1.設x∈R，向量a=(x,1)，b=(1,?2)，且a⊥b，則a+b=( )
A. 5B. 10C. 2 5D. 10
2.已知非零向量a，b滿足a=2 23b，若a+b⊥3a?2b，則a與b的夾角為( )
A. π4B. π2C. 3π4D. π
3.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA?bsinB=4csinC，csA=?14，則bc=( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
4.一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形ABCD，如圖所示，∠ABC=45 °,AB=AD=1,DC⊥BC，則原平面圖形的面積為( )
A. 2+ 22B. 1+ 22C. 3 22D. 2 2
5.如圖，在ΔABC中，AD?=13AC?，BP?=23BD?，若AP?=λAB?+μAC?，則λμ=( )
A. 32B. 23C. 3D. 13
6.已知a,b為不共線向量，AB=a+5b,BC=?2a+8b,CD=3a?b，則( )
A. A,B,D三點共線B. A,B,C三點共線C. B,C,D三點共線D. A,C,D三點共線
7.在?ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.向量p=a+c,b，q=b?a,c?a.若p//q，則角C的大小為( )
A. π6B. π3C. π2D. 2π3
8.如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點P距地面的距離，小明同學在場館內的A點測得P的仰角為30 °，∠ABO=120 °，∠BAO=30 °，AB=60(單位：m)，(點A,B,O在同一水平地面上)，則大跳臺最高高度OP=( )

A. 45mB. 45 2mC. 60mD. 60 3m
9.如圖所示，O為線段A0A2025外一點，若A0,A1,A2,A3,?,A2025中任意相鄰兩點間的距離相等，OA0=a,OA2025=b，則用a,b表示OA0+OA1+OA2+?+OA2025，其結果為( )
A. 2025(a+b)B. 2026(a+b)C. 1012(a+b)D. 1013(a+b)
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。
10.已知向量a=1,3，b=1,1，則a在b方向上的投影向量為 ．
11.在?ABC中，|AB|=4,|AC|=2,S?ABC=2 3，則AB?AC= ．
12.若a，b是夾角為60°的兩個單位向量，λa+b與?3a+2b垂直，則λ= ．
13.設P?3,?2，Qx,2，則OP與OQ的夾角為鈍角時，x的取值范圍為 ．
14.已知?ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足bcsC=a+ccsB，則該三角形的形狀是 ．
15.在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=3,2AM=MD,MB?MC=1，則∠BAD= ；點P是線段BC上的一個動點，當PA??PB?最小時，BP= ．
三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.(本小題12分)
已知向量與，a=1,0，b=?2,1．
(1)求2a?b；
(2)設，的夾角為θ，求csθ的值；
(3)若向量ka+b與a+kb互相平行，求k的值．
17.(本小題12分)
在?ABC，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知sinA:sinB:sinC=2:1: 2，b= 2．
(I)求a的值；
(II)求csC的值；
(III)求sin2C?π6的值．
18.(本小題12分)
在?ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知csA?2csCcsB=2c?ab．
(1)求sinCsinA的值；
(2)若csB=14,b=2．
(i)求?ABC的面積；
(ii)求sin2B+π6的值．
19.(本小題12分)
如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60 °，AB=3，BC=6，
(1)求AB?BC的值；
(2)若AD=λBC,AD?AB=?32, 求實數(shù)λ的值；
(3)在(2)的條件下，若M，N是線段BC上的動點，且MN=1,求DM?DN的最小值．
20.(本小題12分)
已知?ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2ccsA=acsB+bcsA．
(1)求角A；
(2)若?ABC的外接圓半徑R= 7，b=4，求?ABC的面積；
(3)若a= 7，BA?AC=?3，∠A的平分線交邊BC于點T，求AT的長．
參考答案
1.B
2.C
3.A
4.A
5.A
6.A
7.B
8.C
9.D
10.2,2
11.±4
12.14/0.25
13.(?43,3)∪(3,+∞)
14.直角三角形
15.2π3/120°；/23π ； ； ；
；12/0.5
16.【詳解】(1)因為a=1,0，b=?2,1，
所以2a?b=4,?1；
(2)csθ=a?bab=?2+01× 5=?2 55，
(3)ka+b=k?2,1，a+kb=1?2k,k，
由題意可得，kk?2+2k?1=0，
整理可得，k2?1=0，
解可得，k=±1．

17.【詳解】(I)因為sinA:sinB:sinC=2:1: 2，由正弦定理可得a:b:c=2:1: 2，
∵b= 2，∴a=2 2,c=2；
(II)由余弦定理可得csC=a2+b2?c22ab=8+2?42×2 2× 2=34；
(III)∵csC=34，∴sinC= 1?cs2C= 74，
∴sin2C=2sinCcsC=2× 74×34=3 78，cs2C=2cs2C?1=2×916?1=18，
所以sin2C?π6=sin2Ccsπ6?cs2Csinπ6=3 78× 32?18×12=3 21?116．

18.【詳解】(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC
csA?2csCcsB=2c?ab=2sinC?sinAsinB，
即sinBcsA?2sinBcsC=2sinCcsB?sinAcsB，
∴sinA+B=2sinB+C?sinC=2sinA，
所以sinCsinA=2．
(2)(i)由(1)知ca=sinCsinA=2，即c=2a，又b=2，
由余弦定理，得csB=a2+c2?b22ac，
解得a=1,c=2，
B∈0,π?sinB>0，則sinB= 1?cs2B= 154，
∴S?ABC=12acsinB= 154．
(ii)sin2B=2sinBcsB= 158,cs2B=2cs2B?1=?78，
sin2B+π6=sin2Bcsπ6+cs2Bsinπ6=3 5?716．

19.【詳解】(1)AB?BC=AB?BCcs120 °=3×6×?12=?9．
(2)因為AD=λBC，
所以AD//BC，所以∠BAD=120 °，
所以AD?AB=ADABcs∠BAD=?32AD=?32，
所以AD=1，又BC=6，
所以AD=16BC，即λ=16．
(3)以BC為x軸正方向，過B作BC垂線為y軸，建立坐標系，如圖所示，
因為∠B=60°,AB=3，
所以A32,3 32，則D52,3 32，
設M(x,0)，則N(x+1,0)，
因為M,N是線段BC上的兩個動點，
所以0≤x≤60≤x+1≤6，解得0≤x≤5，
所以DM=x?52,?3 32,DN=x?32,?3 32，
所以DM?DN=x?52x?32+274=(x?2)2+132，
所以當x=2時，DM?DN有最小值132．

20.【詳解】(1)由正弦定理及2ccsA=acsB+bcsA，
得2sinCcsA=sinAcsB+sinBcsA=sinA+B=sinπ?C=sinC，
∵C∈0,π，∴sinC≠0，∴csA=12，
∵A∈0,π，∴A=π3；
(2)由正弦定理得：a=2RsinA=2 7× 32= 21，
由余弦定理有：a2=b2+c2?2bccsA，
即21=16+c2?4c，即c2?4c?5=0，解得：c=5，
∴S=12bcsinA=12×4×5× 32=5 3，
∴?ABC的面積為5 3；
(3)∵BA?AC=bc?csπ?A=?bc?csA=?bc×12=?3，∴bc=6，
由余弦定理：a2=b2+c2?2bccsA=b2+c2?bc=b+c2?3bc，
即7=b+c2?18，∴b+c=5，
∵∠A的平分線交邊BC于點T，
∴S?BAT+S?CAT=S?ABC，
∴12×c×AT×sinπ6+12×b×AT×sinπ6=12bcsinA，
即AT= 3bcb+c=6 35．

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