湖北省楚天協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題學(xué)校：云夢(mèng)一中命題救師：孫小鋒審題學(xué)校：安陸—中
考試時(shí)間：2025 年 4 月 10 日下午 15：00-17：00 試卷滿分：150 分
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答
題卡上的指定位置
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題號(hào)的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試
卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)、寫在試卷、草稿紙和
答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有
一項(xiàng)是符合要求的.
1. 已知點(diǎn) 關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則直線的方程為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，直線為線段的垂直平分線，求出線段的垂直平分線方程，即為所求.
【詳解】由題意可知，直線為線段的垂直平分線，且，
所以直線的斜率為，
又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以直線的方程為，
整理可得 .
故選：C.
2. 若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則的值為（）
第 1頁/共 19頁
A. B. 9 C. D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由離心率的定義即可求解.
【詳解】由題意可知：，
所以，
解得：，
故選：B
3. 已知為等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，若，，則的值為（）
A. 21 B. 20 C. 19 D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合求和公式及通項(xiàng)公式計(jì)算求解.
【詳解】因?yàn)?為等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，設(shè)公差為，
所以，，即得，
所以，所以，
則 .
故選：A.
4. 點(diǎn) P 是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 處切線傾斜角的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求導(dǎo)，確定導(dǎo)函數(shù)值域，結(jié)合傾斜角與斜率的變化關(guān)系進(jìn)而可求解.
第 2頁/共 19頁
【詳解】由，
可得：，
即，
結(jié)合傾斜角與斜率的變化關(guān)系可知取值范圍為，
故選：B
5. 若雙曲線的兩漸近線的夾角為，實(shí)軸長(zhǎng)為 6 且焦點(diǎn)在 x 軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線的對(duì)稱性，求出漸近線的傾斜角，建立方程求解即得.
【詳解】因兩漸近線的夾角為，由雙曲線漸近線的對(duì)稱性可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為
或，即得或，解得或 ..
故選：D.
6. 已知 m，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A. B.
C. D. 若，則
【答案】A
【解析】
【分析】由組合數(shù)、階乘的計(jì)算公式逐個(gè)判斷即可.
【詳解】，，
，A 錯(cuò)誤；
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，B 正確；
，
，C 正確，
由，可得，即，又，解得：，D 正確；
故選：A
7. 已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為，前 n 項(xiàng)的積為，若，當(dāng) 取最小值時(shí)，（）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 12 或 13
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出，再由單調(diào)性求得答案.
【詳解】，，當(dāng) 時(shí)，，兩式相減得，
而，解得，因此數(shù)列是等比數(shù)列，，
數(shù)列是遞增正項(xiàng)數(shù)列，，
因此，所以當(dāng) 取最小值時(shí)， .
故選：C
8. 設(shè) ，，，則 a、b、c 的大小關(guān)系為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式將分別化為，構(gòu)造函數(shù) ，
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利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù) 的單調(diào)性即可.
【詳解】，，
，
令，則，
令，則，
所以在單調(diào)遞減，所以，即，
所以在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，
即，所以 .
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多
項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 已知直線，圓，則下列命題正確的有（）
A. 直線 l 過定點(diǎn)
B. 若直線 l 過 C 點(diǎn)，則
C. 存在實(shí)數(shù) t，使得直線 l 與圓 C 相切
D. 若直線 l 與圓 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，則 A，B 兩點(diǎn)間的最短距離為
【答案】AB
【解析】
【分析】對(duì)于 A，根據(jù)直線方程特點(diǎn)易得；對(duì)于 B，將點(diǎn) 代入，計(jì)算即得；對(duì)于 C，
根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出方程，由方程的根的情況判斷；對(duì)于 D，根據(jù)直線過圓內(nèi)的定點(diǎn)
，即可判斷當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)弦長(zhǎng) 最短，同時(shí)結(jié)合圖象可判斷此時(shí)直線的斜率不存在，從
第 5頁/共 19頁
而排除.
【詳解】對(duì)于 A，直線顯然經(jīng)過點(diǎn) ，故 A 正確；
對(duì)于 B，直線 l 過點(diǎn) ，則有，則，故 B 正確；
對(duì)于 C，由圓心到直線的距離，可得，
顯然的值不存在，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，由垂徑定理，要使弦長(zhǎng) 最短，需使圓心到直線的距離最長(zhǎng)，
而直線 l 過定點(diǎn) ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，，此時(shí)，，
但是，此時(shí) 軸，直線的斜率不存在，顯然不合題意，故 D 錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 對(duì)任意實(shí)數(shù) x，有 .則下列結(jié)論正確是（）
A. B. （，1，…，9）的最大值為
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用賦值法可判斷 A；由，可判斷為負(fù)，
為正，計(jì)算可判斷 B；令，計(jì)算可判斷 C；結(jié)合 B 計(jì)算可判斷 D.
【詳解】對(duì)于 A，令，得，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，由，
則展開式的通項(xiàng)公式為，
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所以為負(fù)，為正，
當(dāng) 時(shí)，計(jì)算可得，，
，，，
所以（，1，…，9）的最大值為，故 B 正確；
對(duì)于 C，令，可得，
令，可得，
所以，又，可得，故 C 正確；
對(duì)于 D，由 B 可知，故 D 正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù) （）存在兩個(gè)極值點(diǎn) ，（），且，
.設(shè) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 m，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為 n，則（）
A. B. n 的取值為 2、3、4
C. D. mn 的取值為 3、6、9
【答案】AD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象分析，的零點(diǎn)分布，進(jìn)而可得結(jié)果
.
【詳解】由，可得為二次函數(shù)，（）為
的零點(diǎn)，
由，得或，
因?yàn)?，令，解得或；令，解得，
所以在和內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
則為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，
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所以，又，，即，
若，則，此時(shí) ，與矛盾，故 A 正確；
因?yàn)?，所以有 2 個(gè)解，有 1 個(gè)解，
所以有 3 個(gè)解，故 B 錯(cuò)誤；
當(dāng) 時(shí)，如圖所示，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以，，
故，
當(dāng) 時(shí)，如圖所示，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，
所以，，故，
當(dāng) 時(shí)，如圖所示，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以，，
故，故 C 錯(cuò)誤，D 正確.
故選：AD.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
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12. 已知圓和圓，則兩圓的公共弦長(zhǎng)為__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出相交兩圓的公共弦所在直線方程，再求出圓心到公共弦直線的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)公式
即可求得公共弦長(zhǎng).
【詳解】
如圖，由圓與圓相減，
整理可得兩圓的公共弦所在直線方程為：，
由圓的圓心到直線的距離為，
由弦長(zhǎng)公式，可得兩圓的公共弦長(zhǎng)為 .
故答案為： .
13. 某高中為開展新質(zhì)課堂，豐富學(xué)生的課余生活，開設(shè)了若干個(gè)社團(tuán)，高二年級(jí)有 5 名同學(xué)打算參加“書
法協(xié)會(huì)”、“舞動(dòng)青春”、“紅袖添香”和“羽乒協(xié)會(huì)”四個(gè)社團(tuán).若每名同學(xué)必須參加且只能參加 1 個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社
團(tuán)至多兩人參加，則這 5 個(gè)同學(xué)中至多有 1 人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的不同方法數(shù)為__________.（用數(shù)字作
答）
【答案】360
【解析】
【分析】依題意，將問題分成 0 人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)和人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)兩種情況討論，然后
分別計(jì)算方法數(shù)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列組合公式計(jì)算即得方法數(shù).
【詳解】(1)計(jì)算 0 人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的方法數(shù)：
將名同學(xué)分配到“書法協(xié)會(huì)”、“紅袖添香”和“羽乒協(xié)會(huì)”三個(gè)社團(tuán)，且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加.
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可先將人分成，，三組，有種，
再將這三組在三個(gè)社團(tuán)上全排列，可得，故方法數(shù)為種；
(2)計(jì)算人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的方法數(shù)：
先從人中選人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)，有種.
然后將剩下的人分配到“書法協(xié)會(huì)”、“紅袖添香”和“羽乒協(xié)會(huì)”三個(gè)社團(tuán)，且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，
可將人按照，或，，分組
① 若按照，分組，則有種，再將分好的兩組全排列，安排到三個(gè)社團(tuán)中的兩個(gè)，
則有種，故方法數(shù)為種；
② 若按照，，分組，則有種，再將這三組在三個(gè)社團(tuán)上全排列，
則有，故方法數(shù)為種.
故有人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的方法數(shù)為種.
綜上(1)，(2)，這 5 個(gè)同學(xué)中至多有 1 人參加“舞動(dòng)青春”社團(tuán)的不同方法數(shù)為：種.
故答案為：360.
14. 已知且，集合和集合，若，則實(shí)數(shù) a 的取
值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】分和兩種情況討論集合，進(jìn)而可求解.
【詳解】或，
當(dāng) ，對(duì)于等價(jià)于，
若，則，故此時(shí)不等式不成立，
即此時(shí) 一定落在的內(nèi)部，滿足，
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若，
要滿足，需滿足對(duì)于在恒成立，
即，即，
構(gòu)造函數(shù) ，求導(dǎo)可得：，
由，可得，
由，可得，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
最大值為，
所以，即，
綜上可知：實(shí)數(shù) a 的取值范圍為
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.
15. 已知的展開式中的第項(xiàng)、第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.
（1）求的值.
（2）記，求被除的余數(shù).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得出，可得出關(guān)于的方程，由題意得出，可解出的值；
（2）由題意得出，結(jié)合二項(xiàng)展開式可求出除余數(shù).
【小問 1 詳解】
的展開式的第項(xiàng)、第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次為、和，
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由題意有，即，整理得，
因?yàn)?，解得 .
【小問 2 詳解】
因?yàn)?，
所以，
，
所以能被整除
因此，被除的余數(shù)為 .
16. 已知數(shù)列滿足，（）.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.
（2）設(shè) ，求 .
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）對(duì) 取倒數(shù)，整理得，然后利用等比數(shù)列定義即可證明；
（2）先利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【小問 1 詳解】
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數(shù)列滿足，（），
則，
∴ ，
又∵ ，
∴數(shù)列是以 1 為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
【小問 2 詳解】
由（1）知，則（），
∴
，
∴
.
17. 已知函數(shù) ，
（1）當(dāng) 時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）若函數(shù) 有最小值，且的最小值大于，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由點(diǎn)斜式方程即可求得切線方程；
（2）將函數(shù)求導(dǎo)后分類討論推得，且有最小值，依題意，需使
，即，構(gòu)造函數(shù) ，（），通過求導(dǎo)分析即可
確定 a 的取值范圍.
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時(shí)，，
∴ ，故
∴曲線在處的切線方程為：，
即 .
【小問 2 詳解】
因的定義域?yàn)?，
當(dāng) 時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，無最小值；
故 .
由得，由得，
∴ 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng) 時(shí)，有最小值，
依題意，，即，
∵ ，∴ ，
設(shè) ，（），則，
因，則在上單調(diào)遞增，
又，故由可得，
即，解得，
故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 .
18. 已知以為焦點(diǎn)的拋物線 C 的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn) P 是拋物線 C 的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作拋物
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線 C 的兩條切線 PA，PB，其中 A，B 為切點(diǎn)，設(shè)直線 PA，PB 的斜率分別是和 .
（1）求拋物線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程.
（2）求證：為定值.
（3）求面積的最小值.
【答案】（1）標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為
（2）證明見解析（3）16
【解析】
【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求解即可；
（2）設(shè)切線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解即可；
（3）直線 AB 的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，利用得到且，再利用
弦長(zhǎng)公式和兩點(diǎn)間距離公式求解即可.
【小問 1 詳解】
由題意知拋物線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）且，∴ ，
∴拋物線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為；
【小問 2 詳解】
證明：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為，，
由題意知過點(diǎn) P 與拋物線 C 相切的直線的斜率存在且不為 0，
設(shè)切線的斜率為 k，則切線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去 x，得，
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∴ 得（*），
又∵ 、為方程（*）的兩根，由韋達(dá)定理得為定值；
【小問 3 詳解】
由題知直線 AB 的斜率不為 0，設(shè)直線 AB 的方程為，，，
聯(lián)立方程組整理得，，
∴ ，，
∵ ，∴ ，
整理得，
代入有，
∴ ，∴ 且，
∴AB：，故直線 AB 過定點(diǎn) .
∴ ，，
∴ ，
點(diǎn) P 到直線 AB 的距離為，
∴ ，
因函數(shù) 在單調(diào)遞增，而，
∴當(dāng) 時(shí)，，
所以面積的最小值為 .
19. 已知函數(shù) .
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（1）證明：當(dāng) 時(shí)， .
（2）設(shè) ，令 .
（ⅰ）討論的單調(diào)性.
（ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn) ，（），證明： .
【答案】（1）證明見解析
（2）（?。┐鸢敢娊馕?；（ⅱ）證明見解析
【解析】
【分析】（1）當(dāng) ，，通過分析函數(shù)單調(diào)性，求得即可得證.
（2）（1）求導(dǎo) ，再分和兩種情況討論求解.
（ⅱ）根據(jù) 存在兩個(gè)極值點(diǎn)和，則的兩個(gè)極值點(diǎn) 滿足
，化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)證明即可.
【小問 1 詳解】
在定義域內(nèi)是增函數(shù)
∴當(dāng) 時(shí)，
要證，只需證
設(shè) （）
∴
∵ 在上單調(diào)遞增且
∴ 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
∴
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故時(shí)， .
【小問 2 詳解】
（?。?br>當(dāng) 時(shí)， .定義域?yàn)?br>∴
①當(dāng) 時(shí)，在上恒成立（當(dāng)且僅當(dāng) ，時(shí)取等號(hào)）
∴ 恒成立，故在上單調(diào)遞減.
②當(dāng) 時(shí)，令，則有兩不等正實(shí)根
當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)，
∴ 在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞
增.
（ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，由（?。┲?.
∵ 的兩個(gè)極值點(diǎn) 、為方程的兩根.
∴ ，，∴ ，
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要證等價(jià)于證明 .
設(shè) （）
∴
∴ 在上單調(diào)遞增
∴
∴ .
即 .
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