1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，解得，即，而，
所以.
故選：B
2. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】的否定為.
故選：C
3. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以數(shù)列從第二項(xiàng)開始是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，，
所以，
故ABC錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
4. 已知復(fù)數(shù)滿足：，則（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足：，則，
即得，所以
則.
故選：A.
5. 下列不等式正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】對于A，因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，，
所以，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，，
所以，故B錯(cuò)誤；
對于C，因?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，故C錯(cuò)誤；
對于D，因?yàn)?，?br>所以，故D正確.
故選：D.
6. 從1，2，3，4，5，6，7這7個(gè)數(shù)任選3個(gè)不同數(shù)排成一個(gè)數(shù)列，則得到的數(shù)列為等差數(shù)列的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】從給定的7個(gè)數(shù)中任取3個(gè)的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，
能構(gòu)成等差數(shù)列的事件含有：公差為的個(gè)，公差為的個(gè)，公差為有個(gè)，共18個(gè)基本事件，
所以得到的數(shù)列為等差數(shù)列的概率為.
故選：A
7. 已知，則（ ）
A. B. 7C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)椋裕?br>由和差化積公式可得，
因?yàn)椋裕?br>由，
可得，所以.
故選：C
8. 已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，連接并延長交橢圓于點(diǎn).若，且，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)，由，得，，
由橢圓定義得，
由，得，則，
解得，，令橢圓的半焦距為c，
由，得，解得，
所以橢圓的離心率為.
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分..在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)樣本空間，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的，已知事件，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 事件A與B為互斥事件B. 事件兩兩獨(dú)立
C. D.
【答案】BD
【解析】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以事件與不互斥，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B，，
，故B正確；
對于選項(xiàng)C，交集為，則，故C錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D，，故D正確
故選：BD.
10. 已知連續(xù)函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
C. 函數(shù)存極小值點(diǎn)
D. “”是“”的充要條件
【答案】ACD
【解析】由定義域在上的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得，，
對于A，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；
對于B，取函數(shù)，顯然符合題意，函數(shù)，
，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上不單調(diào)，B錯(cuò)誤；
對于C，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)是偶函數(shù)，
令，因函數(shù)，在上都是增函數(shù)，則在上也是增函數(shù)，
因是偶函數(shù)，故在上是減函數(shù)，
因此是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，依題意，，，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
故有；
而當(dāng)時(shí)，取，得，則，
所以“”是“”的充要條件，D正確.
故選：ACD
11. 如圖，在棱長為2的正方體中，空間中的點(diǎn)滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則的最大值為
C. 若，則平面截該正方體的截面面積的最小值為
D. 若，則平面與平面夾角的正切值的最小值為
【答案】ABD
【解析】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
由，得，即點(diǎn)，
對于A，，則點(diǎn)，，，
，因此，A正確；
對于B，，則，即，
令，則，
其中銳角由確定，則當(dāng)時(shí)，的最大值為，B正確；
對于C，，在邊上，且，
因平面平面，設(shè)平面平面，
而平面平面，則，同理，
因此是平面截該正方體的截面，
點(diǎn)到直線的距離
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
，C錯(cuò)誤；
對于D，因，
設(shè)平面的法向量，則，
令，得；
又，因，則，
令平面的法向量，則，
令，得.
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號，因，此時(shí)最小，，，
因此平面與平面夾角的正切值的最小值為，D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為______．
【答案】
【解析】由題知：，雙曲線的漸近線方程為
故答案為
13. 若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在時(shí)的取值集合為，
當(dāng)時(shí)，，沒有最小值，
由函數(shù)在R上有最小值，得在上單調(diào)遞減，且，
因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
14. 已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)和1條對稱軸，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，
由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)和1條對稱軸，，
得或，解得或，
則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 某景區(qū)經(jīng)過提質(zhì)改造后統(tǒng)計(jì)連續(xù)5天進(jìn)入該景區(qū)參觀的人數(shù)（單位：千人）如下：
（1）建立關(guān)于的回歸直線方程，預(yù)測第10天進(jìn)入該景區(qū)參觀的人數(shù)；
（2）該景區(qū)只開放東門，西門供游客出入，游客從東門，西門進(jìn)入該景區(qū)的概率分別為、，且出景區(qū)與進(jìn)入景區(qū)選擇相同的門的概率為，出景區(qū)與進(jìn)入景區(qū)選擇不同的門的概率為.假設(shè)游客從東門，西門出入景區(qū)互不影響，求甲，乙兩名游客都從西門出景區(qū)的概率.
附：參考數(shù)據(jù)：
參考公式：回歸直線方程，其中，.
解：（1）依題意，，而，
則，，
因此，當(dāng)時(shí)，，
所以關(guān)于的回歸直線方程為，第10天進(jìn)入該景區(qū)參觀的人數(shù)約為千人.
（2）記“甲從西門進(jìn)入景區(qū)”為事件，“甲從西門出景區(qū)”為事件，“乙從西門出景區(qū)”為事件，
，，
由全概率公式得，同理，
所以甲，乙兩名游客都從西門出景區(qū)的概率.
16. 如圖，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，平面，二面角為.
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
（1）證明：在四棱錐中，由平面，平面，得，
由四邊形是正方形，得，而平面，
因此平面，又平面,
所以平面平面.
（2）解：由（1）知，平面，而，則平面，又平面，
于是，為二面角的平面角，則，
令正方形的棱長為4，而，則，
取中點(diǎn)，連接，則，由（1）知平面平面，
又平面平面，平面，則平面，
是直線與平面所成的角，而，
，所以直線與平面所成角的正弦值為.
17. 如圖，在中，分別是上的點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，已知，且.

（1）若，求的長；
（2）求的長.
解：（1）在中，，，，
，
.
（2）如圖，在上取點(diǎn)，使得，又，，
，則，
所以，
過點(diǎn)作，垂足為，
則，
所以.

18. 已知函數(shù)在處的切線與直線垂直.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的值；
（3）對于函數(shù)，規(guī)定：，叫做函數(shù)的階導(dǎo)數(shù).若對任意恒成立，求滿足條件的正整數(shù)的最小值.
解：（1）由題意可知：函數(shù)的定義域?yàn)?，則，
若函數(shù)在處的切線與直線垂直，
則，解得，所以，
令，則，解得或；
令，則，解得；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）構(gòu)建，則，
由題意可知：對任意恒成立，且，
則，解得，
若，則，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，即對任意恒成立，
且對任意恒成立，
可知對任意恒成立，所以符合題意；
綜上所述：.
（3）由（1）可知：，
根據(jù)求導(dǎo)法則可設(shè)，其中，
則，
則
可知數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，則，
對于，則，
當(dāng)時(shí)，
，
且符合上式，所以，
則，
若對任意恒成立，
則對任意恒成立，
且的圖象開口向上，對稱軸為，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，解得，
所以滿足條件的正整數(shù)的最小值為3.
19. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)作圓的兩條切線，且分別與相交于點(diǎn)，（異于點(diǎn)）.
（?。┤?，求面積；
（ⅱ）證明：直線過定點(diǎn).
解：（1）點(diǎn)在上，且.
由題意得：，解得，
所以拋物線C的方程為；
（2）（?。┮?yàn)?，設(shè)，
設(shè)圓心O到直線的距離為，
又因?yàn)?，所以，所以，化簡得出?br>所以或；
聯(lián)立直線與，得出，所以；
聯(lián)立直線與，得出，所以；
所以
所以；
（ⅱ）設(shè)直線，
聯(lián)立得，得，則，
的切線斜率為，
是切線，所以
即，計(jì)算得，
所以，化簡得，
直線，過定點(diǎn).
日期
3月5日
3月6日
3月7日
3月8日
3月9日
第x天
1
2
3
4
5
參觀人數(shù)y
2.2
2.6
3.1
5.2
6.9

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