數(shù)學(xué)
（監(jiān)測內(nèi)容：第十一至十四章14.2）
注意事項：
1．試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．全卷共8頁，滿分120分，考試時間120分鐘．
2．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效．
第Ⅰ卷選擇題（共30分）
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）
1. 計算的值為（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解： ，
故選：A．
2. 在平面直角坐標(biāo)系中，與點關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：依題意，與點關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為，
故選：A．
3. 下列各式能用平方差公式計算的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：A、中只有相同的項，故不能用平方差公式計算，故本選項錯誤；
B、只有互為相反數(shù)的項，故不能用平方差公式計算，故本選項錯誤；
C、能用平方差公式計算，故本選項正確；
D、中不存在相同的項與互為相反數(shù)的項，，故本選項錯誤．
故選：C．
4. 應(yīng)縣佛宮寺釋迦塔（應(yīng)縣木塔）是中國現(xiàn)存最高最古的一座木構(gòu)塔式建筑，全塔沒用一個鐵釘，全靠構(gòu)件互相卯榫咬合，共使用了54種不同形式的斗栱，被譽為“斗栱博物館”．榫卯結(jié)構(gòu)是我國古代建筑、家具及其他木制器械的主要結(jié)構(gòu)方式，如圖，將兩塊全等的木楔（）水平釘入長為的長方形木條中（點B，C，F(xiàn)，E在同一條直線上）．若，則木楔的長為（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故選：B．
5. 已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（ ）
A. 13B. 17C. 13或17D. 13或10
答案：B
解：①當(dāng)腰是3，底邊是7時，3+33能構(gòu)成三角形，則其周長=3+7+7=17．
故選：B．
6. 若的計算結(jié)果中不含x的一次項，則a的值是（ ）
A. B. C. 2D.
答案：D
解：
，
計算結(jié)果不含x的一次項，
，
解得，
故選：D．
7. 沙棘果富含多種維生素、氨基酸等營養(yǎng)成分，被譽為“神奇之果”．朔州市當(dāng)?shù)厣臣N植不僅改善了生態(tài)環(huán)境，還帶動了當(dāng)?shù)亟?jīng)濟發(fā)展．某果農(nóng)租了兩塊地種植沙棘，第一塊地是邊長為的正方形，第二塊地是長為，寬為的長方形，則第二塊地比第一塊地的面積（單位：）多（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：由題意得：
，
故選：D．
8. 如圖，已知，只添加一個條件即可證明與全等，這個條件不可以是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：A、已知，，，則，A不符合題意；
B、已知，，，則與不一定全等（SSA），B符合題意；
C、已知，，，則， C不符合題意；
D、已知，，，則，D不符合題意；
故答案為：B．
9. 如圖1,將一張長方形紙板四角各切去一個同樣的正方形，制成如圖2的無蓋紙盒，若該紙盒的容積為
4a2b則圖2中紙盒底部長方形的周長為（ ）
A. 4abB. 8abC. 4a+bD. 8a+2b
答案：D
設(shè)紙盒底部長方形的寬為x，
依題意得b×x×a=4a2b
∴x=4a
故紙盒底部長方形的周長為2（4a+b）=8a+2b
故選D
10. 課本第113頁“閱讀與思考”中介紹了楊輝三角，楊輝三角可以看作是對完全平方公式的推廣，也告訴我們二項式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律：
，1展開式的系數(shù)和為1
，11展開式的系數(shù)和為
，121展開式的系數(shù)和為
，1331展開式的系數(shù)和為
，14641展開式的系數(shù)和為
………
根據(jù)上述規(guī)律，展開式的系數(shù)和是（ ）
A 32B. 64C. 128D. 256
答案：B
解：依題意，
當(dāng)時，展開式中所有項的系數(shù)和為，
當(dāng)時，展開式中所有項的系數(shù)和為，
當(dāng)時，展開式中所有項系數(shù)和為，
當(dāng)時，展開式中所有項的系數(shù)和為，
，
當(dāng)時，展開式的項系數(shù)和為，
故選：B．
第Ⅱ卷非選擇題（共90分）
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）
11. “中國天眼”是目前世界上唯一能觀測深空的射電望遠鏡，其中心位置是一個正五邊形，這個正五邊形的外角和是__________．
答案：
解：正多邊形的外角和是，
故正五邊形的外角和為；
故答案為：
12. 已知一個多項式乘，所得的結(jié)果是，那么這個多項式是__________．
答案：
解：∵一個多項式乘所得的結(jié)果是，
，
∴這個多項式是，
故答案為：．
13. 若，，則的值為__________．
答案：
解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
14. 我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋．現(xiàn)有如圖所示的三種類型卡片，，，想要拼成如圖所示的長方形，則需要類型卡片__________張．
答案：
解：如下圖所示，長方形的長為，寬為，
長方形的面積為，
圖中有個，個，
長方形中剩余部分的面積為，
型卡片的面積為，
需要個類型的卡片．
故答案為： ．
15. 圖①是一類光學(xué)直角棱鏡，其中一塊直角棱鏡的截面為圖②所示的，所在的面為不透光的磨砂面，，．現(xiàn)有一束單色光從邊的點E處垂直射入，到達邊的點D處，恰有，經(jīng)過反射后（即）從邊的點F處射出．若光線在棱鏡內(nèi)部經(jīng)過的路徑，則這塊棱鏡的高度為__________cm．
答案：20
解：∵、，
∴，
，
，，
，，
，
，，，
∴是等邊三角形；
∴，
∵，
∴，，
∴．
故答案為：20．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16. 計算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
答案：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
；
【小問3詳解】
解：
；
【小問4詳解】
解：
．
17. 先化簡，再求值：，，．
答案：，32
解：
，
當(dāng)，時，原式 ．
18. 如圖，在中，，D為的中點，，，求的度數(shù)．
答案：
解：∵，D為的中點，
，平分，
，．
∵，
∴，
∴．
19. 如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（），把余下的部分剪成兩個直角梯形后，再拼成一個等腰梯形．
（1）通過計算左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式： ；
（2）利用上述乘法公式計算：．
答案：（1）；
（2）4．
【小問1詳解】
解：∵兩個圖形面積相等，右側(cè)等腰梯形的高為大小正方形邊長之差，
∴左側(cè)圖形面積為大小正方形面積之差，即；右側(cè)等腰梯形面積為，
∴．
【小問2詳解】
解：根據(jù)上述乘法公式計算：，
，
，
，
．
20. 馬侖草原坐落于山西省寧武縣境內(nèi)管涔山之巔，最高海拔2712米．當(dāng)你身臨其境地站在馬侖草原上與蘆芽山遙遙相望的時候，你一定會驚嘆于大自然的神奇壯美．如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑．
答案：詳見解析
解：如圖，作出點A的關(guān)于草地的對稱點，點B的關(guān)于河岸的對稱點，連接兩個對稱點，交于草地點C，交河邊于點D，連接，，
∴，，
∴，
根據(jù)“兩點之間，線段最短”知，此時是最短為，
∴所走路線即為．
21. 下面是某小組在活動課上的策劃方案，請仔細閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
項目主題
探究用全等三角形解決“不用直接測量，得到高度”的問題
問題提出
墻上有一點A，在無法直接測量的情況下，如何得到點A的高度？
任務(wù)：
（1）若，則 °；
（2）請你說明他們做法正確的原因．
答案：（1）72； （2）見解析．
【小問1詳解】
解： ，，
，
．
故答案為：；
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意可知，，．
在和中，
，
∴．
∴．
∴測量OD的長度，即為點A的高度．
項目圖紙
解決過程
①找一根長度大于的直桿，使直桿斜靠在墻上，且頂端與點A重合；②使直桿頂端緩慢下滑，直到；③標(biāo)記測試直桿的底端點D，測量的長度，即為點A的高度．
22. 數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了“正整數(shù)N能否表示為（x，y均為自然數(shù)）”的問題．
（1）指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進行整理，部分信息如下（n為正整數(shù)）：
按上表規(guī)律，完成下列問題：
①；
② ；
（2）興趣小組還猜測：像2，6，10，14，…，這些形如（n為正整數(shù)）的正整數(shù)N不能表示為（x，y均為自然數(shù)）．師生一起研討，分析過程如下：
閱讀以上內(nèi)容，請將情形②的內(nèi)容補充完整．
答案：（1）①7，5；②；
（2）見解析．
【小問1詳解】
解：①由規(guī)律可得，，
故答案為：7，5；
②由規(guī)律可得，，
故答案為：．
【小問2詳解】
解：設(shè)，，其中k，m均為自然數(shù)．
所以
．
∵為4的倍數(shù)，而不是4的倍數(shù)，矛盾，
∴x，y不可能均為奇數(shù)．
23. 借助“形”可以幫助我們直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，而結(jié)合“數(shù)”又可以更好地探究圖形的特點，這種數(shù)形結(jié)合的方式是人們研究數(shù)學(xué)問題的常用思想方法!請你根據(jù)已有的知識經(jīng)驗，解決以下問題：
【課本鏈接】
（1）觀察圖①，用等式表示圖中圖形的面積，得 ，觀察圖②，用等式表示圖中陰影部分圖形的面積和，得 ；
N
表示結(jié)果
一般結(jié)論
奇數(shù)
…
4的倍數(shù)
…

假設(shè)，其中x，y均為自然數(shù)．
分下列三種情形分析：
①若x，y均為偶數(shù)，設(shè)，，其中k，m均為自然數(shù)，則為4的倍數(shù)．而不是4的倍數(shù)，矛盾，故x，y不可能均為偶數(shù)．
②若x，y均為奇數(shù)…
③若x，y一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)，則為奇數(shù)．
而是偶數(shù)，矛盾，故x，y不可能一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)．
由①②③可知，猜測正確
【知識應(yīng)用】
（2）根據(jù)圖②所得的公式，若，，則 ；
（3）若滿足，求的值．
【拓展延伸】
（4）如圖③，某學(xué)校有一塊梯形空地，于點，，．該校計劃在和區(qū)域內(nèi)種花，在和的區(qū)域內(nèi)種草．經(jīng)測量種花區(qū)域的面積和為，，直接寫出種草區(qū)域的面積和．
答案：（1），；（2）；（3）；（4）．
解：（1），
；
故答案為：，
（2），，
；
故答案為：
（3）設(shè)，，則，．
所以．
所以的值是；
（4）種草區(qū)域的面積和為．
因為，，，所以，．
因為種花區(qū)域的面積和為，所以．
因為，所以．
所以．
所以．
所以種草區(qū)域的面積和為．

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