一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.設(shè)平面向量a=(5,k),b=(2,8)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)k=( )
A. 14B. ?14C. 54D. ?54
2.如果(z?1)i=1，則z+z?=( )
A. ?2B. ?1C. 1D. 2
3.已知在△ABC中，角A，B的對(duì)邊分別為a，b，若asinA= 2,sinB= 22，則b的值為( )
A. 2 2B. 2C. 1D. 2
4.已知e1，e2是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是( )
A. a=0，b=e1?e2B. a=3e1?3e2，b=e1?e2
C. a=e1?2e2，b=e1+2e2D. a=e1?2e2，b=2e1?4e2
5.在△ABC中，若a=18，b=24，A=45°，則此三角形( )
A. 無(wú)解B. 有兩解C. 有一解D. 解的個(gè)數(shù)不確定
6.我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若BC=a，BA=b，BE=3EF，則BF=( )
A. 1225a+925b
B. 1625a+1225b
C. 45a+35b
D. 35a+45b
7.已知|a|=5，|b|=3，且a?b=?12，則向量a在向量b上的投影向量為( )
A. 43bB. ?43bC. 23bD. ?23b
8.克羅狄斯?托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師.托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，該定理的內(nèi)容為圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線長(zhǎng)的乘積等于兩組對(duì)邊長(zhǎng)乘積之和.已知四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，且AC= 3BD，∠ADC=2∠BAD.若AB?CD+BC?AD=4 3，則圓O的半徑為( )
A. 4B. 2C. 3D. 2 3
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的為( )
A. 兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同
B. 向量AB與向量BA的長(zhǎng)度相等
C. 對(duì)任意向量a，a|a|是一個(gè)單位向量
D. 零向量沒(méi)有方向
10.已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若向量a，b，滿足AB=2a，BC=b，則( )
A. AC=2a+bB. a?b=?2
C. (4a+b)⊥BCD. |a?b|=1
11.在△ABC中，sinC2= 55,BC=10,AC=2，則( )
A. AB=4 5B. △ABC的面積為8
C. CA?BC=12D. △ABC的內(nèi)切圓半徑是3? 5
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.復(fù)數(shù)z=i2025(1+i)?a為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．
13.如圖，在△ABC中，AN=13NC，P是BN上的一點(diǎn)，若AP=311AB+mAC，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____．
14.“大美中國(guó)古建筑名塔”榴花塔以紅石為基，用青磚灰沙砌筑建成.如圖，記榴花塔高為OT，測(cè)量小組選取與塔底O在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)A和B，現(xiàn)測(cè)得∠OBA=105°，∠OAB=45°，AB=45m，在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂T的仰角為30°，則塔高OT為_(kāi)_____m.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知|a|=4，向量b=(?1, 3).
(1)若向量a//b，求向量a的坐標(biāo)；
(2)若向量a與向量b的夾角為120°，求|a?b|.
16.(本小題15分)
在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知asinB= 32b．
(1)若b=2，c=3，求a的值：
(2)若a2=bc，判斷△ABC的形狀．
17.(本小題15分)
已知A(1,1)，B(m,2)，C(?2,3)，D(?1,n)是復(fù)平面上的四個(gè)點(diǎn)，其中m，n∈R，且向量BC，AD對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2．
(1)若z1?z2=1?i，求z1，z2；
(2)若|z1+z2|= 2|z1|=2，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第二象限，求z2? 3iz1?1．
18.(本小題17分)
如圖，在菱形ABCD中，BE=12BC,CF=2FD．
(1)若EF=xAB+yAD，求3x+2y的值；
(2)若|AB|=6，∠BAD=60°，求AC?EF．
19.(本小題17分)
如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P，Q分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，且AP?AQ=|PQ|．
(1)求∠PAQ的大??；
(2)求△APQ面積的最小值；
(3)某同學(xué)在探求過(guò)程中發(fā)現(xiàn)PQ的長(zhǎng)也有最小值，結(jié)合(2)他猜想“△APQ中PQ邊上的高為定值”，他的猜想對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考答案
1.D
2.D
3.C
4.C
5.B
6.B
7.B
8.B
9.ACD
10.AC
11.ABD
12.?1
13.211
14.15 6
15.解：(1)|a|=4，設(shè)a=(x,y)，
∴x2+y2=16，
∵a/?/b，
∴ 3x+y=0，
由 3x+y=0x2+y2=4，解得x=2，y=?2 3，或x=?2，y=2 3，
解得a=(2,?2 3)或(?2,2 3)．
(2)∵|a|=4,|b|=2,=1200，
∴a?b=|a||b|cs=?4，
∴a?b2=a2?2a?b+b2=16+4+8=28，
∴|a?b|=2 7．
16.解：(1)∵asinB= 32b，由正弦定理，sinAsinB= 32sinB，而sinB≠0，
∴sinA= 32，A∈(0,π2)，∴A=π3，
再由余弦定理得，a2=b2+c2?2bccsA=22+32?2×2×3×12=7，
∴a= 7；
(2)因?yàn)锳=π3，所以由余弦定理得a2=b2+c2?bc，
結(jié)合a2=bc得b2+c2?2bc=0，∴b=c，a=b=c，
所以△ABC是等邊三角形．
17.

18.解：(1)因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，BE=12BC,CF=2FD．
故EF=EC+CF=12AD?23AB，
故x=?23,y=12，所以3x+2y=?1．
(2)顯然AC=AB+AD，
所以AC?EF=(AB+AD)?(12AD?23AB)
=?23AB2+12AD2?16AB?AD……①，
因?yàn)榱庑蜛BCD，且|AB|=6，∠BAD=60°，故|AD|=6，=60°．
所以AB?AD=6×6×cs60°=18．
故①式=?23×62+12×62?16×18=?9．
故AC?EF=?9．
19.解：記∠DAQ=α，∠BAP=β，則∠PAQ=π2?(α+β)．
(1)∵AP?AQ=|PQ|，
∴AP=AB+BP，AQ=AD+DQ
∴AP?AQ=(AB+BP)(AD+DQ)=AB?DQ+AD?BP=|DQ|+|BP|，
∴|DQ|+|BP|=|PQ|，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，
∴DQ=tanα，BP=tanβ，
在Rt△CQP中，CQ=1?tanα，CP=1?tanβ，由PQ=DQ+BP，
則(1?tanα)2+(1?tanβ)2=(tanα+tanβ)2，
∴1?tanαtanβ=tanα+tanβ，tan∠PAQ=tan(π2?(α+β))=1tan(α+β)=1．
∵∠PAQ∈(0,π2)，
∴∠PAQ=π4．
(2)AQ=1csα，AP=1csβ．
∴S△APQ=12sin∠PAQ?AQ?AP= 241csαcsβ，
∵α+β=π4，
∴S△APQ= 241csαcs(π4?α)= 24112sin(2α+π4)+ 24．
∵α∈(0,π4)，
∴當(dāng)α=π8時(shí)，△APQ面積的最小值為 2?1．
(3)設(shè)△APQ中PQ邊上的高為?，由S△APQ=12PQ×?，S△APQ=12AP×AQ×sinπ4得，
12PQ×?=12AP×AQ×sinπ4．
又∵cs∠PAQ=AP?AQ|AP||AQ|，
∴|AP||AQ|=AP?AQcsπ4，
且AP?AQ=|PQ|，
∴|AP||AQ|= 2|PQ|，
∴PQ×?= 2PQ× 22，即?=1為定值，該同學(xué)猜想正確．

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