一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.直線 的傾斜角為
A. B. C. D.
2.設(shè)等比數(shù)列 的前 n 項和為 ，若 ，且 ， ， 成等差數(shù)列，則
A. 7 B. 15 C. 31 D. 63
3.雙曲線 的離心率為 ，則其漸近線方程為
A. B. C. D.
4.“ ”是“直線 與直線 平行”的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
5.小明同學(xué)有 6 把鑰匙，其中 2 把能打開門.如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能開門的鑰匙扔掉，第
二次才能打開門的概率為 如果試過的鑰匙又混進去，第二次才能打開門的概率為 ，則 ， 的值分
別為
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.已知點 ，過點 引直線 l 與曲線 相交于 A，B 兩點，當(dāng) 的面
積取得最大值時，直線 l 的斜率等于
A. B. C. D.
7.在三棱錐 中，PA，PB，PC 兩兩垂直，且 若 M 為該三棱錐外接球上的一動
點，則 的最小值為
A. B. C. D.
8.設(shè) ， 分別是雙曲線 的左、右焦點，O 是坐標(biāo)原點.過 作 C 的一條
漸近線的垂線，垂足為 若 ，則 C 的離心率為
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A. B. C. D.
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得 6 分，
部分選對的得 2 分，有選錯的得 0 分。
9.已知等差數(shù)列 的前 n 項和為 ，若 ， ，則下列結(jié)論正確的是
A. B. 當(dāng) 取得最大值時，
C. 數(shù)列 是遞減數(shù)列 D.
10.下列命題正確的是( )
A. 若三個事件 A，B，C 兩兩相互獨立，則
B. 設(shè) A，B 是兩個隨機事件，且 ， ，若 ，則 A，B 是相互獨立事件
C. 若 ， ，則事件 A，B 相互獨立與 A，B 互斥有可能同時成立
D. 若事件 A，B 相互獨立， ， ，則
11.如圖，在棱長為 2 的正方體 中，點 O 為 BD 的中點，且點 P 滿足
，則下列說法正確的是
A. 若 ，則
B. 若 ， ，則點 P 的軌跡長度為
C. 若 ， ，則
D. 若 ， ，直線 OP 與平面 所成的角為 ，則
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
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12.雙曲線 的兩個焦點分別是 和 ，焦距為 8，M 是雙曲線上的一點，且 ，
則 的周長為 .
13.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為
，乙每輪猜對的概率為 在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.則“星隊”在
兩輪活動中猜對 3 個成語的概率為 .
14.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘 3 再加上 若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以 反復(fù)進行上述兩種運算，
經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈 這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想” 又稱“角谷猜想”
等 如取正整數(shù) ，根據(jù)上述運算法則得出 ，共需經(jīng)過 8 個步
驟變成 簡稱為 8 步“雹程” 現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列 滿足： 為正整數(shù) ，
當(dāng) 時，試確定使得 至少需要 步雹程;若 ，則 m
所有可能的取值集合 M 為 .
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15. 本小題 13 分
已知點 ， ，動點 M 滿足 ，記動點 M 的軌跡為曲線
求曲線 C 的方程;
過點 的直線 l 與曲線 C 交于 P，Q 兩點，若 ，求直線 l 的方程.
16. 本小題 15 分
已知拋物線 的焦點為 F，過 F 作傾斜角為 的動直線 l 交 E 于 A，B 兩點.當(dāng) 時，
求拋物線 E 的方程;
證明：無論 如何變化， 是定值 為坐標(biāo)原點 ，并求出該定值.
17. 本小題 15 分
如圖甲，在平面五邊形 ABCDE 中， ， ， ，
，G 為 BC 的中點，以 AD 為折痕將圖甲中的 折起，使點 E 到達如圖乙中的點 S 的位置，且
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證明：平面 平面
求平面 SAD 與平面 SBC 的夾角的余弦值.
18. 本小題 17 分
設(shè)等比數(shù)列 的前 n 項和為 ，已知
求數(shù)列 的通項公式;
在 與 之間插入 n 個數(shù)，使這 個數(shù)組成一個公差為 的等差數(shù)列.
①設(shè) ，求
②在數(shù)列 中是否存在三項 、 、 其中 m、k、p 成等差數(shù)列 成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的三
項;若不存在，說明理由.
19. 本小題 17 分
如圖，已知圓 ，點 是圓 A 內(nèi)一個定點，點 P 是圓 A 上任意一點，線段 BP
的垂直平分線 l 和半徑 AP 相交于點 Q，當(dāng)點 P 在圓上運動時，點 Q 的軌跡為曲線
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求曲線 C 的方程;
一組平行直線的斜率為 ，當(dāng)它們與曲線 C 有兩個公共點時，證明這些直線被曲線 C 截得的線段的中點
在同一條直線上;
設(shè)曲線 C 與 y 軸正半軸的交點為 M，與 y 軸負半軸的交點為 N，過點 的直線 TM、TN 分別
與曲線 C 交于 E、F 兩點.若 的面積是 的面積的 倍，求 的最大值.
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本題考查了直線的點斜式、斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
求傾斜角的值 范圍 的步驟
求出斜率 的值 范圍 若斜率不存在，則傾斜角為
利用正切函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓確定傾斜角的值 范圍
【解答】
解：由直線的方程得直線的斜率 ，設(shè)直線的傾斜角為 ，則 ，又 所
以 故選
2.【答案】C
【解析】解：設(shè)公比為 q，
因為 ， ， 成等差數(shù)列，
所以 ，則 ，解得
因為 ，
所以 ，
所以
3.【答案】B
【解析】解：由題意可得： ，
解得： ，
雙曲線的漸近線方程為
故選
4.【答案】C
【解析】解： 當(dāng) 時，直線 ： 與直線 ： ，
兩條直線的斜率都是 ，截距不相等，得到兩條直線平行，滿足充分性；
當(dāng)兩條直線平行時，得到 ，
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解得 ，或 不合題意舍去 ，故 滿足必要性；
所以“ ”是“直線 與直線 平行”的充分必要條件.
5.【答案】A
【解析】解：將 6 把鑰匙分別標(biāo)號為 1，2，3，4，5，6，其中標(biāo)號，5，6 的鑰匙是能打開門的，標(biāo)號為 1，
2，3，4 的鑰匙是不能打開門的，
如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能開門的鑰匙扔掉，即為不放回地抽取，則嘗試開門兩次，如果隨
機地取一把鑰匙試著開門，把不能開門的鑰匙扔掉，即為不放回地抽取，則嘗試開門兩次，嘗試開門兩次
的樣本點有 個，
其中第二次才能打開門的樣本點有 ， ， ， ， ， ， ， ，共有 8 個，
所以 ；
如果試過的鑰匙又混進去，即為有放回地抽取，則嘗試開門兩次的樣本空間為
，共有 36 個樣本點，
其中第二次才能打開門的樣本點有 ， ， ， ， ， ， ， 共有 8 個，
所以
6.【答案】D
【解析】解：曲線 ，得 ，則 ，
所以曲線 表示圓心為 ，半徑為 的半圓 軸及以上部分 ，
由于 ，
故當(dāng) 時 的面積取得最大值，此時圓心到直線 l： 的距離為 ，
即 ，注意到 ，得
7.【答案】B
【解析】解：如圖，將三棱錐放置在正方體中，
三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心為正方體對角線的交點，
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以 P 為原點，PA、PB、PC 所在直線為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
所以 ， ， ，
， ， ，
設(shè)三棱錐外接球的半徑為 R，
，則 ，
，
，
， ，
， ，
，
，
所以
，
當(dāng) 時，
取得最小值
故選
8.【答案】D
【解析】解：在 中， ， ， ，
記 ，則 ，
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在 中， ，
由余弦定理， ，
結(jié)合 解得
9.【答案】AC
【解析】解：設(shè) 的公差為 d， ，故 ，故 A 正確；
，故 ， 所以 ，且
，故 D 錯誤；
又因為 是等差數(shù)列，故數(shù)列 是遞減數(shù)列，故 C 正確；
因為 ， ，故當(dāng) 取得最大值時， ，故 B 錯誤．
10.【答案】BD
【解析】解：對于 A 選項，設(shè)樣本空間 ，每個樣本點的概率為 ，定義 ，
；
， ；
， ，
， ，
， ；
， ，
所以 A、B、C 兩兩相互獨立，而 ， ， ，此時
，A 選項錯誤；
對于 B 選項，已知 ， ， ，即 ，所以 A、B 是相互獨立
事件，B 選項正確;
對于 C 選項，若 A、B 互斥，則 ， 若 A、B 相互獨立，則 因為
， ，所以事件 A，B 相互獨立與 A，B 互斥不可能同時成立，C 選項錯誤;
對于 D 選項，因為 A、B 相互獨立，則 ，所以
，D 選項正確.
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11.【答案】ACD
【解析】解：連接 ， ，DP，BP， ，以 D 為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
， ， ， ， ， ， ， ，
則 ，
故 ，
對于 A， ， ，若 ，則
，所以 ，故 A 正確;
對于 B，若 ， ，則 ，因為 ，所以 ，所以點 P 的軌跡長度
為 1，故 B 錯誤；
對于 C，若 ， ，則 ， ， ， ，設(shè)平面 的
法向量為 ，則 ，故可設(shè) ，
所以點 P 到平面 的距離 ，
在 中， ，則 ，所以
，故 C 正確;
對于 D，若 ， 時， ， ，則
，設(shè)
， ，
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則 ， ， ，則
，
由于函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
， ， ，所以 ，
所以 ， ， ，
， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故 D 正確.
12.【答案】解：由題意 ， ，易得 M 在左支上，
利用雙曲線的定義知 ，
故 ，又焦距為 8，故三角形 的周長為 ，
故答案為
【解析】答案詳解和解析過程見【答案】
13.【答案】
【解析】解：設(shè) ， 分別表示甲兩輪猜對 1 個、2 個成語的事件， ， 分別表示乙兩輪猜對 1 個、2
個成語的事件．
根據(jù)獨立事件的性質(zhì)，可得 ， ，
， ，
設(shè) “兩輪活動‘星隊?猜對 3 個成語”，則 ，且 與 互斥， 與 ， 與
分別相互獨立，所以
，
因此，“星隊”在兩輪活動中猜對 3 個成語的概率是
14.【答案】 ；
【解析】解：當(dāng) 時，則按運算法則得到：
，
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即使得 需要 10 步“雹程”，
若 ，則 或 1 ，
當(dāng) 時，則 或 5 ，
若 ，則 或 21 ；
若 ，則 ，若 ，則 ；
當(dāng) 時， 或 3 ，
若 時，則 ，若 時，則 ；
當(dāng) 時，則 或 1 ，
若 ，則 或 5 ；
若 ，則 ，
故 m 所有可能的取值集合 M 為 ，
故答案為：10；
15.【答案】解： 設(shè) ，由 得 ，
兩邊平方化簡得： ，故曲線 C 的方程為： ；
當(dāng)直線 l 斜率不存在時，此時直線與圓相交于 P，Q 兩點，
令 ，則 ， ，不符合題意，舍；
當(dāng)直線 l 斜率存在時，設(shè) ，圓心 到直線 l 的距離為
弦長 ，故 ， ，
又 ，平方，得 ，故 或 ，
所以直線 l 的方程為 或 ，即 或
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
16.【答案】解： 拋物線 的焦點 ，依題意，直線 l 的斜率不為 0，
設(shè)直線 ， ， ，由 ，消去 x 得： ，
顯然 ， ， ，
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，
當(dāng) 時， ，于是 ，解得 ，
所以拋物線 E 的方程為
由 可知， ，則 ，
因此對任意的實數(shù) t， 為定值，
所以無論 如何變化， 是定值
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
17.【答案】 證明：在平面五邊形 ABCDE 中， ， ，
所以四邊形 ABCDE 是直角梯形，且 ，
在直角 中， ，且 ，
則 ，可得 ，
從而 是等邊三角形，AC 平分
因為 G 為 BC 的中點，所以 ，所以 ，
又因為 ， 且 SA， 平面 SAC，
所以 平面
又因為 平面 ABCD，所以平面 平面
取 AD 的中點 F，連接 SF，過點 S 作 SO 垂直 AC 于點 O，連接 OF，如圖，
因為平面 平面 ABCD，平面 平面 ，
所以 平面 ABCD，又 平面 ABCD，則
因為 ，F(xiàn) 是 AD 的中點，所以 ，
又 且 SO， 平面 SOF，所以 平面 SOF，
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由 平面 SOF，則 ；
又因為 ，所以 ，則點 O 是 AC 的中點，
又 ，所以 ，可得
以 D 為原點，以 DA，DC 所在的直線分別為 x，y 軸， 軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ，
則 ，
設(shè)平面 SAD 的一個法向量為 ，
，
則 ，
令 ，則
設(shè)平面 SBC 的一個法向量為 ，
，
則 ，
令 ，則
設(shè)平面 SAD 與平面 SBC 的夾角為 ，
則 ，
所以平面 SAD 與平面 SBC 的夾角的余弦值為
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
18.【答案】解： 因為 ，
所以當(dāng) 時， ，
兩式相減得 ，
又因為數(shù)列 是等比數(shù)列，所以 ，
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而 ，
因此 ，解得 ，
因此數(shù)列 是以 3 為首項，公比為 4 的等比數(shù)列，
所以
由 知 ， ，
因為 ，
所以 ，
所以 ，
則 ，
所以
，
所以
假設(shè)在數(shù)列 中存在 ， ， 其中 成等差數(shù)列 成等比數(shù)列，
則 ，即 ，
因為 m，k，p 成等差數(shù)列，
所以 ，不妨設(shè) ，
整理可得： ，即 ，即 ，
即 ，即 ，
因為 ，則 ，故假設(shè)不成立，
所以在數(shù)列 中不存在三項 ， ， 其中 m，k，p 成等差數(shù)列 成等比數(shù)列．
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
19.【答案】解： 依題意可知 ，
所以 Q 點的軌跡是橢圓，設(shè)其方程為 ，其中 ， ， ，
所以曲線 C 的方程為
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設(shè)這組平行直線的方程為 ，
聯(lián)立 得 ，由 得
設(shè)兩交點分別為 ， ，PQ 的中點為
則 ， ，
消 m 得 即這些直線被曲線 C 截得的線段的中點在同一條直線 上.
因為 ，
直線 TM 的方程為 ，直線 TN 的方程為 ，聯(lián)立 ，得 ，
所以點
所以點 E 到直線 TN 的距離為
聯(lián)立 ，得 ，所以
所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，則 ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時等號成立，所以 的最大值為
【解析】詳細解答和解析過程見【答案】
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