1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上
無(wú)效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)
是符合題目要求的．
1. 若集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解分式不等式、求二次函數(shù)的值域確定集合 ，再由集合的交集運(yùn)算求結(jié)果.
【詳解】由 ，
，
所以 .
故選：A.
2. 若復(fù)數(shù) 滿足 ，則 （ ）
A. B. C. D. 125
【答案】B
【解析】
【分析】據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)結(jié)合乘法運(yùn)算可得復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)的概念和模長(zhǎng)公式即可求解.
【詳解】 ，則 ，則 ，則 .
第 1頁(yè)/共 18頁(yè)
故選：B.
3. 在 中，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，點(diǎn) 在 上，若 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意 ， ，根據(jù)點(diǎn) 在 上，即可列方程求解.
【詳解】由題意點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，所以 ，
又 ，所以 ，
解得 ，
又因?yàn)辄c(diǎn) 在 上，
所以 ，解得 或 （舍去）.
故選：B.
4. 在 的展開式中， 的系數(shù)是（ ）
A. B. 4 C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】求出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，由此令 x 的指數(shù)為 2，求得 r 的值，即可求得答案.
【詳解】由題意得 的通項(xiàng)公式為 ，
令 ，
故 的系數(shù)是 ，
故選：C
第 2頁(yè)/共 18頁(yè)
5. 已知 ， 則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在等式 兩邊平方，求出 的值，再利用切化弦可求得 的值
.
【詳解】在等式 兩邊平方可得 ，可得 ，
所以 .
故選：B.
6. 正四棱臺(tái)側(cè)棱長(zhǎng)為 ，上下底面邊長(zhǎng)分別為 和 ，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則正四棱臺(tái)的外
接球表面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】畫出圖形，設(shè)外接球半徑為 ，利用半徑相等列出方程，求出半徑，從而得到球的表面積.
【詳解】如圖所示， ， ，
設(shè) 為外接球球心，外接球半徑為 ， 為上下底面的中心，易知 ，
又側(cè)棱長(zhǎng)為 ，則 ，又易知 ，
設(shè) ，則 ， ，
故 ，解得： ，
故 ，所以球的表面積為 ，
故選：B.
第 3頁(yè)/共 18頁(yè)
7. 設(shè)隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布 ，則函數(shù) 有零點(diǎn)的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 先 根 據(jù) 根 的 判 別 式 得 到 不 等 式 ， 求 出 ， 由 二 項(xiàng) 分 布 求 概 率 公 式 得 到
.
【詳解】 中， ，解得 ，
，故 .
故選：C
8. 雅禮中學(xué)科技社成員設(shè)計(jì)的一款機(jī)器人，其手臂可以向前、向后、向左、向右、向上、向下六個(gè)方向自
由伸展，每接到一次方向指令，它向指定方向移動(dòng)一個(gè)單位．假設(shè)該機(jī)器人接到六個(gè)方向指令是等可能的，
現(xiàn)向機(jī)器人隨機(jī)發(fā) 4 次方向指令，它按指令依次做了 4 次伸展，其手臂回到原來(lái)位置的概率為（ ）
A. B. C. D. 以上都不對(duì)
【答案】D
【解析】
【分析】先確定所有可能的指令情況，再分析手臂回到原來(lái)位置的情況，最后根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算
概率.
【詳解】因?yàn)槊看沃噶疃加?種可能，一共發(fā) 次指令，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，每次的選擇相互獨(dú)立，
所以總的基本事件數(shù) .
要使手臂回到原來(lái)位置，可分以下兩種情況：
第 4頁(yè)/共 18頁(yè)
情況一：兩次相反方向移動(dòng)
例如向前移動(dòng)兩次，向后移動(dòng)兩次.從 組相反方向（前與后、左與右、上與下）中選 組，有 種選
法；然后在 次移動(dòng)中安排這兩次相同方向的移動(dòng)，有 種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這種情況的基本
事件數(shù)為 .
情況二：兩組不同的相反方向各移動(dòng)一次
從 組相反方向中選 組，有 種選法；然后對(duì)這 次不同方向的移動(dòng)進(jìn)行全排列，有 種排法.根據(jù)分
步乘法計(jì)數(shù)原理，這種情況的基本事件數(shù)為 .
所以手臂回到原來(lái)位置的基本事件數(shù) .
根據(jù)古典概型概率公式 ，可得： ．
故選：D.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題
目要求，全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分．
9. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 線性相關(guān)系數(shù) 越小，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱
B. 在線性回歸模型中，決定系數(shù) 越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好
C. 獨(dú)立性檢驗(yàn)方法不適用于普查數(shù)據(jù)
D. 已知隨機(jī)變量 ，若 ，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)的意義判斷 AB；利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義判斷 C；利用正態(tài)分布的對(duì)稱性
求出概率判斷 D.
【詳解】對(duì)于 A，線性相關(guān)系數(shù) 的絕對(duì)值越接近 1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱，
A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，在線性回歸模型中，決定系數(shù) 越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，B 正確；
對(duì)于 C，普查數(shù)據(jù)可以準(zhǔn)確地判斷兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)，不需要進(jìn)行 獨(dú)立性檢驗(yàn)，C 正確；
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對(duì)于 D，由隨機(jī)變量 ，得 ，D 正確.
故選：BCD
10. 設(shè) ， ， 表示三個(gè)不同的平面， 表示直線，則下列選項(xiàng)中，使得 的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行、面面平行的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對(duì)于 A，若 ， ，則 可能相交，A 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于 B，若 ， ，則 ，B 選項(xiàng)正確
對(duì)于 C，若 ， ，則 ，C 選項(xiàng)正確.
對(duì)于 D，若 ， ，則 可能相交，D 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 已知曲線 ， ，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. ，使得曲線 為圓
B. ，曲線 都關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱
C. 當(dāng) 時(shí)，
D. 當(dāng) 時(shí)，直線 是曲線 的一條漸近線
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)圓的特征計(jì)算判斷 A，應(yīng)用對(duì)稱性計(jì)算判斷 B,化簡(jiǎn)結(jié)合判別式判斷 C,結(jié)合曲線的漸近線計(jì)算
求解判斷 D.
詳解】選項(xiàng) A:由曲線 ， ，
若曲線為圓，需滿足 和 系數(shù)相等且無(wú)交叉項(xiàng)，
展開原方程得： ，交叉項(xiàng)系數(shù)為 ，無(wú)法消除，故曲線 C 無(wú)法為
第 6頁(yè)/共 18頁(yè)
圓，選項(xiàng) A 錯(cuò)誤；
選項(xiàng) B：驗(yàn)證曲線關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，將點(diǎn) 替換為對(duì)稱點(diǎn) 代入方程：
與原方程形式一致，故 均成立，選項(xiàng) B 正確；
選項(xiàng) C：當(dāng) 時(shí)，方程為 ，
整理為關(guān)于 y 的二次方程： ．
判別式 ，即得 解得 ，選項(xiàng) C 正確；
選項(xiàng) D：當(dāng) 時(shí)，方程為 ，漸近線為 ，
化簡(jiǎn)得 或 ，即得 或 ，所以直線 是曲線 的一條漸近
線，選項(xiàng) D 正確；
故答案為：BCD.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù) ________．
① ；② 在 上是增函數(shù)．
【答案】 （答案不唯一，形如 都可以）
【解析】
【分析】取 驗(yàn)證①②即可.
【詳解】對(duì)于函數(shù) ，該函數(shù)的定義域?yàn)?，且該函數(shù)在 上為增函數(shù)，滿足②；
對(duì)任意的 、 ， ，滿足①.
故答案 ： （答案不唯一，形如 都可以）.
13. 已知 為雙曲線 的左焦點(diǎn)， 是 的右頂點(diǎn)， 是 上一點(diǎn)，且
， ，則 的離心率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及余弦定理得到關(guān)于 和 的齊次式，求解即可.
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【詳解】
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為 ，因?yàn)?為雙曲線的左焦點(diǎn)， 是雙曲線上一點(diǎn)，
根據(jù)雙曲線的定義知 ， ，
因?yàn)?是雙曲線的右頂點(diǎn)，所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，
在 中，根據(jù)余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，
等式兩邊同時(shí)除以 得， ，解得 （舍）或 ，
所以 的離心率為 .
故答案為： .
14. 數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且滿足 ， ，則 可能的不同取值的個(gè)數(shù)為________．
【答案】46
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到 ，其中 ，得到 ，且 奇
偶交錯(cuò)出現(xiàn)，若 為奇數(shù)，得到 可取遍 中的每一個(gè)奇數(shù)；若 為偶數(shù)， 可取遍
中 的 每 一 個(gè) 偶 數(shù) ， 再 由 ， 推 得
第 8頁(yè)/共 18頁(yè)
，進(jìn)而得到當(dāng) 時(shí)， 能取遍 中的奇數(shù)，即可得到答案.
【詳解】由數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且滿足 ， ，
可得 ，其中 ，
故 ，且 奇偶交錯(cuò)出現(xiàn)，
若 為奇數(shù)，由 ，可得對(duì) 可取遍 中的每一個(gè)奇數(shù)；
若 為偶數(shù)，由 ，可得對(duì) 可取遍 中的每一個(gè)偶數(shù)，
又由 ，
當(dāng) 時(shí)， ，考慮由 調(diào)整為 ，
則對(duì)應(yīng)的 可增加 ，對(duì)諸 （至少一個(gè)）調(diào)整為 3 后，
滿足 ，
即 ，
從上述的調(diào)整過(guò)程可得 能取遍 中的奇數(shù)或偶數(shù)（取奇數(shù)還是偶數(shù)取決于
的奇偶性），
當(dāng) 時(shí)， 能取遍 中的奇數(shù)，合計(jì) 46 個(gè)．
故答案為：46．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、
證明過(guò)程或演算步驟．
15. 如圖，已知在四棱錐 中， 平面 ，四邊形 為直角梯形，
， ，點(diǎn) 是棱 上靠近 端的三等分點(diǎn).
第 9頁(yè)/共 18頁(yè)
（1）證明： 平面 ；
（2）求平面 與平面 夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面 的一個(gè)法向量，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得線面平
行；
（2）利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算分別得到平面 與平面 一個(gè)法向量，計(jì)算面面夾角的余弦值即可.
【小問(wèn) 1 詳解】
在四棱錐 中， 平面 ，四邊形 直角梯形， ，
以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又 ，點(diǎn) 是棱 上靠近 端的三等分點(diǎn)
則 .
，
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
第 10頁(yè)/共 18頁(yè)
則 ，即 ，
令 ，得 ，則 ，
又 ，可得 ，
因?yàn)?平面 ，所以 平面 .
【小問(wèn) 2 詳解】
易知 ，設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
則 ，即 ，令 ，則 ，
由（1）知，平面 的一個(gè)法向量為 ，
設(shè)平面 與平面 的夾角為 ，
則 ，
所以平面 與平面 的夾角的余弦值為 .
16. 在 中，角 、 、 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 、 、 ，已知 ．
（1）求角 ；
（2）若 ， 所在平面內(nèi)有一點(diǎn) 滿足 ，且 平分 ，設(shè) ．
（i）求 面積表達(dá)式 ；
（ii）確定 面積的取值范圍．
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用兩角和的正切公式結(jié)合誘導(dǎo)公式可得出 的值，結(jié)合角 的取值范圍可得出角 的值；
（2）（i）由題意可得 ，求出 的取值范圍，利用正弦定理結(jié)合三角形的面積公式可得
第 11頁(yè)/共 18頁(yè)
出 的表達(dá)式；
（ii）利用導(dǎo)數(shù)可求出 的取值范圍，即為所求.
【小問(wèn) 1 詳解】
由 ，
即 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 .
【小問(wèn) 2 詳解】
（i）由題（1）知 ，又 ， ，
在 中， ，故 ，
則 ，
由正弦定理有 ， ，則 ，
故 面積 ，所以 ；
（ii）因?yàn)?，
又 ，所以 ，知函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
又 ， ，故 面積的取值范圍為 ．
17. 橢圓 的右焦點(diǎn)為 ，過(guò) 且斜率為 的直線 與 交于 ， 兩點(diǎn)，
第 12頁(yè)/共 18頁(yè)
為坐標(biāo)原點(diǎn)， ，設(shè)直線 的斜率為 ，且 .
（1）求橢圓 的方程；
（2）若 為橢圓 上一點(diǎn)，且 為 的重心，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè) ， 可得 ，結(jié)合 有 ，再由橢
圓基本量的關(guān)系求參數(shù)，進(jìn)而寫出橢圓方程.
（2）設(shè)直線 為 ，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理及已知可得 ，由點(diǎn)在橢圓上
求 值，由兩點(diǎn)距離公式、弦長(zhǎng)公式即可求解.
【小問(wèn) 1 詳解】
設(shè) ， ，則 ，又 ， 在橢圓 上，
∴ ，兩式作差 ，整理得： ，
∴ ，又 ，
∴ ， ，故橢圓 的方程為 .
【小問(wèn) 2 詳解】
設(shè)直線 的方程為 ，
與橢圓 聯(lián)立并整理得： ， ，
∴ ，則 ，
第 13頁(yè)/共 18頁(yè)
又 恰為△ 的重心，故 坐標(biāo)為 ，即
因?yàn)?在橢圓 上，即 ，
故 ，即 ，解得 ，
∴ ，
而 ， ，
故 ；
∴ .
18. 已知函數(shù) ．
（1）若 在區(qū)間 上單調(diào)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（2）若函數(shù) 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
（i）求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（ii）若 恒成立，求證： ．
【答案】（1） ；
（2）（?。?；（ii）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求 的區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合已知即可得參數(shù)范圍；
（2）（i）對(duì) 求導(dǎo)，討論 、 研究單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)有 ，進(jìn)而求參數(shù)
范圍，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)是否符合要求；（ⅱ）記兩個(gè)零點(diǎn)為 ，結(jié)合不等式
恒成立知 為 兩個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而有 ， ，
，應(yīng)用分析法、導(dǎo)數(shù)證明不等式.
第 14頁(yè)/共 18頁(yè)
【小問(wèn) 1 詳解】
由題設(shè) ，當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí) ，
所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
而 在區(qū)間 上單調(diào)，所以 ；
【小問(wèn) 2 詳解】
（?。?，且 ，
令 且 ，則 ，
若 ， ，即 在定義域上遞增，所以函數(shù)至多有 1 個(gè)零點(diǎn)，不符；
當(dāng) 時(shí)， 時(shí) ， 時(shí) ，
在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
則 ，得 ，
又 ， ，
另 且 ，則 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，則 ，所以 ，
即 在 和 各存在一個(gè)零點(diǎn)，滿足題設(shè)，
所以 ；
（ⅱ）記兩個(gè)零點(diǎn)為 ，結(jié)合 恒成立，
則 為 的兩個(gè)零點(diǎn)，則 ， ，
且 ，要證 ，
第 15頁(yè)/共 18頁(yè)
即證 ，即證
令 ，即證 ，
令 ，則 ，
所以 ，得證；
要證 ，即證
令 ，則 ，則 ，
所以 ，得證．
綜上， .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)二小問(wèn)，由已知 的零點(diǎn) 為 的兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合分析法和
導(dǎo)數(shù)證不等式為關(guān)鍵.
19. 已知甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率為 ，每局比賽的結(jié)果
互不影響．規(guī)定：凈勝 局指的是一方比另一方多勝 局．
（1）如果約定先凈勝兩局者獲勝，求恰好 4 局結(jié)束比賽的概率；
（2）如果約定先凈勝三局者獲勝，那么在比賽過(guò)程中，甲可能凈勝 局．設(shè)甲在凈
勝 局時(shí)，繼續(xù)比賽甲獲勝的概率為 ，比賽結(jié)束（甲、乙有一方先凈勝三局）時(shí)需進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為 ，期
望為 ．
①求甲獲勝的概率 ；
②求 ．
【答案】（1）
（2）① ；② ．
第 16頁(yè)/共 18頁(yè)
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的概率及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，列式計(jì)算即得.（2）①利用全概率公式列出
的關(guān)系等式，再利用消元法求出 ；②列出
的關(guān)系等式，利用消元法求出 .
【小問(wèn) 1 詳解】
4 局結(jié)束比賽時(shí)甲獲勝，則在前 2 局甲乙各勝一局，并且第 3，4 局甲勝，
概率為 ；4 局結(jié)束比賽時(shí)乙獲勝，則在前 2 局甲乙各勝一局，并且第 3，4 局乙勝，
概率為 ，所以恰好 4 局結(jié)束比賽的概率為 ．
【小問(wèn) 2 詳解】
①在甲凈勝-2 局前提下，繼續(xù)比賽一局：
若甲贏，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?1 局，繼續(xù)比賽獲勝的概率為 ；
若甲輸，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?3 局，比賽結(jié)束，
根據(jù)全概率公式， ，同理 ， ， ，
，
由 ， ，得 ，
與 聯(lián)立消去 ，得 ，
又 ， ，得 ，
與 聯(lián)立消去 ，得 ，
所以甲獲勝的概率為 ．
②在甲凈勝-2 局前提下，繼續(xù)比賽一局：
若甲贏，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?1 局，繼續(xù)比賽至結(jié)束，還需要 局，共進(jìn)行了 局；
若甲輸，則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?3 局，比賽結(jié)束，共進(jìn)行了 1 局，
則 ，即 ，
第 17頁(yè)/共 18頁(yè)
同理 ，即 ，
，即 ，
，即 ，
，即
聯(lián)立 與 ，得 ，
聯(lián)立 與 ，得 ，
代入 ，得 ，
所以 ．
第 18頁(yè)/共 18頁(yè)

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湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期月考卷（七）數(shù)學(xué)試題 Word版含解析：

這是一份湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期月考卷（七）數(shù)學(xué)試題 Word版含解析，共21頁(yè)。試卷主要包含了 已知 ，則， 定義在 的增函數(shù) 滿足等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期月考卷（七）數(shù)學(xué)試題（原卷版）：

這是一份湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期月考卷（七）數(shù)學(xué)試題（原卷版），共5頁(yè)。試卷主要包含了 已知 ，則， 定義在 的增函數(shù) 滿足等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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