1．（5分）經(jīng)過，B（3，0）兩點的直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）設(shè)x，y∈R，向量，且∥，則＝（ ）
A．B．C．3D．
3．（5分）方程+＝10的化簡結(jié)果是（ ）
A．+＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
4．（5分）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為A1C1的中點，若，則（ ）
A．x＝1，，B．x＝1，，
C．，y＝1，D．，y＝1，
5．（5分）已知為空間的一個基底，則下列各選項能構(gòu)成基底的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）過P（1，1）的直線與圓x2+y2＝4相交，若使得相交弦長最短，則該直線的方程為（ ）
A．y﹣1＝0B．x+y﹣2＝0C．x﹣y＝0D．x+3y﹣4＝0
7．（5分）已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓+＝1的左、右焦點，點P在此橢圓上，∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積等于（ ）
A．B．3C．6D．9
8．（5分）點P（1，0），點Q是圓x2+y2＝4上的一個動點，則線段PQ的中點M的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.多選或錯選不得分，漏選得2分.
（多選）9．（5分）下列說法正確的是（ ）
A．若直線y＝kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，則點（k，b）在第三象限
B．直線y＝ax﹣3a+2過定點（3，2）
C．過點（2，﹣1）且斜率為的直線的點斜式方程為
D．過點A（1，2）在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是x+y﹣3＝0
（多選）10．（5分）已知向量，，，則下列命題中，正確的是（ ）
A．向量與的夾角為
B．以，為鄰邊的平行四邊形的面積是
C．若，則，之間的夾角為銳角
D．若，則，之間的夾角為銳角
（多選）11．（5分）已知圓C：x2+y2＝4，則（ ）
A．圓C與直線mx+y﹣m﹣1＝0必有兩個交點
B．圓C上存在4個點到直線l：x﹣y+＝0的距離都等于1
C．圓C與圓x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三條公切線，則m＝16
D．動點P在直線x+2y﹣4＝0上，過點P向圓C引兩條切線，A、B為切點，直線AB經(jīng)過定點（1，2）
（多選）12．（5分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，B1C1的中點，以下說法正確的是（ ）
A．A1C⊥平面EFG
B．C到平面EFG的距離為
C．過點E，F(xiàn)，G作正方體的截面，所得截面的面積是
D．平面EGF與平面BCC1B1夾角余弦值為
三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）若焦點在y軸上的橢圓的離心率為，則m的值為 ．
14．（5分）直線l1：mx+2y﹣3＝0與直線l2：3x+（m﹣1）y+m﹣6＝0平行，則m＝ ．
15．（5分）已知圓C：x2+y2﹣2x﹣8＝0，點P是圓C上一動點，則點P到直線5x+12y+8＝0的距離的最大值為 ．
16．（5分）平面n的法向量是，點A（﹣1，3，0）在平面α內(nèi)，則點P（﹣2，1，4）到平面α的距離 ．
四、解答題：本題共6大題，其中第17題10分，其余每題12分，共70分.
17．（10分）已知空間三點A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求的值；
（2）若，且分別與，垂直，求的坐標．
18．（12分）已知△ABC的三個頂點是A（﹣2，1），B（0，﹣3）C（3，4）．
（1）求直線AB的方程以及△ABC的面積S；
（2）若直線l過點C，且點A，B到直線l的距離相等，求直線l的方程．
19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中點．
（1）求證：AM⊥平面PCD；
（2）求平面BPD與平面PCD夾角的余弦值．
20．（12分）已知橢圓C過點（0，），橢圓上的點到焦點的最小距離是．
（1）求橢圓C的方程；
（2）傾斜角為45°的直線l交橢圓于A，B兩點，已知，求直線l的一般式方程．
21．（12分）已知圓，圓C2的圓心在直線y＝x上，且經(jīng)過A（0，﹣1），B（﹣1，﹣2）兩點．
（1）求圓C2的方程．
（2）求經(jīng)過兩圓的交點的圓中面積最小的圓的方程．
22．（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，．以直線AB為軸，將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到直角梯形ABEF，且AF⊥AD．
（1）求證：DF∥平面BCE；
（2）在線段DF上是否存在點P，使得直線AF和平面BCP所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
2023-2024學年廣東省江門市鶴山市鶴華中學高二（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）經(jīng)過，B（3，0）兩點的直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出直線AB的斜率，即可確定其傾斜角．
【解答】解：，B（3，0），
則，所以直線的傾斜角為．
故選：A．
2．（5分）設(shè)x，y∈R，向量，且∥，則＝（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意利用空間向量的平行或垂直關(guān)系可得x，y，進而結(jié)合模長公式運算求解．
【解答】解：因為，則，解得x＝2，即，
又因為∥，則，解得y＝﹣4，即，
可得，所以．
故選：A．
3．（5分）方程+＝10的化簡結(jié)果是（ ）
A．+＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
【答案】C
【分析】方程+＝10表示（x，y）與（4，0），（﹣4，0）兩點的距離和為10，大于兩點的距離，所以點的軌跡是以（4，0），（﹣4，0）為焦點的橢圓，且a＝5，c＝4，可得結(jié)論．
【解答】解：方程+＝10表示（x，y）與（4，0），（﹣4，0）兩點的距離和為10，大于兩點的距離，所以點的軌跡是以（4，0），（﹣4，0）為焦點的橢圓，且a＝5，c＝4，
所以b＝3，
所以橢圓方程為+＝1，
故選：C．
4．（5分）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為A1C1的中點，若，則（ ）
A．x＝1，，B．x＝1，，
C．，y＝1，D．，y＝1，
【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量的線性運算法則，用基底{，，}表示出，即可得解．
【解答】解：由題意知，＝＝+（）＝++，
因為，
所以x＝1，y＝，z＝．
故選：B．
5．（5分）已知為空間的一個基底，則下列各選項能構(gòu)成基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的共面定理，即可求解．
【解答】解：，
故，，共面，三者不能構(gòu)成基底，故A錯誤；
，，不共面，能作為基底，故B正確；
＝，
則，，共面，三者不能構(gòu)成基底，故C錯誤；
，
則，，共面，三者不能構(gòu)成基底，故D錯誤．
故選：B．
6．（5分）過P（1，1）的直線與圓x2+y2＝4相交，若使得相交弦長最短，則該直線的方程為（ ）
A．y﹣1＝0B．x+y﹣2＝0C．x﹣y＝0D．x+3y﹣4＝0
【答案】B
【分析】當所得弦的長度最短時，求解直線的斜率，用點斜式求得直線方程．
【解答】解：圓x2+y2＝4 的圓心A（0，0 ），所得弦的長度最短時，直線的斜率：＝﹣1，
故直線的方程為y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0．
故選：B．
7．（5分）已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓+＝1的左、右焦點，點P在此橢圓上，∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積等于（ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，將橢圓的方程變形為標準方程，求出a、b的值，由橢圓的幾何性質(zhì)可得c的值，則有|F1F2|＝2c，由橢圓的定義可得|MF1|+|MF2|＝2a，結(jié)合余弦定理計算可得|MF1||MF2|的值，由余弦定理分析可得答案．
【解答】解：由橢圓+＝1可得：a2＝25，b2＝9，∴c2＝a2﹣b2＝16．
即|F1F2|＝2c＝8，
若P在此橢圓上，且∠F1PF2＝60°，
則|PF1|+|PF2|＝2a＝10，
cs∠F1PF2＝＝＝，
解可得|PF1||PF2|＝12，
則△MF1F2的面積S＝|PF1||PF2|sin60°＝3，
故選：B．
8．（5分）點P（1，0），點Q是圓x2+y2＝4上的一個動點，則線段PQ的中點M的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)相關(guān)點法，即可求解．
【解答】解：設(shè)點M的坐標為M（x，y），
∵P（1，0），線段PQ的中點為M，
∴Q（2x﹣1，2y），
又點Q在圓x2+y2＝4上，
∴（2x﹣1）2+（2y）2＝4，
即．
故選：A．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.多選或錯選不得分，漏選得2分.
（多選）9．（5分）下列說法正確的是（ ）
A．若直線y＝kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，則點（k，b）在第三象限
B．直線y＝ax﹣3a+2過定點（3，2）
C．過點（2，﹣1）且斜率為的直線的點斜式方程為
D．過點A（1，2）在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是x+y﹣3＝0
【答案】BC
【分析】根據(jù)直線以及直線方程的相關(guān)知識可逐一判斷．
【解答】解：對于A，若直線y＝kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，則k＜0，b＞0，則點（k，b）在第二象限，故A錯誤；
對于B，直線y＝ax﹣3a+2過定點（3，2），故B正確；
對于C，過點（2，﹣1）且斜率為的直線的點斜式方程為，故C正確；
對于D，過點A（1，2）在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是x+y﹣3＝0或y＝2x，故D錯誤．
故選：BC．
（多選）10．（5分）已知向量，，，則下列命題中，正確的是（ ）
A．向量與的夾角為
B．以，為鄰邊的平行四邊形的面積是
C．若，則，之間的夾角為銳角
D．若，則，之間的夾角為銳角
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的計算公式依次分析選項，綜合可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，||＝＝，||＝＝，?＝﹣2+3+6＝7，
則cs＜，＞＝＝，故＜，＞＝，A錯誤；
對于B，由A的結(jié)論，＜，＞＝，
則以，為鄰邊的平行四邊形的面積S＝2×（||||sin＜，＞）＝××sin＝7，B正確；
對于C，當x＝﹣3時，＝（2，1，﹣3）＝﹣（﹣2，﹣1，3），、反向，其夾角不是銳角，C錯誤；
對于D，若，則?＝﹣4﹣1+3x＝3x﹣5＞0，同時、方向不會相同，故其夾角為銳角，D正確．
故選：BD．
（多選）11．（5分）已知圓C：x2+y2＝4，則（ ）
A．圓C與直線mx+y﹣m﹣1＝0必有兩個交點
B．圓C上存在4個點到直線l：x﹣y+＝0的距離都等于1
C．圓C與圓x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三條公切線，則m＝16
D．動點P在直線x+2y﹣4＝0上，過點P向圓C引兩條切線，A、B為切點，直線AB經(jīng)過定點（1，2）
【答案】ACD
【分析】對于A，找出直線mx+y﹣m﹣1＝0所過的定點，即可判斷；對于B，計算圓x2+y2＝4的圓心到直線l的距離，再與半徑比較，即可判斷；對于C，由兩圓有三條公切線，知兩圓外切，再根據(jù)圓心距等于兩圓的半徑之和，即可得解；對于D，設(shè)點P（m，n），則m+2n﹣4＝0①，寫出以O(shè)P為直徑的圓的方程，并求出兩圓的公共弦所在直線的方程mx+ny＝4②，聯(lián)立①②，消去m，可得y＝2x，從而得解．
【解答】解：對于A，將直線mx+y﹣m﹣1＝0整理得（x﹣1）m+y﹣1＝0，
由，知x＝1，y＝1，
所以直線mx+y﹣m﹣1＝0過定點（1，1），而該定點在圓內(nèi)，故選項A正確；
對于B，圓x2+y2＝4的圓心到直線的距離為，所以只有三個點滿足題意，故選項B錯誤；
對于C，將圓x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0化成標準形式為（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，
因為兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，
所以，解得m＝16，即選項C正確；
對于D，連接OP，OA，OB，設(shè)點P（m，n），則m+2n﹣4＝0，
因為A，B為切點，所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，
所以A，B兩點在以O(shè)P為直徑的圓上，
而以O(shè)P為直徑的圓的方程為，即x2+y2﹣mx﹣ny＝0，
將該方程與x2+y2＝4相減可得，兩圓公共弦AB所在直線方程為mx+ny＝4，
聯(lián)立，消去m，得4（x﹣1）+n（y﹣2x）＝0，
令x＝1，則y＝2，即直線AB經(jīng)過定點（1，2），故選項D正確．
故選：ACD．
（多選）12．（5分）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，B1C1的中點，以下說法正確的是（ ）
A．A1C⊥平面EFG
B．C到平面EFG的距離為
C．過點E，F(xiàn)，G作正方體的截面，所得截面的面積是
D．平面EGF與平面BCC1B1夾角余弦值為
【答案】ABD
【分析】本題利用空間向量求出法向量，再利用法向量求出夾角，再求出距離和面積即可．
【解答】解：以D為原點，DA，DC，DD，所在直線分別為x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系，
因為正方體 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱長為 2，
E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，B1C1的中點，
則 A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
D（0，0，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），
C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（1，0，0），F(xiàn)（2，1，0），G（1，2，2），
因為，
，
所以A1C⊥EF，A1C⊥FG，EF，F(xiàn)G在平面EFG 上，EF∩FG＝F，
所以A1C⊥平面EFG，故A正確；
設(shè)平面EFG的法向量為，因為
所以
令x＝1，則y＝﹣1，故z＝1，
所以平面EFG的一個法向量為，
則點C到平面EFG的距離為，
所以點C到平面EFG的距離為，故B選項正確；
因為DC⊥平面BCC1B1，則 是平面BCC1B1的一個法向量，
因為平面EGF 的一個法向量為，
設(shè)平面EGF和平面BCC1B1 的夾角為θ，則θ為銳角，
所以，故D選項正確；
對于C選項，取BB1的中點H，C1D1的中點J，DD1的中點I，連接EI，IJ，JG，
GH，HF，如圖所示，
因此EF∥JG，GH∥EI，IJ∥FH，
，
且正六邊形EFHGJ是過點E，F(xiàn)，G作正方體的截面，
所以其面積為：
，故C選項錯誤．
故選ABD．
三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）若焦點在y軸上的橢圓的離心率為，則m的值為 ．
【答案】．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合離心率公式，即可求解．
【解答】解：橢圓的焦點在y軸上，
則a2＝1，b2＝m，c2＝1﹣m，
故，解得m＝．
故答案為：．
14．（5分）直線l1：mx+2y﹣3＝0與直線l2：3x+（m﹣1）y+m﹣6＝0平行，則m＝ ﹣2 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】利用兩直線平行：斜率相等，縱截距不等即可求出結(jié)果．
【解答】解：由l1：mx+2y﹣3＝0，得到，
因為l1∥l2，所以m﹣1≠0，由3x+（m﹣1）y+m﹣6＝0，得到
所以，即，解得m＝﹣2．
故答案為：﹣2．
15．（5分）已知圓C：x2+y2﹣2x﹣8＝0，點P是圓C上一動點，則點P到直線5x+12y+8＝0的距離的最大值為 4 ．
【答案】4．
【分析】求出圓心C到直線l的距離，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可求得點P到直線l距離的最大值．
【解答】解：由題圓C：x2+y2﹣2x﹣8＝0，可得，圓心C（1，0），半徑r＝3，
圓心C（1，0）到直線5x+12y+8＝0的距離等于＝1，所以點P到直線的距離的最大值為3+1＝4．
故答案為：4．
16．（5分）平面n的法向量是，點A（﹣1，3，0）在平面α內(nèi)，則點P（﹣2，1，4）到平面α的距離 ．
【答案】．
【分析】利用點到平面的距離的向量公式求解．
【解答】解：，
則點P到平面α的距離．
故答案為：．
四、解答題：本題共6大題，其中第17題10分，其余每題12分，共70分.
17．（10分）已知空間三點A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．
（1）求的值；
（2）若，且分別與，垂直，求的坐標．
【答案】（1）7；
（2）（1，1，1）或（﹣1，﹣1，﹣1）．
【分析】（1）根據(jù)題意，求出2+的坐標，進而計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，設(shè)＝（x，y，z），分析可得，解可得x、y、z的值，即可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，空間三點A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），
則＝（﹣2，﹣1，3），＝（1，﹣3，2），
則有2+＝（﹣4，﹣2，6）+（1，﹣3，2）＝（﹣3，﹣5，8）；
故|2+|＝＝7；
（2）根據(jù)題意，設(shè)＝（x，y，z），
而＝（﹣2，﹣1，3），＝（1，﹣3，2），，
則有，解可得或，
故＝（1，1，1）或（﹣1，﹣1，﹣1）．
18．（12分）已知△ABC的三個頂點是A（﹣2，1），B（0，﹣3）C（3，4）．
（1）求直線AB的方程以及△ABC的面積S；
（2）若直線l過點C，且點A，B到直線l的距離相等，求直線l的方程．
【答案】（1）2x+y+3＝0，13；
（2）2x+y﹣10＝0或5x﹣4y+1＝0．
【分析】（1）先求出直線AB的方程，再結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解；
（2）由題意可知，直線l與AB平行或通過AB的中點，再分類討論，即可求解．
【解答】解：（1）A（﹣2，1），B（0，﹣3），
，
故直線AB的方程為y＝﹣2x﹣3，即2x+y+3＝0，
，
點C到直線AB的距離為，
所以△ABC的面積S為；
（2）因為點A，B到直線l的距離相等，所以直線l與AB平行或通過AB的中點，
①當直線l與AB平行，所以kl＝，所以l：2x+y﹣10＝0．
②當直線l通過AB的中點D（﹣1，﹣1），
所以，所以l：，即5x﹣4y+1＝0，
綜上：直線l的方程為2x+y﹣10＝0或5x﹣4y+1＝0．
19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中點．
（1）求證：AM⊥平面PCD；
（2）求平面BPD與平面PCD夾角的余弦值．
【答案】（1）證明過程見解答；（2）．
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可得CD⊥平面PAD，進而得到CD⊥AM，利用正三角形的性質(zhì)可知AM⊥PD，再由線面垂直的判定得證；
（2）建立空間直角坐標系，求得平面BPD與平面PCD的法向量，利用向量的夾角公式得解．
【解答】解：（1）證明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD＝AD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又AM?平面PAD，
所以CD⊥AM，
因為是正三角形，M是PD的中點，
所以AM⊥PD，
又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，
所以AM⊥平面PCD；
（2）取AD中點為O，BC中點為N，連接OP，ON，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設(shè)AD＝2，則A（0，﹣1，0），D（0，1，0），P（0，0，），B（2，﹣1，0），M（0，，），
所以，，
設(shè)平面PBD的法向量為＝（x，y，z），
則，可取 ，
由（1）知 是平面PCD的一個法向量，，
則，
由圖象可知，平面BPD與平面PCD所成二面角的平面角為銳角，
則平面BPD與平面PCD所成二面角的余弦值為．
20．（12分）已知橢圓C過點（0，），橢圓上的點到焦點的最小距離是．
（1）求橢圓C的方程；
（2）傾斜角為45°的直線l交橢圓于A，B兩點，已知，求直線l的一般式方程．
【答案】（1）；
（2）x﹣y﹣1＝0或x﹣y+1＝0．
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，且求得a、b的值，即可求解；
（2）設(shè)/的方程y＝x+m，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理和弦長公式，根據(jù)題意，列出方程，求得m＝±1，即可求解．
【解答】解：（1）由橢圓C的離心率為，
即，可得，
由橢圓上的點到焦點的最小距離是，可得，
解得，c＝1，，
所以橢圓的方程為；
（2）因為直線l的傾斜角為45°，可設(shè)l的方程y＝x+m，
由方程組，整理得5x2+6mx+3m2﹣6＝0，
可得Δ＝36m2﹣4×5（3m2﹣6）＝24（5﹣m2）＞0，解得，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，
又由，
解得m＝±1，滿足△＞0，
所以直線l的一般式方程為x﹣y﹣1＝0或x﹣y+1＝0．
21．（12分）已知圓，圓C2的圓心在直線y＝x上，且經(jīng)過A（0，﹣1），B（﹣1，﹣2）兩點．
（1）求圓C2的方程．
（2）求經(jīng)過兩圓的交點的圓中面積最小的圓的方程．
【答案】（1）x2+y2+2x+2y+1＝0．
（2）（x+1）2+（y+1）2＝1．
【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，求出圓的圓心，列出方程組求解即可．
（2）求出公共弦的方程，求解圓的圓心與半徑，即可得到所求圓的方程．
【解答】解：（1）設(shè)圓C2的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，圓心坐標，
依題意有：∴，
∴圓C2的方程為：x2+y2+2x+2y+1＝0．
（2）由圓，圓C2的方程為：x2+y2+2x+2y+1＝0．
兩圓的方程相減，得公共弦所在直線的方程為：x﹣y＝0，
圓，圓心C1（﹣2，0），
圓，C2（﹣1，﹣1），
則以兩圓連心線所在直線的方程為，即x+y+2＝0，
過兩圓的交點的圓中面積最小的圓也就是以公共弦為直徑的圓，
由，
得所求圓的圓心為（﹣1，﹣1），
又圓心C1（﹣2，0）到公共弦所在直線x﹣y＝0的距離為，
∴所求圓的半徑，
∴所求圓的方程為（x+1）2+（y+1）2＝1．
22．（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，．以直線AB為軸，將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到直角梯形ABEF，且AF⊥AD．
（1）求證：DF∥平面BCE；
（2）在線段DF上是否存在點P，使得直線AF和平面BCP所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）證明過程見解析；
（2）存在，，理由見解析．
【分析】（1）證明出四邊形CDFE為平行四邊形，得到DF∥CE，從而得到線面平行；
（2）建立空間直角坐標系，設(shè)出，利用線面角的正弦值列出方程，求出答案．
【解答】解：（1）證明：將直角梯形ABCD繞著AB旋轉(zhuǎn)得到直角梯形ABEF，
故CD＝EF且CD∥EF，
故四邊形CDFE為平行四邊形，
所以DF∥CE，
又CE?平面BCE，DF?平面BCE，所以DF∥平面BCE；
（2）因為AF⊥AD，∠DAB＝90°，∠FAB＝90°，
所以AD，AB，AF兩兩垂直，
故以A為坐標原點，以AD，AB，AF所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
因為，設(shè)AD＝1，
則A（0，0，0），D（1，0，0），F(xiàn)（0，0，1），B（0，2，0），C（1，1，0），
設(shè)，則，設(shè)P（a，0，b），
則（a﹣1，0，b）＝m（﹣1，0，1），解得a＝1﹣m，b＝m，故P（1﹣m，0，m），
當m＝0時，此時P與D重合，直線AF和平面BCD垂直，
不滿足所成角的正弦值為，舍去；
當m≠0時，設(shè)平面BCP的法向量為，
則，
令x＝1，則，故，
設(shè)直線AF和平面BCP所成角的正弦值為θ，
則sinθ＝|cs＜，＞|＝＝＝＝，
解得：或（舍去），
綜上，在線段DF上存在點P，使得直線AF和平面BCP所成角的正弦值為，
此時．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/11/9 10:54:04；用戶：甘炎華；郵箱：15876282033；學號：49651929

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