到國(guó)家二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員標(biāo)準(zhǔn)，
用頻率估計(jì)概率，估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的概率為；
（2）設(shè)甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員分別為事件，
以往的比賽成績(jī)中，用頻率估計(jì)概率，有，，，
X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)，
則X可能的取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；
（3）甲的6次試跳成績(jī)從小到大排列為：，
設(shè)這6次試跳成績(jī)依次從小到大為，
丙的5次試跳成績(jī)從小到大排列為：，
設(shè)丙的6次試跳成績(jī)從小到大排列依次為，
當(dāng)時(shí)，滿足，成立；
當(dāng)時(shí)，滿足，成立.
所以或.
19．（2024·北京海淀·一模）某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過(guò)程性積分.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得其科普測(cè)試成績(jī)（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過(guò)程性積分?jǐn)?shù)據(jù)，整理如下表：
(1)當(dāng)時(shí)，
（i）從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的概率；
（ⅱ）從該校科普測(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過(guò)程性積分之和，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；
(2)從該?？破者^(guò)程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測(cè)試成績(jī)記為，上述100名學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)的平均值記為.若根據(jù)表中信息能推斷恒成立，直接寫(xiě)出a的最小值.
【答案】(1)（i）；（ⅱ）；
(2)7.
【分析】（1）（i）求出科普過(guò)程性積分不少于3分的學(xué)生數(shù)，再求出頻率，并用頻率估計(jì)概率即得；（ⅱ）求出X的所有可能值，由（i）的結(jié)論結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題求出各個(gè)取值的概率，再求出期望即得.
（2）求出的最大值，再求出100名學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)的平均值的最小值，由題設(shè)信息列出不等式求解即得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
（i）由表知，科普過(guò)程性積分不少于3分的學(xué)生人數(shù)為，
則從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的頻率為，
所以從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的概率估計(jì)為.
（ⅱ）依題意，從樣本中成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為3分的頻率為，
所以從該校學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為3分的概率估計(jì)為，
同理，從該校學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為4分的概率估計(jì)為，
的所有可能值為6，7，8，
，，，
所以的數(shù)學(xué)期望.
（2）由表知，，則，
從該?？破者^(guò)程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測(cè)試成績(jī)記為，則的最大值為69，
100名學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)的平均值記為，要恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，
顯然的最小值為各分?jǐn)?shù)段取最小值求得的平均分，
因此，則，解得，
所以根據(jù)表中信息能推斷恒成立的a的最小值是7.
20．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）為提升學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科領(lǐng)域中的問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，某市面向全市高中學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)建模論文征文活動(dòng).對(duì)于參加征文活動(dòng)的每篇論文，由兩位評(píng)委獨(dú)立評(píng)分，取兩位評(píng)委評(píng)分的平均數(shù)作為該篇論文的初評(píng)得分.從評(píng)委甲和評(píng)委乙負(fù)責(zé)評(píng)審的論文中隨機(jī)抽取10篇，這10篇論文的評(píng)分情況如下表所示.
(1)從這篇論文中隨機(jī)抽取1篇，求甲、乙兩位評(píng)委的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率；
(2)從這篇論文中隨機(jī)抽取3篇，甲、乙兩位評(píng)委對(duì)同一篇論文的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過(guò)的篇數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)對(duì)于序號(hào)為的論文，設(shè)評(píng)委甲的評(píng)分為，評(píng)委乙的評(píng)分為，分別記甲、乙兩位評(píng)委對(duì)這10篇論文評(píng)分的平均數(shù)為，，標(biāo)準(zhǔn)差為，，以作為序號(hào)為的論文的標(biāo)準(zhǔn)化得分.對(duì)這10篇論文按照初評(píng)得分與標(biāo)準(zhǔn)化得分分別從高到低進(jìn)行排名，判斷序號(hào)為2的論文的兩種排名結(jié)果是否相同?（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，
(3)相同
【分析】（1）直接利用古典概型的公式求解即可；
（2）的可能取值為，，，利用超幾何分布分別求出概率，然后再求期望即可；
（3）計(jì)算序號(hào)為2的論文和序號(hào)為3的論文的標(biāo)準(zhǔn)化得分的排名即可.
【詳解】（1）設(shè)事件為從這10篇論文中隨機(jī)抽取1篇，甲、乙兩位評(píng)委的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過(guò)，
又在這10篇論文中，甲、乙兩位評(píng)委的評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過(guò)的有篇，
所以；
（2）由已知的可能取值為，，，
，，
所以的分布列為
所以的數(shù)學(xué)期望為；
（3）根據(jù)數(shù)據(jù)序號(hào)為2的論文初評(píng)得分排名為第，
由已知，
，
明顯序號(hào)為7的論文甲乙兩評(píng)委評(píng)分均最高，故初評(píng)得分排名為第，標(biāo)準(zhǔn)化得分排名仍然為第，
現(xiàn)在就看初評(píng)得分排名為第的序號(hào)為的論文其標(biāo)準(zhǔn)化得分排名是否會(huì)發(fā)生變化，
根據(jù)表中數(shù)據(jù)觀察可得評(píng)委甲的評(píng)分波動(dòng)大，故，
所以，即，
所以序號(hào)為2的論文標(biāo)準(zhǔn)化得分排名為第，
所以序號(hào)為2的論文的兩種排名結(jié)果相同.
考點(diǎn)
五年考情（2020-2024）
命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 計(jì)數(shù)原理
（5年幾考）
2024：二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)；
2023：二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)；
2022：奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；
2021：二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)；
2020：二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)；
該部分內(nèi)容主要以探索創(chuàng)新情境與生活實(shí)踐情境為載體，重在考查考生的邏輯思維能力及對(duì)事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力;
該部分考查的必備知識(shí)在選擇題和填空題中常?？疾榕帕薪M合、二項(xiàng)式定理、抽樣方法、古典概型、用樣本估計(jì)總體等,解答題則以利用排列組合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布等問(wèn)題為主,注重概率和其他知識(shí)的綜合考查.
重點(diǎn)考查知識(shí)的應(yīng)用性與基礎(chǔ)性,考查的關(guān)鍵能力主要是邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力;考查的學(xué)科素養(yǎng)主要為理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)探索。
考點(diǎn)2 概率
（5年幾考）
2024：用頻率估計(jì)概率；離散型隨機(jī)變量的均值；
2023：古典概型的概率；獨(dú)立事件的乘法公式；
2022：頻率分布表解決概率；離散型隨機(jī)變量的均值；
2021：二項(xiàng)分布求分布列；
2020：離散型隨機(jī)變量分布列及均值；
考點(diǎn)3 統(tǒng)計(jì)
（5年幾考）
2022：折線統(tǒng)計(jì)圖
賠償次數(shù)
0
1
2
3
4
單數(shù)
時(shí)段
價(jià)格變化
第1天到第20天
-
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
-
-
+
-
+
0
0
+
第21天到第40天
0
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
+
-
-
-
+
0
-
+
X
0
1
2
3
P
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
X
0
1
2
3
P
時(shí)間人數(shù)類別
性別
男
5
12
13
8
9
8
女
6
9
10
10
6
4
學(xué)段
初中
10
高中
4
13
12
7
5
4
時(shí)間人數(shù)類別
性別
男
5
12
13
8
9
8
女
6
9
10
10
6
4
學(xué)段
初中
7
8
11
11
10
8
高中
4
13
12
7
5
4
日期
1 日
2 日
3 日
4 日
5 日
6 日
7 日
8 日
9 日
10 日
元件A個(gè)數(shù)
9
15
12
18
12
18
9
9
24
12
日期
11 日
12 日
13 日
14 日
15 日
16 日
17 日
18 日
19 日
20 日
元件A個(gè)數(shù)
12
24
15
15
15
12
15
15
15
24
X
9
12
15
18
24
P
識(shí)別結(jié)果真實(shí)性別
男
女
無(wú)法識(shí)別
男
90
20
10
女
10
60
10
1
2
3

1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
A 地區(qū)
（單位：萬(wàn)輛）
29.4
39.7
54.3
49.4
56.2
65.4
61.1
68.2
70.2
71.9
77.1
89.2
B 地區(qū)
（單位：萬(wàn)輛）
7.8
8.8
8.1
8.3
9.2
10.0
9.7
9.9
10.4
9.4
8.9
10.1
月銷量比
3.8
4.5
6.7
6.0
6.1
6.5
6.3
6.9
6.8
7.6
8.7
8.8
組別
年齡（歲）
頻率
第一組
第二組
第三組
第四組
項(xiàng)目
國(guó)際級(jí)運(yùn)動(dòng)健將
運(yùn)動(dòng)健將
一級(jí)運(yùn)動(dòng)員
二級(jí)運(yùn)動(dòng)員
三級(jí)運(yùn)動(dòng)員
男子跳遠(yuǎn)
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳遠(yuǎn)
6.65
6.35
5.85
5.20
4.50
第1跳
第2跳
第3跳
第4跳
第5跳
第6跳
甲
6.50
6.48
6.47
6.51
6.46
6.49
丙
5.84
5.82
5.85
5.83
5.86
a
科普測(cè)試成績(jī)x
科普過(guò)程性積分
人數(shù)
4
10
3
a
2
b
1
23
0
2
序號(hào)
評(píng)委甲評(píng)分
評(píng)委乙評(píng)分
初評(píng)得分
1
67
82
74.5
2
80
86
83
3
61
76
68.5
4
78
84
81
5
70
85
77.5
6
81
83
82
7
84
86
85
8
68
74
71
9
66
77
71.5
10
64
82
73

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