一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 函數(shù)的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為函數(shù)，所以，故函數(shù)最小正周期為.
故選：B.
2. 在平行四邊形中，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】對于A，，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D錯誤.
故選：A.
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.故選：C
4. 函數(shù)圖象的一個對稱中心是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，解得，
當時，，所以函數(shù)圖象的一個對稱中心是.
故選：D.
5. 中，，那么（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】由正弦定理，得，則，即，因為，所以，則.故選：A.
6. 某簡諧運動可以用函數(shù)表示，把該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的初相等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個單位后，
得到函數(shù)，所以函數(shù)的初相等于.
故選：C.
7. “七巧板”是我國古代勞動人民的偉大發(fā)明，被譽為“東方魔方”.某同學制作了一個“七巧板”玩具，如圖所示.其中正方形的邊長為4，點分別是線段的中點，則（ ）
A. B. C. 14D. 20
【答案】C
【解析】以為原點，以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標系，
如圖所示，
因為正方形邊長為4，且點分別是線段的中點，
可得，則，
所以.
故選：C.
8. 在平面直角坐標系中，曲線與單位圓的交點個數(shù)為（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】的最小正周期為，其中，故在單位圓上方，
同一坐標系內(nèi)畫出單位圓和的圖象，
在左右兩邊會有兩個交點，為④和⑤，可以看出共有8個交點.故選：B
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 在中，（ ）
A. 若，則
B. 若，則為等腰三角形
C. 若，則為鈍角三角形
D. 若是銳角，，則為銳角三角形
【答案】ACD
【解析】對于A，設(shè)外接圓的半徑為，
若，由正弦定理得，則，所以，所以A正確；
對于B中，因為，可得，且，
若，可得或，即或，
所以為等腰或直角三角形，所以B錯誤；
對于C中，因為，可得，
若，則，可得，即為鈍角，
所以為鈍角三角形，所以C正確；
對于D中，因為，可得
若，可得，
由函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，
又因為，則，所以為銳角三角形，所以D正確.故選：ACD.
10. 已知平面內(nèi)兩個非零向量與，則（ ）
A.
B.
C. 存在以為邊長的三角形
D. 兩個不等式與中至少能成立一個
【答案】AC
【解析】對于A，設(shè)非零向量與的夾角為，
由平面向量數(shù)量積的定義得，
而，
得到，故A正確，
對于B，令，則，
由向量的模長公式得，，
即不成立，故B錯誤，
對于C，令，則，
由向量的模長公式得，，
得到，即存在以為邊長的三角形，故C正確，
對于D，令，則，，
此時不滿足，也不滿足，
即不滿足兩個不等式與中至少能成立一個，故D錯誤.
故選：AC
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 是偶函數(shù)
B. 是周期函數(shù)
C. 當時，在區(qū)間上有最大值
D. 當時，恒成立
【答案】ACD
【解析】對于A，因為，
所以是偶函數(shù)，故A正確；
對于B，當時，，是周期函數(shù)；
當時 ，由周期函數(shù)的定義可知，若是周期函數(shù)，
則有，
已知的周期都是，
但是使得的非零常數(shù)值卻不存在，
所以不一定是周期函數(shù)，故B錯誤；
對于C，，
當時，，，有，，
所以，所以上單調(diào)遞減，又因為是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，
由圖象的對稱可知當時，取得最大值且，故C正確；
對于D，當時，令，
則，
令，可得，所以當，，單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，所以，即恒成立，
故D正確.故選：ACD
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則__________.
【答案】
【解析】觀察函數(shù)圖象，得，函數(shù)的最小正周期，
解得，
由，得，而，則，
則，所以.
故答案為：
13. 在內(nèi)部（不包括邊界）有點，滿足，請寫出一個滿足題意的實數(shù)的值__________.（只要填寫一個即可）
【答案】（答案不唯一，只要介于0和1即可）
【解析】如圖所示，
取點為的三等分點（靠近點），可得，
再取點為的三等分點（靠近點），點為的三等分點（靠近點），
分別連接，則，所以四邊形為平行四邊形，
由，可得，即，
設(shè)，可得，由平行四邊形法則，當點在上運動時，可得點在直線，
要使得在內(nèi)部（不包含邊界），在點在線段上運動（不包含端點），
所以，解得，所以其中一個可以是.故答案為：（答案不唯一，只要介于0和1即可）
14. 鈍角能使得等式成立，則該鈍角的值等于__________.
【答案】
【解析】 依題意，
，而是鈍角，所以.故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在中，，設(shè).
（1）用分別表示；
（2）若，求.
解：（1）由，所以，
所以，
.
（2）因為，所以，
所以.
16. 在中，角的對邊分別為.三個內(nèi)角滿足.
（1）求角的值；
（2）如果，并且，求的周長.
解：（1）在中，因為，
所以.
因為，所以，
即，
所以，
即，又因為是三角形的內(nèi)角，所以，
所以.
（2）由余弦定理可得，
因為，，所以，又因為，
所以，
解得或（舍去），所以，所以的周長為.
17. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的值域；
（2）若，求的值.
解：（1）依題意，，
由，得，則，
所以函數(shù)的值域是.
（2）由（1）得，而，
則，因此，，
，所以
.
18. 如圖，某休閑用地的中央?yún)^(qū)域是邊長為2（百米）的等邊三角形，外圍是以，為圓心，2（百米）為半徑的圓弧.管理部門在矩形的三邊安裝燈帶（其中在圓弧上，都在線段上），記.
（1）寫出燈帶的總長度關(guān)于的函數(shù)，并求出該函數(shù)的值域；
（2）管理部門還準備在矩形內(nèi)部建造一個圓形噴泉，試求圓形噴泉半徑的最大值.
解：（1）在直角三角形中，有，
于是，由對稱性得，
所以，
所以燈帶長，
，其中，
則，由正弦函數(shù)性質(zhì)得，
則燈帶總長度的值域是.
（2）由題意得最大的圓的直徑是矩形的兩邊中的較小者，
則，故.
令，得到，
解得（舍）或，故，記銳角滿足，于是當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，
的最大值等于.故圓形噴泉半徑的最大值為（百米）.
19. 已知函數(shù)是正整數(shù)，.
（1）求函數(shù)的值域；
（2）記，解不等式；
（3）當時，求的最大值和最小值.
解：（1）由題意，，
記，有開口向下，對稱軸為，
所以，時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，
故的最大值等于的最小值等于，
所以的值域為.
（2）由題意，
，
于，
解得因為，所以
則或者，
所以，即，
所以原不等式的解集為.
（3）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以的最大值為，最小值為.
當時，函數(shù)所以函數(shù)的最大，最小值均為1.
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以的政大值為，最小值為.
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以的最大值為，最小值為.
下面討論正整數(shù)的情形：
當為奇數(shù)時，，
對任意且，由于，
以及，
所以，從而.
所以在上單調(diào)遞增，則的最大值為，最小值為.
經(jīng)驗證，時，也適合上述結(jié)論.
當為偶數(shù)時，
一方面因為則有.
另一方面，由于對任意正整數(shù)，因為，，
則有
，
，.
函數(shù)的最大值為，最小值為.
經(jīng)驗證，時，也適合上述結(jié)論.
綜上所述，當為奇數(shù)時，函數(shù)的最大值為0，最小值為；
當為偶數(shù)時，函數(shù)的最大值為1，最小值為.

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