一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.AB+BO+OM等于( )
A. BCB. ABC. ACD. AM
2.在四邊形ABCD中，AB?BC=0，BC=AD，則四邊形ABCD是( )
A. 直角梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
3.若tanβ=3，tan(α?β)=?2，則tanα等于( )
A. 17B. ?17C. 1D. ?1
4.已知向量a=(2,3),b=(x,4)，若a⊥(a?b)，則實(shí)數(shù)x=( )
A. ?12B. 12C. ?83D. 83
5.已知點(diǎn)A(1,3)，B(4,?1)，則與BA同方向的單位向量為( )
A. 35,?45B. (3,?4)C. ?35,45D. (?3,4)
6.已知csα=13，則sinπ2?2α=( )
A. 79B. ?79C. 78D. ?78
7.已知csα?csβ=12，sinα?sinβ= 33，則cs(β?α)=( )
A. 124B. ?524C. 1724D. ?1724
8.設(shè)sin(π6+θ)= 23，則sin(2θ?π6)=( )
A. ?79B. ?59C. 59D. 79
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列命題中錯誤的有( )
A. a=b的充要條件是|a|=|b|且a→/\!/b→
B. 若a→/\!/b→，b→/\!/c→，則a→/\!/c→
C. 若a→/\!/b→，則存在實(shí)數(shù)λ，使得a=λb
D. |a|?|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
10.下列化簡正確的是
A. cs82°sin52°?sin82°cs52°=12B. sin15°sin30°sin75°=14
C. tan48°+tan72°1?tan48°tan72°=? 3D. cs215°?sin215°= 32
11.武漢十一中舉行了春季運(yùn)動會，運(yùn)動會上有同學(xué)報(bào)名了實(shí)心球項(xiàng)目，其中實(shí)心球項(xiàng)目的比賽場地是一個扇形．類似一把折扇，經(jīng)過數(shù)學(xué)組老師的實(shí)地測量，得到比賽場地的平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB=150°，OA=2OC=2OD=2，點(diǎn)F在弧AB上，且∠BOF=120°，點(diǎn)E在弧CD上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的有( )
A. OD?DA= 3?1
B. OF=λOA+mOB，則λ+m= 3+1
C. OF在DF方向上的投影向量為57DF
D. EF?EB的最大值是?1
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量a=(m,4)，b=(3,?2)，且a // b，則實(shí)數(shù)m= ．
13.在△ABC中，若(a+b+c)(b+c?a)=3bc,則A= ．
14.已知OA=(k,2)，OB=(1,2k)，OC=(1?k,?1)，且相異三點(diǎn)A、B、C共線，則實(shí)數(shù)k= ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題17分)
已知a=4,b=2，且a與b的夾角為120°，求：
(1)求a?b；
(2)求2a?b；
(3)若向量2a?λb與λa?3b平行，求實(shí)數(shù)λ的值．
16.(本小題15分)
如圖所示，在邊長為2的正方形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，
(1)求證：AF⊥DE；
(2)求DE?EC的值．
17.(本小題15分)
已知α∈(0,π2)．
(1)若sinα= 55，求sin(α+π6)的值；
(2)若cs(α+π6)= 55，求sinα的值．
18.(本小題17分)
已知函數(shù)f(x)=cs2x+2 3sinxcsx?sin2x
(1)求該函數(shù)最小正周期；
(2)求該函數(shù)的最值；
(3)求該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
19.(本小題13分)
如圖，在半徑為2，圓心角為60°的扇形的弧AB上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)N在OB上，點(diǎn)M?Q在OA上，求這個矩形面積的最大值及相應(yīng)的角∠AOP的大?。?br>參考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.C
6.B
7.C
8.B
9.ABC
10.CD
11.BCD
12.?6
13.600
14.?14
15.【詳解】(1)由題意可得a?b=a?bcs120°=4×2×?12=?4．
(2)2a?b= 2a?b2= 4a2?4a?b+b2= 4×16+16+4=2 21．
(3)因a與b不共線，則λa?3b≠0，
由向量2a?λb與λa?3b平行可知，存在實(shí)數(shù)μ使得2a?λb=μλa?3b，
即(2?μλ)a=(λ?3μ)b，
則2?μλ=λ?3μ=0，得λ=± 6．

16.【詳解】(1)
由AF?DE=AB+BF?DA+AE=AB?DA+AB?AE+BF?DA+BF?AE
因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為2，所以有：
AF?DE=AB?DA+AB?AE+BF?DA+BF?AE=0+2?2+0=0，
所以AF⊥DE，即AF⊥DE；
(2)由DE?EC=DA+AE?EB+BC=EB?DA+BC?DA+EB?AE+BC?AE，
因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為2，所以有：
DE?EC=EB?DA+BC?DA+EB?AE+BC?AE=0?4+1+0=?3，
即DE?EC=?3

17.【詳解】解：(1)因?yàn)閟inα= 55，α∈(0, π2)，所以csα=2 55
所以sin(α+π6)= 32sinα+12csα= 1510+2 510= 15+2 510．
(2)因?yàn)棣痢?0, π2)，所以α+π6∈(π6,2π3)
又因?yàn)閏s(α+π6)= 55，所以sin(α+π6)=2 55
所以sinα=sin[(α+π6)?π6]= 32sin(α+π6)?12cs(α+π6)
=2 1510? 510=2 15? 510．

18.【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=cs2x+2 3sinxcsx?sin2x=cs2x+ 3sin2x
=2 32sin2x+12cs2x=2sin2x+π6，
由T=2π2=π，即該函數(shù)最小正周期為π；
(2)由(1)知f(x)=2sin2x+π6，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知sin2x+π6∈[?1,1]，
當(dāng)2x+π6=π2+2kπ,k∈Z，即x=π6+kπ,k∈Z時，f(x)max=2，
當(dāng)2x+π6=?π2+2kπ,k∈Z，即x=?π3+kπ,k∈Z時，f(x)min=?2，
所以f(x)max=2,f(x)min=?2；
(3)令?π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπk∈Z，
解得?π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，
則該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為?π3+kπ,π6+kπk∈Z．

19.【詳解】設(shè)∠AOP=θ，則θ∈(0°,60°)，在Rt?POQ中，PQ=2sinθ,OQ=2csθ,
在Rt?MON中，因∠MON=60°,MN=PQ=2sinθ，則OM=MNtan60°=2 33sinθ，
于是，MQ=OQ?OM=2csθ?2 33sinθ，
故矩形PNMQ的面積為S=PQ?MQ=2sinθ(2csθ?2 33sinθ)
=2sin2θ?2 33(1?cs2θ)=4 33sin(2θ+30°)?2 33，
因θ∈(0°,60°)，則30°

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