一、高考真題匯編的意義。1、增強(qiáng)高考考生的復(fù)習(xí)動力和信心；2、提高高考考生的復(fù)習(xí)效率；3、加深考生對知識點(diǎn)的理解和掌握。
二、高考真題匯編的內(nèi)容。1、高考試題收錄，涵蓋了考試的各個學(xué)科；2、答案解析，加深知識點(diǎn)理解和掌握；3、復(fù)習(xí)指導(dǎo)，提高復(fù)習(xí)效率。
三、高考真題匯編的重要性。高考真題匯編不僅可以提高考生的復(fù)習(xí)動力和信心，增強(qiáng)考生的復(fù)習(xí)效率，為高考復(fù)習(xí)提供了有力的支持。
最近10年（15-24年）高考數(shù)學(xué)真題匯編
專題14 指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)、
函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)及函數(shù)模型的應(yīng)用
考點(diǎn)01 指數(shù)函數(shù)及其應(yīng)用
1．（2023·全國乙卷·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.
【詳解】因為為偶函數(shù)，則，
又因為不恒為0，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
3．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．
【詳解】，故A錯誤，C正確；
，不是常數(shù)，故BD錯誤；
故選：C．
4．（2017·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】由題意得： 當(dāng)時，恒成立，即；當(dāng)時， 恒成立，即；當(dāng)時，，即.綜上，x的取值范圍是.
5．（2016·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間 上為減函數(shù)的是
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】試題分析：在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上先增后減；在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上為減函數(shù)，選D.
考點(diǎn)：函數(shù)增減性
6．（2015·江蘇·高考真題）不等式的解集為 .
【答案】
【詳解】試題分析：本題是一個指數(shù)型函數(shù)式的大小比較，這種題目需要先把底數(shù)化為相同的形式，即底數(shù)化為2，根據(jù)函數(shù)是一個遞增函數(shù)，寫出指數(shù)之間的關(guān)系得到未知數(shù)的范圍．
,
是一個遞增函數(shù)；
故答案為.
考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊性
7．（2015·山東·高考真題）已知函數(shù) 的定義域和值域都是 ，則 .
【答案】
【詳解】若 ，則 在上為增函數(shù),所以 ，此方程組無解；
若 ，則在上為減函數(shù),所以 ，解得 ，所以.
考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).
8．（2015·福建·高考真題）若函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值等于 ．
【答案】
【詳解】試題分析：根據(jù)可知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，可知，從而可以確定函數(shù)在上是增函數(shù)，從而有，所以，故的最小值等于.
考點(diǎn)：函數(shù)圖像的對稱性，函數(shù)的單調(diào)性.
【方法點(diǎn)睛】該題根據(jù)題中的條件確定好函數(shù)本身的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)在函數(shù)增區(qū)間的所有子區(qū)間上是增函數(shù)，從而求得參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是根據(jù)條件，得出函數(shù)圖像的對稱性，確定出函數(shù)圖像的對稱軸，從而得到函數(shù)的增區(qū)間，從而根據(jù)集合間的包含關(guān)系，從而確定出參數(shù)的取值范圍.
考點(diǎn)02 對數(shù)運(yùn)算及指對互化
1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知且，則 ．
【答案】64
【分析】將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來表示即可求解.
【詳解】由題，整理得，
或，又，
所以，故
故答案為：64.
2．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算計算作答.
【詳解】函數(shù)，所以.
故答案為：1
3．（2022·天津·高考真題）化簡的值為（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.
【詳解】原式
，
故選：B
4．（2022·浙江·高考真題）已知，則（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．
【詳解】因為，，即，所以．
故選：C.
5．（2022·全國乙卷·高考真題）若是奇函數(shù)，則 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．
【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性
若，則的定義域為，不關(guān)于原點(diǎn)對稱
若奇函數(shù)的有意義，則且
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參
函數(shù)為奇函數(shù)
[方法三]：
因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．
6．（2021·天津·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.
【詳解】，，
.
故選：C.
7．（2020·全國·高考真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解
【詳解】由可得，所以，
所以有，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指對式的運(yùn)算的問題，涉及到的知識點(diǎn)有對數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題目.
8．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)，若，則 ．
【答案】-7
【詳解】分析：首先利用題的條件，將其代入解析式，得到，從而得到，從而求得，得到答案.
詳解：根據(jù)題意有，可得，所以，故答案是.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)已知某個自變量對應(yīng)函數(shù)值的大小，來確定有關(guān)參數(shù)值的問題，在求解的過程中，需要將自變量代入函數(shù)解析式，求解即可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.
9．（2016·浙江·高考真題）已知a＞b＞1.若lgab+lgba=，ab=ba，則a= ，b= .
【答案】
【詳解】試題分析：設(shè)，因為，
因此
指數(shù)運(yùn)算，對數(shù)運(yùn)算．
在解方程時，要注意，若沒注意到，方程的根有兩個，由于增根導(dǎo)致錯誤
10．（2015·浙江·高考真題）計算： ， ．
【答案】
【詳解】；.
考點(diǎn)：對數(shù)運(yùn)算
11．（2015·浙江·高考真題）若，則 ．
【答案】
【詳解】∵，∴，∴.
考點(diǎn)：對數(shù)的計算
12．（2015·四川·高考真題）lg0.01＋lg216＝ .
【答案】2
【詳解】lg0.01＋lg216＝－2＋4＝2
考點(diǎn)：本題考查對數(shù)的概念、對數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力.
13．（2015·上?！じ呖颊骖}）方程的解為 .
【答案】2
【詳解】依題意，所以，
令，所以，解得或，
當(dāng)時，，所以，而，所以不合題意，舍去；
當(dāng)時，，所以，，，所以滿足條件，
所以是原方程的解.
考點(diǎn)：對數(shù)方程.
14．（2015·上海·高考真題）方程的解為 ．
【答案】
【詳解】設(shè)，則
考點(diǎn)：解指對數(shù)不等式
15．（2015·安徽·高考真題） .
【答案】-1
【詳解】原式＝
考點(diǎn)：本題主要考查對數(shù)運(yùn)算公式和指數(shù)冪運(yùn)算公式.
考點(diǎn)03 對數(shù)函數(shù)及其應(yīng)用
1．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.
【詳解】由題意不妨設(shè)，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，
對于選項AB：可得，即，
根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯誤；
對于選項D：例如，則，
可得，即，故D錯誤；
對于選項C：例如，則，
可得，即，故C錯誤，
故選：B.
2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.
【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，
則需滿足，解得，
即a的范圍是.
故選：B.
3．（2020·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.
【詳解】由得或
所以的定義域為
因為在上單調(diào)遞增
所以在上單調(diào)遞增
所以
故選：D
【點(diǎn)睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時一定要先求函數(shù)的定義域.
4．（2020·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，則f(x)（ ）
A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減
【答案】D
【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.
【詳解】由得定義域為，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，
又，
為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；
當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，排除B；
當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.
5．（2020·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.
【詳解】由題意得，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
6．（2015·重慶·高考真題）函數(shù)的定義域是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【詳解】由解得或，故選D.
考點(diǎn)：函數(shù)的定義域與二次不等式.
7．（2015·四川·高考真題）設(shè)，都是不等于的正數(shù)，則“”是“”的
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】若，則，從而有，故為充分條件. 若不一定有，比如.，從而不成立.故選B.
考點(diǎn)：命題與邏輯.
8．（2015·湖北·高考真題）函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)根號下非負(fù)及真數(shù)大于零可得函數(shù)的定義域.
【詳解】由函數(shù)的表達(dá)式可知，函數(shù)的定義域應(yīng)滿足條件：
，解之得，
即函數(shù)的定義域為，
故選：C．
9．（2015·北京·高考真題）如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是

A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：如下圖所示，畫出的函數(shù)圖象，從而可知交點(diǎn)，∴不等式的解集為，故選C．

考點(diǎn)：1．對數(shù)函數(shù)的圖象；2．函數(shù)與不等式；3．?dāng)?shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
考點(diǎn)04 冪函數(shù)
1．（2024·天津·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】說明二者與同一個命題等價，再得到二者等價，即是充分必要條件.
【詳解】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，和都當(dāng)且僅當(dāng)，所以二者互為充要條件.
故選：C.
2．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.
【詳解】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；
對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；
對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，因為，，
顯然在上不單調(diào)，D錯誤.
故選：C.
3．（2020·江蘇·高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時， ，則f(-8)的值是 .
【答案】
【分析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求
【詳解】，因為為奇函數(shù)，所以
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
考點(diǎn)05 指對冪函數(shù)值大小比較
1．（2024·天津·高考真題）若，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.
【詳解】因為在上遞增，且，
所以，
所以，即，
因為在上遞增，且，
所以，即，
所以，
故選：B
2．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．記，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，
因為，而，
所以，即
由二次函數(shù)性質(zhì)知，
因為，而，
即，所以，
綜上，，
又為增函數(shù)，故，即.
故選：A.
3．（2023·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.
【詳解】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.
所以.
故選：D
4．（2022·天津·高考真題）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因為，故.
故答案為：C.
5．（2022·全國甲卷·高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）
由，可得．
根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù) ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調(diào)遞增，所以 ，即 ，
又因為 ，所以 .
故選：A.
【點(diǎn)評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．
6．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造函數(shù)， 導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.
【詳解】方法一：構(gòu)造法
設(shè)，因為，
當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設(shè)，則,
令，，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
解： ， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調(diào)遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，所以
故
7．（2021·天津·高考真題）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可求解.
【詳解】，，
，，
，，
.
故選：D.
8．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.
【詳解】，即.
故選：C.
9．（2020·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關(guān)系.
【詳解】因為，
，
，
所以.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)冪和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應(yīng)值的范圍.
比較指對冪形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：
（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時，函數(shù)遞增；當(dāng)時，函數(shù)遞減；
（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時，函數(shù)遞增；當(dāng)時，函數(shù)遞減；
（3）借助于中間值，例如：0或1等.
10．（2020·全國·高考真題）已知55

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