1.集合A={x|?1≤x≤1}，B={x|a?1≤x≤2a?1}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. a≤1B. a0，a+b=1，則下列不等式正確的是( )
A. ab≤14B. a2+b2≥12C. 1a+1b+1>2D. a+ b≤1
10.設(shè)函數(shù)f(x)=x3?x2+ax?1，則( )
A. 當a=?1時，f(x)的極大值大于0
B. 當a≥13時，f(x)無極值點
C. ?a∈R，使f(x)在R上是減函數(shù)
D. ?a∈R，曲線y=f(x)的對稱中心的橫坐標為定值
11.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，記g(x)=f′(x)，且f(x)?f(?x)=2x，g(x)+g(2?x)=0，則( )
A. g(0)=1B. y=f(x)x的圖象關(guān)于點(0,1)對稱
C. f(x)+f(2?x)=0D. k=1ng(k)=n?n22(n∈N?)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量a，b的模相等且夾角為60°，若向量a與向量λb?a垂直，則實數(shù)λ= ______．
13.若曲線C1：y=x2與曲線C2：y=aex(a>0)存在公共切線，則a的取值范圍是______．
14.已知函數(shù)f(x)=lnx+1?mx2x有兩個零點a、b，且存在唯一的整數(shù)x0∈(a,b)，則實數(shù)m的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sinB(acsB+bcsA)=ccs(B?π6)．
(1)求角B的大??；
(2)若∠ABC的角平分線BD與邊AC相交于點D，BD=6 35，b= 7，求△ABC的周長．
16.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB//CD，且AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2．
(1)證明：平面PAC⊥平面PBC；
(2)求平面PAD與平面PBC夾角的正弦值．
17.(本小題15分)
已知數(shù)列{an}滿足：an+2+(?1)nan=3，a1=1，a2=2．
(1)記bn=a2n?1，求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求S30．
18.(本小題17分)
已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點E(1,0)，斜率為1的直線交C于M、N兩點，且MN中點Q(1,3)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)證明：△MEN為直角三角形；
(3)經(jīng)過點T(0,2)且斜率不為零的直線l與雙曲線C的兩支分別交于點A，B.若點D是點B關(guān)于y軸的對稱點，試問，不論直線l的斜率如何變化，直線AD是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，說明理由．
19.(本小題17分)
已知函數(shù)f(x)=lnx2?x+m(x?1)．
(1)判斷曲線y=f(x)是否具有對稱性，若是，求出相應(yīng)的對稱軸或?qū)ΨQ中心，并加以說明；
(2)若f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求m的取值范圍；
(3)若函數(shù)g(x)=f(2xx+1)+m?x2+1x+1有兩個零點x1，x2，證明：x1x2>e2．
參考答案
1.A
2.C
3.A
4.B
5.B
6.B
7.C
8.D
9.ABC
10.BD
11.ABD
12.2
13.(0,4e2]
14.[ln2e4,1)
15.解：(1)由sinB(acsB+bcsA)=ccs(B?π6)及正弦定理，
可得sinB(sinAcsB+sinBcsA)=sinCcs(B?π6)，由A+B+C=π，
可得sinBsin(A+B)=sinBsinC=sinCcs(B?π6)，
又因為C∈(0,π)，所以sinC≠0，
所以sinB=cs(B?π6)=csB? 32+sinB?12，
整理得tanB= 3，
又B∈(0,π)，所以B=π3；
(2)因為S△ABC=S△ABD+S△BCD，
所以有12acsinB=12c?BD?sinπ6+12a?BD?sinπ6，
由B=π3，BD=6 35，可得ac=65(a+c)，
由余弦定理，有csπ3=12=a2+c2?72ac=(a+c)2?2ac?72ac，
結(jié)合ac=65(a+c)，可得a+c=5(舍負)，
則△ABC的周長為5+ 7．
16.解：(1)證明：由題意AB=2CD=2AD=2BC=2，
則∠ABC=60°，
因為BC=1，AB=2，
所以∠ACB=90°，AC⊥BC，
因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
且PA⊥AB，PA?平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD，因為BC?平面ABCD，
所以PA⊥BC，且AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC；
(2)如圖，以A為原點，AP，AB所在直線分別為x軸，y軸，在平面ABCD內(nèi)過點A作平面ABC的垂線為軸，建立空間直角坐標系，

則P(1,0,0)，B(0,2,0)，D(0,12, 32)，C(0,32, 32)，
所以AP=(1,0,0)，BC=(0,?12, 32)，AD=(0,12, 32)，PB=(?1,2,0)，
設(shè)平面PAD的一個法向量n1=(x,y,z)，
則n1?AP=x=0n1?AD=y2+ 32z=0，令z=?1，得n1=(0, 3,?1)，
設(shè)平面PBC的法向量n2=(m,n,p)，
則n2?PB=?m+2n=0n2?BC=?n2+ 3p2=0，令p=1，得n2=(2 3, 3,1)，
設(shè)平面PAD與平面PBC的夾角為θ，
則csθ=|n1?n2||n1|?|n2|=22×4=14，
所以平面PAD與平面PBC夾角的正弦值為 1?cs2θ= 154．
17.解：(1)因為an+2+(?1)nan=3，
所以當n=1時，有a3?a1=3；當n=3時，有a5?a3=3，……，
即a2n?1?a2n?3=3，
因為bn=a2n?1，所以bn?bn?1=3，
故數(shù)列{bn}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，
所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn=b1+(n?1)d=3n?2．
(2)因為an+2+(?1)nan=3，
所以當n=4時，有a6+a4=3；當n=8時，有a10+a8=3，……，
所以S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)
=(b1+b2+…+b15)+[a2+(a4+a6)+…+(a28+a30)]
=(b1+b15)×152+a2+3×7
=(1+43)×152+2+21=353．
18.解：(1)設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，斜率為1的直線交C于M、N兩點，且MN中點Q(1,3)．
則x1+x2=2，y1+y2=6，
∵M，N兩點在雙曲線C上，
∴x12a2?y12b2=1①x22a2?y22b2=1②，由①?②得x12?x22a2?y12?y22b2=0，
即y12?y22x12?x22=b2a2，∴(y1+y2)(y1?y2)(x1+x2)(x1?x2)=b2a2，
∴kOQ?kMN=b2a2，即1?3=b2a2，∴b2=3a2，
又∵a=1，∴b2=3，
∴雙曲線C的方程為：x2?y23=1．
(2)由已知可得，直線MN的方程為：y?3=1?(x?1)，即y=x+2，
聯(lián)立y=x+23x2?y2?3=0?2x2?4x?7=0，Δ=16+56=72>0，
則x1+x2=2，x1x2=?72，
∵EM?EN=(x1?1,y1)?(x2?1,y2)=(x1?1)(x2?1)+y1y2
=(x1?1)(x2?1)+(x1+2)(x2+2)=2x1x2+(x1+x2)+5
=2×(?72)+2+5=0，
∴EM⊥EN，∴△MEN為直角三角形；

(3)經(jīng)過點T(0,2)且斜率不為零的直線l與雙曲線C的兩支分別交于點A，B.設(shè)l方程為y=kx+2，k≠0，
聯(lián)立直線l與C的方程，消去y得(3?k2)x2?4kx?7=0，
因為直線l與C的兩支分別交于點A，B，
設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，
所以3?k2>0Δ=4(21?3k2)>0，得00，
解得01．
故x1x2>e2．

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