命題學(xué)校：紅安一中 命題教師：汪勝橋
審題學(xué)校：羅田一中 審題教師：張 暉
考試時(shí)間：2025 年 4 月 10 日下午 15：00-1700 試卷滿分：150 分
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符
合要求.
1. 已知函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù)為 ，則 （ ）
A. B. C. D.
2. 設(shè)等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 ， ，則 （ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 25
3. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 當(dāng)實(shí)數(shù) 變化時(shí)，方程 表示的曲線不可能是（ ）
A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線
5. 為了踐行習(xí)近平總書記“綠水青山就是金山銀山”的理念，3 月 12 日這天高二年級(jí) 1 至 6 班共 6 個(gè)班級(jí)決
定去 3 個(gè)不同林場植樹，若要求每組 2 個(gè)班，且 1 班 2 班在同一組，則符合條件的不同方法數(shù)是（ ）
A. 48 B. 36 C. 18 D. 12
6. 若 在 上恒成立，則實(shí)數(shù) 的最小值為（ ）
A B. 1 C. D.
7. 已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 為偶函數(shù)，函數(shù) 為偶函數(shù)， ， ，則
（ ）
第 1頁/共 4頁
A B. C. D.
8. 已知 元一次方程 （ ， ， ， ）的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 ，
則方程 滿足 （ ）的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 35 B. 56 C. 84 D. 120
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目
距求.全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 設(shè)數(shù)列 ， 均為等比數(shù)列，則下列選項(xiàng)一定為等比數(shù)列的是（ ）
A B. C. D.
10. 已知橢圓 的離心率為 ，焦點(diǎn)為 ， ，左右頂點(diǎn)分別為 ， ， 為橢
圓 上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A.
B.
C. 當(dāng) 與 ， 不重合時(shí)，
D. 設(shè) 在 軸上的射影為 ，且 ，則點(diǎn) 的軌跡方程是
11. 已知函數(shù) ， ， ，則下列說法正確的有（ ）
A. 函數(shù) 可能無零點(diǎn)
B. 若 ，則函數(shù) 可能存在最值
C. 若函數(shù) 存 兩個(gè)極值點(diǎn)，則 且
D. 若 是函數(shù) 的極大值點(diǎn)，則
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 二項(xiàng)式 展開式中 的系數(shù)為______.
13. 若數(shù)列 滿足 ， ， ，設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，則當(dāng)
取最大值時(shí)， _____.
第 2頁/共 4頁
14. 設(shè) 為原點(diǎn)，雙曲線 的方程是 （ ， ），離心率 . 直線
與雙曲線 的兩條漸近線分別交于 ，與圓 相切于點(diǎn) .若 ，
，則直線 的斜率為_____，雙曲線 的實(shí)軸長為_____.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)等軸雙曲線 的焦點(diǎn)在 軸上，焦距為 ，點(diǎn) （ ）在曲線 上.
（1）求雙曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）若 ，證明數(shù)列 是等差數(shù)列.
（3）在（2）的條件下，若數(shù)列 為正項(xiàng)數(shù)列，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
16. （1）某大型電影院在春節(jié)期間推出了《哪吒 2》等 6 部備受矚目的大片，某天 3 個(gè)家庭同時(shí)來觀看電
影，若每個(gè)家庭可以自由選擇一部影片觀看，共有多少種選法？
（2）某市 2025 年初科創(chuàng)展覽會(huì)上， ， ， 三家科技公司分別推出了 2 件，3 件，3 件機(jī)器人進(jìn)行展覽，
工作人員需要把 8 臺(tái)不同型號(hào)的機(jī)器人排成一排，要求 公司的產(chǎn)品相鄰， 公司的產(chǎn)品不相鄰，共有多
少種排法？
（3）樹人中學(xué)組織的詩歌朗誦比賽決賽階段有五個(gè)班級(jí)參賽，賽前各班的學(xué)生代表甲、乙、丙、丁、戊分
別參與抽簽決定出場順序.抽完簽后，甲說：“我們班不是第一個(gè)出場”，乙說：“我們班不是最后一個(gè)出場”，
丙說：“我們班也不是最后一個(gè)出場，且前面出場班級(jí)數(shù)不少于后面出場班級(jí)數(shù)”.請你根據(jù)這些信息推測所有
可能的出場順序數(shù).
17 已知函數(shù) ， .
（1）討論 的單調(diào)性.
（2）證明：當(dāng) 時(shí)， .
18. 已知平面上動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足 ， ， .
（1）求點(diǎn) 的軌跡方程 .
第 3頁/共 4頁
（2）設(shè)點(diǎn) 為直線 上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn) 作曲線 的兩條切線 ， .
（ⅰ）證明：直線 過定點(diǎn) .
（ⅱ）設(shè) 為原點(diǎn)， ， 的面積分別為 ， ，令 ，當(dāng)點(diǎn) 在 軸下方時(shí)，求 的
最大值.
19. “勤于思考，樂于探索，勇于創(chuàng)新”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備思維品質(zhì).某同學(xué)在學(xué)習(xí)了“楊輝三角”后發(fā)現(xiàn)楊輝三
角與數(shù)列緊密相關(guān)，自主構(gòu)造了下述數(shù)陣.數(shù)陣的第一行是 （ ）個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，從第二行起每一行
的數(shù)字均等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字之和，最后一行僅有一個(gè)數(shù)字.
請仔細(xì)觀察數(shù)陣，解決下列問題：
（1）求數(shù)陣中數(shù)字為奇數(shù)的項(xiàng)數(shù) .
（2）設(shè)數(shù)陣第 行的第一個(gè)數(shù)字為 ，請直接寫出 與 的等量關(guān)系，并求 .
（3）設(shè)數(shù)陣所有行第一個(gè)數(shù)字之和為 ，試判斷 與 的大小關(guān)系，并說明理由.
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2025 年春季鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校期中聯(lián)考答案
考試時(shí)間：2025 年 4 月 10 日下午 15：00-1700 試卷滿分：150 分
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符
合要求.
1. 已知函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù)為 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.
【詳解】 ，
故選：D.
2. 設(shè)等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 ， ，則 （ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前 項(xiàng)和的性質(zhì)，易知 ， ， 成等差數(shù)列，即可求解.
【詳解】因?yàn)?為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和，所以 ， ， 成等差數(shù)列，所以
，解得 .
故選：B.
3. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系可判斷 AB 選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可判斷 C 選項(xiàng)；利用復(fù)合函
數(shù)的求導(dǎo)法則結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可判斷 D 選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于 A 選項(xiàng)， ，A 錯(cuò)；
對(duì)于 B 選項(xiàng)， ，B 錯(cuò)；
對(duì)于 C 選項(xiàng)， ，C 對(duì)；
對(duì)于 D 選項(xiàng)， ，D 錯(cuò).
故選：C.
4. 當(dāng)實(shí)數(shù) 變化時(shí)，方程 表示的曲線不可能是（ ）
A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意由圓錐曲線的定義逐一判斷即可.
【詳解】當(dāng) ，即 時(shí)，方程表示的曲線為圓；
當(dāng) ， ， ，即 時(shí)，方程表示的曲線為橢圓；
當(dāng) ，即 時(shí)，方程表示的曲線為雙曲線；
方程無論如何不會(huì)出現(xiàn)一次項(xiàng)，故不能表示拋物線.
故選：D.
5. 為了踐行習(xí)近平總書記“綠水青山就是金山銀山”的理念，3 月 12 日這天高二年級(jí) 1 至 6 班共 6 個(gè)班級(jí)決
定去 3 個(gè)不同林場植樹，若要求每組 2 個(gè)班，且 1 班 2 班在同一組，則符合條件的不同方法數(shù)是（ ）
A. 48 B. 36 C. 18 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】平均分成三組，再全排列即可求解.
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【詳解】由題意需將 6 個(gè)班級(jí)先平均分為 3 組，且 1 班 2 班在同一組，有 ，
再分配到 3 個(gè)林場，共 種方法，
故選：C.
6. 若 在 上恒成立，則實(shí)數(shù) 的最小值為（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分參得到 ，進(jìn)而求得 的最大值，即可求解.
【詳解】由 得 ，所以 在 上恒成立，
構(gòu)造 ，
求得可得： ，
由 可得： ，由 ，可得 ，
所以 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，
所以 在 處取得最大值為 ，所以 ，
故 的最小值為 ，
故選：D.
7. 已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 為偶函數(shù)，函數(shù) 為偶函數(shù)， ， ，則
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性可判斷函數(shù)周期，進(jìn)而可得解.
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【詳解】由函數(shù) 為偶函數(shù)知 圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，
由 為偶函數(shù)知 ，（ 為常數(shù)）為奇函數(shù)，由 得 ，
即 為奇函數(shù)，則 圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱，
所以 是函數(shù) 的一個(gè)周期，又 ， ，
， ，
所以 .
故選：A.
8. 已知 元一次方程 （ ， ， ， ）的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 ，
則方程 滿足 （ ）的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 35 B. 56 C. 84 D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，得到 ，結(jié)合條件即可求解.
【詳解】由 得， ，
令 ， .
則原問題等價(jià)于方程 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，
由題意知符合條件的個(gè)數(shù)為 ，
故選：B
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目
距求.全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 設(shè)數(shù)列 ， 均為等比數(shù)列，則下列選項(xiàng)一定為等比數(shù)列的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
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【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列 ， 的公比分別為 ， ，
則對(duì)于 A，當(dāng) 時(shí)， 不合題意；
對(duì)于 B， ，數(shù)列 一定是等比數(shù)列；
對(duì)于 C， ，數(shù)列 一定是等比數(shù)列；
對(duì)于 D，取 ，則 ，不合題意.
故選擇：BC.
10. 已知橢圓 的離心率為 ，焦點(diǎn)為 ， ，左右頂點(diǎn)分別為 ， ， 為橢
圓 上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A.
B.
C. 當(dāng) 與 ， 不重合時(shí)，
D. 設(shè) 在 軸上的射影為 ，且 ，則點(diǎn) 的軌跡方程是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題意確定橢圓方程，結(jié)合橢圓的性質(zhì)及向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】由題意知： ，由 ，可得 ，
所以橢圓 的方程為 ，所以 ，A 正確；
，B 錯(cuò)誤；
設(shè) ， ， ，則 ，C 正確；
設(shè) ，則 ，
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由 ，可得： ，
解得： ，
則 ，所以 ，即 ，D 正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù) ， ， ，則下列說法正確的有（ ）
A. 函數(shù) 可能無零點(diǎn)
B. 若 ，則函數(shù) 可能存在最值
C. 若函數(shù) 存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則 且
D. 若 是函數(shù) 的極大值點(diǎn)，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分情況討論函數(shù)的單調(diào)性與極值情況，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).
【詳解】函數(shù) 的定義域?yàn)?， .
當(dāng) 時(shí)， 上無零點(diǎn)，A 選項(xiàng)正確；
當(dāng) 時(shí)， 在 上恒成立，
所以 在 單調(diào)遞增，函數(shù)無最值，B 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若函數(shù) 存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則 在 上存在兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
令 ，則需 ， ， ，
整理得 且 ，C 選項(xiàng)正確；
若 是函數(shù) 的極大值點(diǎn)，則由 可得 ，
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所以 ，所以 ，所以 ，D 選項(xiàng)正確；
故選：ACD.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 二項(xiàng)式 展開式中 的系數(shù)為______.
【答案】112
【解析】
【分析】應(yīng)用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式計(jì)算求解即可.
【詳解】通項(xiàng)公式 ，令 得， ，
所以展開式中 的系數(shù)為 112.
故答案為：
13. 若數(shù)列 滿足 ， ， ，設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，則當(dāng)
取最大值時(shí)， _____.
【答案】5 或 6
【解析】
【分析】利用等差中項(xiàng)可得數(shù)列 為等差數(shù)列，進(jìn)而求出公差、 、 ，結(jié)合 的函數(shù)特性可得或
的正負(fù)性也可行.
【詳解】因?yàn)?，所以數(shù)列 為等差數(shù)列，設(shè)公差為 d
因 ， ，則公差 ，
法一：所以 ，
因函數(shù) 的對(duì)稱軸為 ，
所以當(dāng) 取最大值時(shí)， 或 6
法二： ，
則 時(shí)， ； 時(shí)， ； 時(shí) ，
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所以當(dāng) 取最大值時(shí)， 或 6.
故答案為：5 或 6
14. 設(shè) 為原點(diǎn)，雙曲線 的方程是 （ ， ），離心率 . 直線
與雙曲線 的兩條漸近線分別交于 ，與圓 相切于點(diǎn) .若 ，
，則直線 的斜率為_____，雙曲線 的實(shí)軸長為_____.
【答案】 ①. ②. 14
【解析】
【分析】利用點(diǎn)差法，可求直線 斜率，在 中，利用勾股定理可求 的值.
【詳解】如圖：
設(shè)點(diǎn) ， ，漸近線方程為 ，
則 ， ，相減得 ，
，所以 .
設(shè) 與 軸交于 ， ， ，
則 ， ，
，
在直角 中， ， ， ，
所以 ，解得 ，實(shí)軸長為 14.
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故答案為： ；14
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)等軸雙曲線 的焦點(diǎn)在 軸上，焦距為 ，點(diǎn) （ ）在曲線 上.
（1）求雙曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）若 ，證明數(shù)列 是等差數(shù)列.
（3）在（2）的條件下，若數(shù)列 為正項(xiàng)數(shù)列，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義及方程列式計(jì)算求出 即可得出雙曲線方程；
（2）根據(jù)等差數(shù)列定義證明即可；
（3）應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【小問 1 詳解】
由題意可設(shè)雙曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （ ， ），
則 ，解得 ，
所以雙曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【小問 2 詳解】
因?yàn)辄c(diǎn) （ ）在曲線 上，所以
所以數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列.
【小問 3 詳解】
由（2）可知，
由于 ，所以
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所以
所以
16. （1）某大型電影院在春節(jié)期間推出了《哪吒 2》等 6 部備受矚目的大片，某天 3 個(gè)家庭同時(shí)來觀看電
影，若每個(gè)家庭可以自由選擇一部影片觀看，共有多少種選法？
（2）某市 2025 年初科創(chuàng)展覽會(huì)上， ， ， 三家科技公司分別推出了 2 件，3 件，3 件機(jī)器人進(jìn)行展覽，
工作人員需要把 8 臺(tái)不同型號(hào)的機(jī)器人排成一排，要求 公司的產(chǎn)品相鄰， 公司的產(chǎn)品不相鄰，共有多
少種排法？
（3）樹人中學(xué)組織的詩歌朗誦比賽決賽階段有五個(gè)班級(jí)參賽，賽前各班的學(xué)生代表甲、乙、丙、丁、戊分
別參與抽簽決定出場順序.抽完簽后，甲說：“我們班不是第一個(gè)出場”，乙說：“我們班不是最后一個(gè)出場”，
丙說：“我們班也不是最后一個(gè)出場，且前面出場班級(jí)數(shù)不少于后面出場班級(jí)數(shù)”.請你根據(jù)這些信息推測所有
可能的出場順序數(shù).
【答案】（1）216；（2）2880；（3）28
【解析】
【分析】（1）由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；
（2）先將 家公司的產(chǎn)品捆綁，再與 公司的 3 件產(chǎn)品全排列，最后由插空法即可求解；
（3）分甲所在班級(jí)第 5 個(gè)出場和甲所在班級(jí)不是第 5 個(gè)出場兩種情況討論即可.
【詳解】（1）3 個(gè)家庭依次選擇，均有 6 種方法，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所有不同的方法數(shù)為 .
（2）由題意知，先可以使用“捆綁法”將 家公司的產(chǎn)品排在一起，
再與 公司的 3 件產(chǎn)品一起組成 4 個(gè)不同的元素的全排列，
最后讓 公司產(chǎn)品插空.所以符合條件的排法數(shù)為 .
（3）若甲所在班級(jí)第 5 個(gè)出場，丙所在班級(jí)可以第 3 或第 4 個(gè)出場，
乙、丁、戊所在班級(jí)可以在其他場次出場，符合條件的出場順序數(shù)為 ，
若甲所在班級(jí)不是第 5 個(gè)出場，則丁或戊所在班級(jí)第 5 個(gè)出場，丙所在班級(jí)可以第 3 或第 4 個(gè)出場，
甲在剩余的中間 2 場中選擇一場，符合條件的出場順序數(shù)為 ，
所以所有可能的出場順序數(shù)為 .
17. 已知函數(shù) ， .
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（1）討論 的單調(diào)性.
（2）證明：當(dāng) 時(shí)， .
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，分 ， 討論導(dǎo)數(shù)符號(hào)，即可求解；
（2）由（1）構(gòu)造函數(shù) ，求導(dǎo)，確定最值即可求解.
【小問 1 詳解】
函數(shù) 的定義域?yàn)?，
當(dāng) 時(shí)， 在 上恒成立， 在 上單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)，由 得 ，由 得
所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
【小問 2 詳解】
當(dāng) 時(shí)，由（1）知
要證 ，
只需證 ，
即證
令
即證 ，
因?yàn)?，再令 .
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因?yàn)?，
由 ，可得 ， ，可得
所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.
所以 .
所以 ，
所以當(dāng) 時(shí)， .
18. 已知平面上動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足 ， ， .
（1）求點(diǎn) 的軌跡方程 .
（2）設(shè)點(diǎn) 為直線 上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn) 作曲線 的兩條切線 ， .
（?。┳C明：直線 過定點(diǎn) .
（ⅱ）設(shè) 為原點(diǎn)， ， 的面積分別為 ， ，令 ，當(dāng)點(diǎn) 在 軸下方時(shí)，求 的
最大值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）方程聯(lián)立，消去 即可求解；
（2）（?。┰O(shè) ， ， ，通過求導(dǎo)，確定切線方程進(jìn)而可求解；（ⅱ）由三
角形面積公式得到 進(jìn)而可求解
【小問 1 詳解】
因?yàn)?， ，所以 ， ，
第 12頁/共 16頁
由 得， ，所以 ，
即點(diǎn) 的軌跡方程 為 （ ）
【小問 2 詳解】
（?。┰O(shè) ， ， ， ，
所以曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 ，整理得 ，
同理曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為
由于 是兩切線的交點(diǎn)，所以
所以直線 的方程為 ，
整理得 ，令 得
所以直線 過定點(diǎn) .
（ⅱ）由（?。┲本€ 的方程為 ，
當(dāng)點(diǎn) 在 軸下方時(shí)， .
因?yàn)?br>第 13頁/共 16頁
因?yàn)?， ，所以
令 （ ），
則
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ， 時(shí)等號(hào)成立.
所以 的最大值為 .
19. “勤于思考，樂于探索，勇于創(chuàng)新”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備思維品質(zhì).某同學(xué)在學(xué)習(xí)了“楊輝三角”后發(fā)現(xiàn)楊輝三
角與數(shù)列緊密相關(guān)，自主構(gòu)造了下述數(shù)陣.數(shù)陣的第一行是 （ ）個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，從第二行起每一行
的數(shù)字均等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字之和，最后一行僅有一個(gè)數(shù)字.
請仔細(xì)觀察數(shù)陣，解決下列問題：
（1）求數(shù)陣中數(shù)字為奇數(shù)的項(xiàng)數(shù) .
（2）設(shè)數(shù)陣第 行的第一個(gè)數(shù)字為 ，請直接寫出 與 的等量關(guān)系，并求 .
（3）設(shè)數(shù)陣所有行第一個(gè)數(shù)字之和為 ，試判斷 與 的大小關(guān)系，并說明理由.
【答案】（1） ；
（2） ， ；
（3） ，理由見解析.
【解析】
第 14頁/共 16頁
【分析】（1）根據(jù)數(shù)陣特點(diǎn)，進(jìn)行分類討論，即可求解；
（2）觀察每一行的前兩項(xiàng)的增量規(guī)律，猜測出它們的關(guān)系（才想驗(yàn)證即可，不要求證明，若需證明，可用
數(shù)學(xué)歸納法證明），進(jìn)而可得 ，通過構(gòu)造即可求得 ；
（3）通過錯(cuò)位相減法可求得 ，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算，可求得 ，通過構(gòu)造函
數(shù)，可比較其大小關(guān)系.
【小問 1 詳解】
觀察數(shù)陣知，第一行的數(shù)奇偶性相間，第二行的數(shù)都為奇數(shù)，從第三行起所有數(shù)是偶數(shù).
所以當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， ，
當(dāng) 奇數(shù)時(shí)， ，
所以 ；
【小問 2 詳解】
由題意知， ，即
變形得，
所以數(shù)列 是以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列，
所以 ，所以 ；
【小問 3 詳解】
.
理由如下：
因?yàn)?br>相減得， ，
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所以
又因?yàn)?br>令 ，則 ，
又 （ ），
所以 在 上單調(diào)遞增，所以 ，
所以 .
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