（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）
1．已知集合，1，，，則 ．
2．設(shè)是橢圓的長軸，點(diǎn)在上，且，若，，則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為 ．
3．設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則 ．
4．已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)是 ．
5．已知，，且，則的最小值為 ．
6．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，那么的值是 ．
7．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的取值范圍是 ．
8．若的二項(xiàng)展開式中，存在相鄰兩項(xiàng)，滿足后一項(xiàng)的系數(shù)是前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，，則這樣的正整數(shù)有 個(gè)．
9．已知在矩形中，，，為的中點(diǎn)，，則 ．
10．設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若斜率為1的直線與橢圓相切同時(shí)亦與圓為橢圓的短半軸）相切，記橢圓的離心率為，則 ．
11．如圖，圓錐的底面直徑和高均是，過上一點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則該圓柱體積的最大值為 ．
12．函數(shù)，，的值域?yàn)? ．
二．選擇題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
13．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是
A．，，則B．，，則
C．，，，則D．，，，，則
14．對(duì)于函數(shù)，有如下兩個(gè)結(jié)論：甲：，乙：遞增，則下列說法正確的是
A．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
B．甲是乙的必要而不充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲是乙的充分而不必要條件
15．據(jù)統(tǒng)計(jì)2024年“十一”黃金周哈爾濱太陽島每天接待的游客人數(shù)服從正態(tài)分布，，則在此期間的某一天，太陽島接待的人數(shù)不少于1700的概率為
附：，，，
A．0.4987B．0.8413C．0.9772D．0.9987
16．?dāng)?shù)列滿足，，．設(shè)，記表示不超過的最大整數(shù)．設(shè)，若不等式，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為
A．2020B．2019C．1010D．1009
三．解答題（共5小題，滿分46分）
17．（14分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，．
（1）求的最大值；
（2）求的取值范圍．
18．（14分）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，是的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）若平面，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，
且，求直線與平面所成角的正弦值．
19．（14分）某商場(chǎng)為了提振顧客的消費(fèi)信心，對(duì)某中型商品實(shí)行分期付款方式銷售，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為
其中，．
（1）求購買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；
（2）商場(chǎng)銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤為2000元；若顧客選擇分5期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場(chǎng)獲得的利潤為3000元，假設(shè)該商場(chǎng)銷售兩件該商品所獲得的利潤為（單位：元），
設(shè)時(shí)的概率為，求當(dāng)取最大值時(shí)，利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望；
設(shè)某數(shù)列滿足，，，若，求的最小值．
20．（16分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)作兩條斜率都存在且不為0的互相垂直的直線，，直線與橢圓相交、，直線與橢圓相交、兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值．
21．（18分）若函數(shù)滿足，稱為的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）設(shè)．求證：恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；
（3）證明：函數(shù)有唯一不動(dòng)點(diǎn)的充分非必要條件是函數(shù)有唯一不動(dòng)點(diǎn)．
4
5
6
0.4

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