一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. （ ）
A 1B. C. 0D.
【答案】C
【解析】.
故選：C.
2 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)?，，所?
故選：B.
3. 已知，為不共線向量，，，若，為共線向量，則（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋瑸椴还簿€向量，且，為共線向量，
所以，而，，
則，
故，解得，故D正確.故選：D.
4. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因?yàn)?br>當(dāng)時(shí), ,所以.即“”是“”的充分條件.
當(dāng)時(shí),由于成立,
所以,即“”是“”的必要條件.
綜上可知, “”是“”的充要條件
故選:C
5. 若向量，，滿足，，且，，則在上的投影數(shù)量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由投影數(shù)量公式得在上的投影數(shù)量為，
由題意得，，，，
而，
故A正確.
故選：A.
6. 如圖，不共線且不垂直的單位向量，的夾角為，以點(diǎn)為原點(diǎn)， ，的正方向分別為軸、軸建立坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系稱(chēng)為斜坐標(biāo)系.若，則稱(chēng)為在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，若，向量，在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意知，，，所以，
又向量，在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，
所以，，
所以.
故選：A.
7. 已知，，，，則（ ）
A. ，且B. ，且
C. ，且D. ，且
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以?br>又，得到，
則，即，
因?yàn)?，?br>所以，綜上可得，且，故D正確.
故選：D.
8. 若向量，滿足，則的最小值為（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】由，所以，
又，所以，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，方向相反時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，則（ ）
A. 是第一象限角
B.
C. 與終邊相同的最大負(fù)角是
D. 在內(nèi)與終邊相同的角只有1個(gè)
【答案】BD
【解析】對(duì)于A、B，，是第三象限角，，故A錯(cuò)誤，
B正確；對(duì)于C、D，與終邊相同的角，，取，得最大負(fù)角為，故C錯(cuò)誤；取可得與終邊相同，故D正確.故選：BD.
10. 下列函數(shù)是周期函數(shù)，且1是該函數(shù)一個(gè)周期的有（ ）
A.
B.
C. ，，
D.
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，是周期函數(shù)，最小正周期為2，1不是該函數(shù)的周期，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，是周期函數(shù)，且1是該函數(shù)的周期，故B正確；
對(duì)于C，若，則，
即所以，，
所以，1是該函數(shù)的一個(gè)周期，故C正確；
對(duì)于D，若，則，此時(shí)，
若，則，此時(shí)，
綜上恒有，所以是周期函數(shù)，且1是該函數(shù)的一個(gè)周期，故D正確.
故選:BCD.
11. 若點(diǎn)是三邊中線的交點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A.
B.
C. 當(dāng)最小時(shí)與重合
D. 若，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，由三角形重心性質(zhì)知，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，由，
得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，建立坐標(biāo)系，
設(shè)，，，，
則，令，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，在對(duì)稱(chēng)軸處當(dāng)，且時(shí)，取得最小值，此時(shí)在線段上且與點(diǎn)重合，故C正確；
對(duì)于D，，
當(dāng)且僅當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 某辦公室的打印機(jī)與電腦在一周內(nèi)發(fā)生故障的概率分別為0.2，0.1，且故障事件相互獨(dú)立，則這兩臺(tái)設(shè)備在一周內(nèi)都不發(fā)生故障的概率為_(kāi)_____.
【答案】0.72或
【解析】這兩臺(tái)設(shè)備在一周內(nèi)都不發(fā)生故障的概率為.
故答案為：0.72.
13. 若函數(shù)是奇函數(shù)，則______.
【答案】
【解析】已知是奇函數(shù)，則.
先求：將替換為，可得.
對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)：，
因?yàn)?，所以?br>移項(xiàng)可得：，
可得，故答案為：.
14. 若函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，；；.若方程在區(qū)間上有且僅有6個(gè)不同實(shí)根，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】由題意，，
可得是以為周期的周期函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
而當(dāng)時(shí)，， 則在上，令，解得，
而方程在區(qū)間上有且僅有6個(gè)不同實(shí)根，
得到必須大于第個(gè)根，小于等于第個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，有，
則第二個(gè)根為，故方程在第一個(gè)周期上有，兩個(gè)根，
我們利用正切函數(shù)的周期性，可以求出方程在區(qū)間上的前7個(gè)實(shí)根，
且前7個(gè)實(shí)根依次為，，，，，，，
得到，則.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知點(diǎn)在角的終邊上.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，所以.
（2）因?yàn)椋?br>，
所以.
16. 近兩年，在AI概念的加持下，AR（增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)）眼鏡、AI（人工智能）眼鏡、VR（虛擬現(xiàn)實(shí)）眼鏡、音頻眼鏡等智能眼鏡迎來(lái)高光時(shí)刻，已知2022-2027年中國(guó)智能眼鏡市場(chǎng)規(guī)模統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及預(yù)測(cè)（單位：億元）依次為5，15，47，112，249，478.
（1）求這6個(gè)數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)及平均數(shù)；
（2）從這6個(gè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)數(shù)據(jù)，求取到的2個(gè)數(shù)據(jù)都小于這6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)的概率.
解:（1）因?yàn)椋?br>所以這6個(gè)數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是249，
這6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是.
（2）從6個(gè)數(shù)據(jù)中任取2個(gè)數(shù)據(jù)，樣本空，共含有15個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件表示“取到的2個(gè)數(shù)據(jù)都小于6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)”，
則，共含有6個(gè)樣本點(diǎn)，
所以.
答：取到的2個(gè)數(shù)據(jù)都小于這6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)的概率為.
17. 把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象.
（1）求的最大值及取得最大值時(shí)的取值集合；
（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求在區(qū)間上的值域.
解：（1）函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到，
當(dāng)時(shí)，取得最大值3，
此時(shí)，，即，，
所以的取值集合是.
（2）當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，單調(diào)遞減，
由，得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.
（3）當(dāng)時(shí)，，
由在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，，，
所以，
所以，
所以在區(qū)間上的值域?yàn)?
18. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)，是圖象上相鄰的最低點(diǎn)與最高點(diǎn)，線段與的圖象交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與的圖象的離最近的一個(gè)交點(diǎn)為，.
（1）求的解析式；
（2）求；
（3）已知甲地某一天的氣溫（單位：）隨時(shí)間（單位：h）的變化曲線是圖象的一部分，若該地居民在氣溫低于時(shí)開(kāi)啟空調(diào)，求該地居民這一天開(kāi)啟空調(diào)的時(shí)長(zhǎng).
解：（1）根據(jù)的圖像，得的最大值為12，最小值為，所以
解得，，
由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)，均為圖象的對(duì)稱(chēng)中心，
所以，
所以，，，把代入并化簡(jiǎn)得，又，所以，所以.
（2）由已知及（1）可得，，，
所以，，所以.
（3）由，得，
所以，解得，
因?yàn)?，所以，?br>所以該地居民這一天開(kāi)啟空調(diào)的時(shí)長(zhǎng)為.
19. 如圖，在中，點(diǎn)，，分別在邊，，上，且，，交于點(diǎn).
（1）已知.
（ⅰ）若是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，證明：；
（ⅱ）若，，求的值；
（2）若，，，證明：.
（1）（?。┳C明：因?yàn)?，所以?br>則，整理得.
（ⅱ）解：設(shè)，則
，
又，
所以，解得.
（2）證明：因?yàn)?，所以?br>則，整理得，
設(shè)，代入上式得，記為①，
同理可得，，設(shè)，，
可得，記為②，，記為③，
聯(lián)立①②消去，聯(lián)立①③消去，
可得，，
又因?yàn)?，，中任意兩個(gè)向量互不共線，
所以故有，
由得，由得，
又，故，即.

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