命題：雅禮中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組
審題：雅禮中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上
無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是
符合題目要求的.
1. 設(shè)集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別解出集合 中的分式不等式和集合 中的對數(shù)不等式，再利用集合的交集運算即可求解.
【詳解】不等式 等價于 ，解得 ，
；
不等式 等價于 ，
， ， ，
.
故選：D
2. “ ”是“復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)”的（ ）
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A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分條件和必要條件的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運算及純虛數(shù)的概念求解.
【詳解】復(fù)數(shù) ，
當(dāng) 時， ，復(fù)數(shù) ，是純虛數(shù)；
當(dāng)復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)時，有 ，解得 .
則“ ”是“復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)”的充要條件.
故選：C
3. 已知平面向量 滿足 ，且 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由條件求得 ，再由平面向量的夾角公式即可求解；
【詳解】由 ， ，
．
故選：D．
4. 已知隨機變量 ，且 ，則 的最小值為（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得 ，利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的知識得 ，則 ，
，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時取等.
故選：D
5. 已知 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由誘導(dǎo)公式和和差角公式化簡等式求得 的值，從而知道 的值，然后得到 的
值.
【詳解】 ， ，
，可得 ，
， ．
故選：A．
6. 已知雙曲線 的右焦點為 ，過 且傾斜角為 的直線交雙曲線 的兩條漸近線于
兩點，則 （ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)漸近線的傾斜角可得 ，根據(jù)全等即可求解.
【詳解】由已知 ，漸近線方程為 ，則兩條漸近線傾斜角分別為 和 ；
直線 傾斜角為 ，且經(jīng)過右焦點 ，所以該直線與其中一條漸近線垂直．
令 ，易得 ，則 .
故選：A；
7. 從幾何體的某一頂點開始，沿著棱不間斷、不重復(fù)地畫完所有棱的畫法稱為“一筆畫”．下列幾何體可以“一
筆畫”的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一筆畫的要求，先找到都是偶點的圖形，一定可以一筆畫，再驗證奇點的圖形是否符合一筆
畫的條件.
【詳解】從一頂點出發(fā)的邊數(shù)為雙數(shù)的頂點叫偶點，凡是偶點組成的圖形一定可以一筆畫，所以 C 選項正
確;
從一頂點出發(fā)的邊數(shù)為單數(shù)的頂點叫奇點，凡是奇點組成的圖形，必須滿足只有兩個奇點，其余點為偶點
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才可以一筆畫，
而 ABD 選項圖形中，每個點都是奇點，所以不能一筆畫.
故選：C
8. 定義在 的增函數(shù) 滿足： ，且 .已知數(shù)列
的前 項和為 ，則使得 成立的 的最大值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】應(yīng)用已知條件分別構(gòu)造抽象函數(shù)模型 或應(yīng)用賦值法計算得出 再應(yīng)用等比
數(shù)列的求和公式計算可得.
【詳解】法一： ，可令 ，又 ，則 ，
，
．
．
法二：
由題 ；
令 ；
令 ；
， ．
．
故選：B．
二?多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目
要求，全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.
9. 已知 是兩條不同的直線， 是兩個不同的平面，則下列命題為真命題的有（ ）
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A. 若 ，則 平行或相交
B. 若 ，則
C. 若 ，則
D. 若 ，則 平行或相交
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)空間中的線線、線面、面面關(guān)系逐項判斷即可得結(jié)論.
【詳解】若 ，則 平行或相交或異面，故 A 錯誤；
若 ，則 ，故 B 正確；
若 ，則 平行或相交，故 C 錯誤；
若 ，則 平行或相交，故 D 正確.
故選：BD.
10. 已知 的內(nèi)角 的對邊分別為 ，且 ，下列結(jié)論正確的是
（ ）
A.
B. 若 ，則 有兩解
C. 當(dāng) 時， 為直角三角形
D. 若 為銳角三角形，則 的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】
【分析】通過正弦定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式即可判斷 A；通過余弦定理即可判斷 B；通過
余弦定理及 可得 或 ，即可判斷 C；通過求 的取值范圍 ，并將
即可判斷 D.
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【詳解】對于 A，因為 ，
所以由 及正弦定理得， ，
由誘導(dǎo)公式得， ，
因為 ，故 ，所以 ，
化解得 ，即 ，
所以 或 ，即 （舍）或 ，故 A 正確；
對于 B，由余弦定理得 ，即 ，得 ，
由 ，所以 (負值舍)，即 有一解，故 B 錯誤；
對于 C，因為 ，兩邊平方得 ，
由余弦定理得 ，
由兩式消 得， ，解得 或 ，
由 解得 ，
由 解得 ;
故 為直角三角形，故 C 正確；
對于 D，因為 為銳角三角形，且 ，
所以 ，
即 ，
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所以 ，所以 ，故 D 正確.
故選：ACD.
11. 數(shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，圖中美麗的眼睛圖案由兩條曲線構(gòu)成，曲線 ，上頂點為 ，
右頂點為 ，曲線 上的點滿足到 和直線 的距離之和為定值 4，已知兩條曲線具有公共的
上下頂點，過 作斜率小于 0 的直線 與兩曲線從左到右依次交于 且 ，則（ ）
A. 曲線 由兩條拋物線的一部分組成
B. 線段 的長度與 點到直線 的距離相等
C. 若線段 的長度為 ，則直線 的斜率為
D. 若 ，則直線 的斜率為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于選項 A，根據(jù)題干列出等式即可判斷；對于選項 B，利用拋物線的定義即可判斷，對于選項 C，
利用焦半徑公式列出等式即可判斷，對于選項 D，由焦半徑，又因為 可得 ，即可得
到結(jié)果.
【詳解】
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對于 A 選項，設(shè)曲線 上任意一點 ，
由 定義可知， 滿足 ，
移項，平方可得： ，
即 ，為兩條拋物線，故 A 正確；
對于 B 選項， 和直線 分別為拋物線 的焦點和準(zhǔn)線，由拋物線定義可知，故 B 正確
對于 C 選項，設(shè) 與 軸夾角為 同時為拋物線 和橢圓的焦點， ，
，
解得 ，則 ，故 C 錯誤.
對于 D 選項，易知 為拋物線 和 的焦點，
前者 ，后者 分別為兩個拋物線的較短的焦半徑，因此
，由于 ，
則 ，因此 ，所以 ，故 D 正確，
故選：ABD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：拋物線的求解，一般利用定義和二級結(jié)論直接能夠列出等式求解.
三?填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知二項式 展開式中含有常數(shù)項，則 n 的最小值為____________．
【答案】6
【解析】
【分析】寫出二項式的通項公式并化解，根據(jù)已知列式，利用 即可得到 最小時的情況即可得
出答案.
【詳解】二項式 展開式的通項為：
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，
二項式 展開式中含有常數(shù)項，
有解，
則當(dāng) 時， 最小，且最小值為 6.
故答案為：6.
13. 小明參加一項籃球投籃測試，測試規(guī)則如下：若出現(xiàn)連續(xù)兩次投籃命中，則通過測式；若出現(xiàn)連續(xù)兩次
投籃不中，則不通過測試.已知小明每次投籃命中的概率均為 ，則小明通過測試的概率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式和條件概率求解即可.
【詳解】設(shè)第一次投籃成功為事件 B，通過測試為事件 A，
則 ，
所以 ，
所以 ，
故答案為：
14. 已知函數(shù) ，若不等式 對任意 恒成立，則實數(shù) 的取
值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】證明函數(shù) 為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù) 在 上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)將條件
轉(zhuǎn)化為 恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求 的范圍.
【詳解】函數(shù) 的定義域為 ，定義域關(guān)于原點對稱，
且 ，
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所以 為偶函數(shù)，
又當(dāng) 時， ， ，
所以 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，
所以不等式 對任意 恒成立，
轉(zhuǎn)化為 ，即 ，
所以 且 在 上恒成立，
①若 在 上恒成立，則 ，解得 ；
②若 在 上恒成立，則 ，解得 ，
綜上所述，實數(shù) 的取值范圍是 .
故答案為： .
四?解答題：本題共 5 小題，共 77 分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明?證明
過程或演算步驟.
15. 如圖，三棱柱 中，側(cè)面 底面 ABC，且 ， ．
（1）證明： 平面 ABC；
（2）若 ， ，求平面 與平面 夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2） .
【解析】
第 11頁/共 21頁
【分析】（1）取 BC 的中點 M，連結(jié) MA、 ，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和線面垂直判定定理得 平面
，進而由 得 ，再證明 平面 ABC 即可得證.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于 的垂面，從而得出二面角的
平面角再進行求解即可.
【小問 1 詳解】
取 BC 的中點 M，連結(jié) MA、 ．
因為 ， ，所以 ， ，
由于 AM， 平面 ，且 ，
因此 平面 ，
因為 平面 ，所以 ，
又因為 ，所以 ，
因為平面 平面 ABC，平面 平面 ，且 平面 ，所以 平
面 ABC，
因為 ，所以 平面 ABC.
【小問 2 詳解】
法一：因為 ，且 ，所以 ．
以 AB，AC， 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ，
第 12頁/共 21頁
則 ， ， ， ．
所以 ， ， ．
設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，可得 ，
令 ，則 ，
設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，可得 ，
令 ，則 ，
設(shè)平面 與平面 夾角為 ，則 ，
所以平面 與平面 夾角的余弦值為 .
法二：將直三棱柱 補成長方體 ．
連接 ，過點 C 作 ，垂足為 P，再過 P 作 ，垂足為 Q，連接 CQ，
因為 平面 ，且 平面 ，
所以 ，
第 13頁/共 21頁
又因為 ，由于 BD， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，則 為直角三角形，
由于 平面 ，所以 ，
因為 ， 平面 CPQ，且 ，所以 平面 CPQ，
因為 平面 CPQ，所以 ，
則∠CQP 為平面 與平面 的夾角或補角，
在 中，由等面積法可得 ,
因為 ，所以 ，
因此平面 與平面 夾角的余弦值為 .
16. 已知函數(shù) ，其中
（1）當(dāng) 時，求曲線 的對稱中心；
（2）若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，求實數(shù) a 的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)的定義域，就可以初步判斷對稱中心的橫坐標(biāo)，再利用對稱性恒等式進行求解，就
可得對稱中心的縱坐標(biāo)，從而可得對稱中心；
（2）由函數(shù)的單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)值恒小于或等于 0，再利用二次不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立，轉(zhuǎn)化為端點
值成立即可求解.
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時， ，定義域為 ，
第 14頁/共 21頁
其定義域關(guān)于 對稱，
則
，
所以函數(shù) 的對稱中心是 .
【小問 2 詳解】
由 ，
因為 ，所以 ，所以 的定義域為 ，
則 ，
由題可得 在區(qū)間 上恒成立，
則 在區(qū)間 上恒成立，
則 ，
解得 ，
故實數(shù) a 的取值范圍為：
17. “石頭、剪刀、布”是我們小時候常玩的游戲，游戲規(guī)則如下：
①石頭贏剪刀，剪刀贏布，布贏石頭；
第 15頁/共 21頁
②兩人游戲時，出相同的手勢為平局；多人游戲時都出相同的手勢或者三種手勢都出現(xiàn)為平局.
現(xiàn)有 人玩游戲.
（1）分別求 3 人，4 人玩一輪游戲，平局的概率 、 ；
（2）求 人玩一輪游戲，平局的概率 （結(jié)果用 n 表示）；
（3）設(shè)當(dāng) 時，玩 2 輪游戲，最終決出唯一獲勝者的概率 .
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用古典概型及排列數(shù)組合數(shù)公式計算即可；
（2）應(yīng)用古典概型及對立事件概率公式計算即可；
（3）應(yīng)用古典概型，獨立事件概率乘積公式及互斥事件概率和公式計算即可；
【小問 1 詳解】
，
【小問 2 詳解】
由于平局的情況比較多，我們可以考慮 n 人玩游戲分出勝負的概率 ，
；
其中 表示分出勝負的三種情況，即 n 人只出了①石頭，剪刀；②石頭，布；③剪刀，布，此時分勝負，
而分出勝負與平局是對立事件，
故
【小問 3 詳解】
解法一：由于 5 人玩 2 輪游戲，最終決出唯一獲勝者
情形一：第一輪平局，第二輪決出唯一獲勝者
第 16頁/共 21頁
此時 ；
情形二：第一輪淘汰 1 位游戲者，第二輪淘汰 3 位游戲者，決出唯一獲勝者
此時 ；
情形三：第一輪淘汰 2 位游戲者，第二輪淘汰 2 位游戲者，決出唯一獲勝者
此時 ；
情形四：第一輪淘汰 3 位游戲者，第二輪淘汰 1 位游戲者，決出唯一獲勝者
此時 ；
綜上所述：
解法二：記 表示 n 個人玩一輪游戲，恰好剩 m 人的概率，
當(dāng) 時， ；
當(dāng) 時， ；
5 人 2 輪游戲決出唯一獲勝者的概率 ，
.
18. 已知點 ，平面內(nèi)過一動點 （異于 ）的直線 分別與直線 4 相交于
兩點，且 ，記動點 的軌跡為曲線 .
（1）求 的方程；
（2）若斜率為 1 的直線 與 相交于 兩點，且 ，求 的方程；
（3）記 與 外接圓的半徑分別為 ，求 的最小值.
第 17頁/共 21頁
【答案】（1） （ ）；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）設(shè) ，根據(jù)斜率的兩點式及其乘積為定值，即可得軌跡方程；
（2）設(shè) l 的方程為 ， ， ，聯(lián)立曲線 ，應(yīng)用韋達定理及弦長公式列方程求
參數(shù) m，即可得結(jié)果；
（3）設(shè)直線 PA 的方程為 ，則直線 PB 的方程為 ，進而求出 坐標(biāo)及
，應(yīng)用正弦定理求外接圓半徑，結(jié)合 可得 ，最后應(yīng)用基本不等式求
最值即可.
【小問 1 詳解】
設(shè) ，由 ，得 ，整理得 .
因為點 P 異于點 A，B，所以 C 的方程為 （ ）.
【小問 2 詳解】
設(shè) l 的方程為 ， ， ，則 .
聯(lián)立方程組 ，整理得 ，
則 ，即 ，
所以 ， ，
則 ，解得 ，滿足題設(shè)，
第 18頁/共 21頁
所以 l 的方程為 .
【小問 3 詳解】
設(shè)直線 PA 的方程為 ，則直線 PB 的方程為 .
令 ，得 ，同理得 ，則
在 中，由正弦定理知 ，同理可得 .
因為 ，所以 ，
從而 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，
故 的最小值為 .
19. 記集合 ， ， ，對于 ，
， ，定義 .
（1） ，且 ，記隨機變量 ，求
（2）若集合 ，對于 ，且 ，都有 ，請寫出一個集合 ，使得集合 中的
元素個數(shù)最多，并說明理由；
（3）若集合 ，對于 ，且 ，都有 ，求證：集合 中至多有 個元素．
【答案】（1）
第 19頁/共 21頁
（2） ， 中一共有 個元素，理由見解析
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)集合的定義列舉出 中的元素，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可；
（2）利用反證法，假設(shè) 中除了 外還有 個元素，利用集合元素的互異性可知這些元素中
至少含有 個“1”，則一定存在兩個元素之中的某一個分量同時為 1，與題設(shè)矛盾即可證明；
（3）對于 ，令 ，則由 可知若 ，則
，即可證明結(jié)論.
【小問 1 詳解】
由題意可 ，
中的元素有 ， ， ， ， ， ， ， ，共 8 個，
從 8 個元素中任選兩個元素有 種，
其中向量 和剩下 7 個向量的數(shù)量積均為 0，有 7 種情況；
， ， 這 3 個向量中任選兩個，它們的數(shù)量積均為 0，有 3 種情況；
， ， 這 3 個向量分別和 ， ， 的數(shù)量積為 0，有 3 種情況，
則滿足 的情況共有 種，
所以
【小問 2 詳解】
， 中一共有 個元素，此時 中元素個數(shù)是
最多的.
理由如下：
假設(shè) 中除了 外還有 個元素，
則根據(jù)集合中元素的互異性這些元素中至少含有 個“1”，
所以一定存在兩個元素 ， ， ，
這兩個向量之中的某一個分量同時為 1，
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即存在 ，使得 ，此時 ，與題設(shè)矛盾，
故集合 中至多有 個元素．
【小問 3 詳解】
對于 ，令 ，
定義 與 是一組“互補向量”，
若 ，則 ，且 ，
所以對于集合 ，若 ，則 ，
因為若 且 ，則 ，
與已知對于 ，且 ，都有 ，矛盾，
而 中元素個數(shù)為 個， 與 成對出現(xiàn)，
所以集合 中的元素個數(shù)至多為 個，即 .
下面給出一種 的取法：
在每一組“互補向量”中，我們始終取“1”的個數(shù)較多的那個向量作為集合 中的元素，這樣就能保證對
于 ，且 ，都有 ，
證明如下：
①若 ， ，則每一組“互補向量”里被選出來的向量都至少含有 個“1”，
可知 中任意兩個向量里都至少有一個相同位置含有“1”，符合題意．
②若 ， ，按照前面的選法，選出的“1”的個數(shù)大于 的向量與其他組被選出的向量的數(shù)量積
都大于 0，所以我們只需要考慮那些恰好含有 個“1”的“互補向量”組．
事實上，每一個恰好含有 個“1”的向量只與自身的“互補向量”的數(shù)量積為 0，而與其他的含有 個“1
”的向量的數(shù)量積均大于
所以對于由兩個恰好含有 個“1”的向量構(gòu)成的“互補向量”組，我們就從這兩個向量中任選一個作為集
合 中的元素，這樣的選法仍是選出了 個向量作為 中的元素．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查集合的新定義、集合的表示、元素與集合的關(guān)系，對于新定義問題要
充分理解定義，并把定義進行轉(zhuǎn)化為已知的知識點或結(jié)論，方便解題.
第 21頁/共 21頁

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