一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。
1．已知集合，若，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．若復數(shù)z滿足，則復數(shù)z的虛部為（ ）
A．iB．C．1D．
3．設等差數(shù)列的前n項和為，已知是方程的兩根，則能使成立的n的最大值為（ ）
A．15B．16C．17D．18
4．在梯形中，則的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．某正四棱臺形狀的模型，其上下底面的面積分別為，，若該模型的體積為，則該模型的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
6．設橢圓的焦點為，點P是C與圓的交點，的平分線交于Q，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)滿足，若，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)（且）有一個極大值點和一個極小值點，且，則a的取值范圍為 （ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．某短視頻平臺以講故事，贊家鄉(xiāng)，聊美食，展才藝等形式展示了豐富多彩的新時代農(nóng)村生活，吸引了眾多粉絲，該平臺通過直播帶貨把家鄉(xiāng)的農(nóng)產(chǎn)品推銷到全國各地，從而推進了“新時代鄉(xiāng)村振興”．從平臺的所有主播中，隨機選取300人進行調(diào)查，其中青年人，中年人，其他人群三個年齡段的比例餅狀圖如圖1所示，各年齡段主播的性別百分比等高堆積條形圖如圖2所示，則下列說法正確的有（ ）
A．該平臺女性主播占比的估計值為0.4
B．從所調(diào)查的主播中，隨機抽取一位參加短視頻剪輯培訓，則被抽到的主播是中年男性的概率為0.7
C．按年齡段把所調(diào)查的主播分為三層，用分層抽樣法抽取20名主播擔當平臺監(jiān)管，若樣本量按比例分配，則中年主播應抽取6名
D．從所調(diào)查的主播中，隨機選取一位做為幸運主播，已知該幸運主播是青年人的條件下，又是女性的概率為0.6
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)是增函數(shù)B．曲線關于對稱
C．函數(shù)的值域為D．曲線有且僅有兩條斜率為的切線
11．已知正方體的棱長為2，點E，F(xiàn)，G分別是線段的中點，則（ ）
A．
B．平面
C．直線與平面所成的角的余弦值為
D．過點F且與直線垂直的平面，截該正方體所得截面的周長為
12．設直線l與拋物線相交于A，B兩點，與圓相切于點，且M為的中點．（ ）
A．當時，的斜率為2B．當時，
C．當時，符合條件的直線l有兩條D．當時，符合條件的直線l有四條
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知二項式的展開式中，只有第四項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項為________．（用數(shù)字作答）
14．健走是介于散步和競走之間的一種運動方式，它是一項簡單安全，能增強肺活量且有益心臟健康的有氧運動，某運動生理學家對健走活動人群的體脂率（體脂率是指人體內(nèi)脂肪含量與總體重的比值）做了大量的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)調(diào)查者的體脂率X服從正態(tài)分布，規(guī)定體脂率小于或等于0.17的人的身材為良好身材，若參加健走的人群中有16%的人具有良好身材，則的值約為________．
參考數(shù)據(jù)：則．
15．若互不相等的實數(shù)m，n，s，t滿足，則稱m，n，s，t具有“準等比”性質(zhì)．現(xiàn)從2，4，8，16，32，64，128這7個數(shù)中隨機選取4個不同的數(shù)，則這4個數(shù)具有“準等比”性質(zhì)的概率為________．
16．已知曲線，過點的直線交曲線C于M，N兩點，O為坐標原點，則的面積的取值范圍為________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）
設數(shù)列的前n項和為，已知，且數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設，數(shù)列的前n項和為，證明：．
18．（12分）
隨著生活水平的提高，人們對水果的需求量越來越大，為了滿足消費者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地開花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜軟，低酸爽口深受市民的喜愛．某“鬧鬧”水果店對某品種的“湖南沃柑”進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如下表所示：
（1）經(jīng)計算相關系數(shù)，變量x，y線性相關程度很高，求y關于x的經(jīng)驗回歸方程；
（2）用（1）中所求的經(jīng)驗回歸方程來擬合這組成對數(shù)據(jù)，當樣本數(shù)據(jù)的殘差的絕對值大于1.2時，稱該對數(shù)據(jù)為一個“次數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從這5個成對數(shù)據(jù)中任取3個做殘差分析，求取到的數(shù)據(jù)中“次數(shù)據(jù)”個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．
參考公式：線性回歸方程中，的最小二乘法估計分別為．
19．（12分）
在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
（1）證明：；
（2）若，求面積的最大值．
20．（12分）
如圖，平面平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，且，點G在線段上．
（1）若點G為線段的中點，求證：平面；
（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求的長．
21．（12分）
已知點M為雙曲線右支上除右頂點外的任意點，C的一條漸近線與直線互相垂直．
（1）證明：點M到C的兩條漸近線的距離之積為定值；
（2）已知C的左頂點A和右焦點F，直線與直線相交于點N．試問是否存在常數(shù)，使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
22．（12分）
已知函數(shù)，設m，n為兩個不相等的正數(shù)，且．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：．
2023年聊城市高考模擬
數(shù)學（二）參考答案及評分標準
一、單項選擇題
1-4 BCAD 5-8 ADDB
二、多項選擇題
9．AC 10．AB 11．ACD 12．ABD
三、填空題
13．60 14．0.03 15． 16．
四、解答題
17．解：（1）因為數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，
則，從而，
兩式作差得：，
即，
所以，
則數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
故數(shù)列的通項公式為．
（2），
．
，
因為，所以．
18．解：（1）由已知得，，，
，，
貝，
．
所以“湖南沃柑”銷量y（件）關于試銷單件x（元）的線性回歸方程．
（2）當時，；當時，；當時，；當時，；當時，．
因此該樣本的殘差絕對值依次為0.2，1，1.2，1.4，1.4，所以“次數(shù)據(jù)”有2個．“次數(shù)據(jù)”個數(shù)X可取0，1，2．
．
所以X的分布列為：
則數(shù)學期望．
19．解：（1）由正弦定理及得，
，
即．
再由正弦定理可得．
由余弦定理得，
所以
即，
故．
（2）由及，可得．
由得，所以．
在中，
所以．
所以面積
．
當且僅當，即時等號成立．
故面積的最大值為．
20．解：（1）連接，交于H，連接．
因為G，H分別為的中點，
所以且．
又且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，從而，
又平面平面，
所以平面，
（2）因為四邊形為矩形，所以，
因為平面平面，平面平面，
所以平面．
因為平面，所以．
以點D為坐標原點，分別以，所在直線為x軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標系．
則，
．
設，則．
設平面的法向量，
由得
令，則．
設平面的法向量，
由得
令，得．
設平面與平面的夾角為，則
，解得．
從而．
故的長度為．
21．解：（1）因為雙曲線C的一條漸近線與直線互相垂直，
所以其中一條漸近線的斜率為，則，則．
所以雙曲線C的方程為．
設點M的坐標為，則，即．
雙曲線的兩條漸近線，的方程分別為，
則點M到兩條漸近線的距離分別為，
則．
所以點M到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為定值．
（2）存在．
①當時，，又N是的中點，
所以，所以，此時．
②當時．
?。┊擬在x軸上方時，由，可得，
所以直線的直線方程為，
把代入得．
所以，則．
由二倍角公式可得．
因為直線的斜率及，
所以，則．
因為，
所以．
ⅱ）當M在x軸下方時，同理可得．
故存在，使得．
22．解：（1）函數(shù)定義域為．
①當時，在上單調(diào)遞增，不符合題意．
②當時，若在上單調(diào)遞減；
若在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為．
由，可得．
故實數(shù)a的取值范圍．
（2）不妨設．先證明．要證，即證．
因為，且在上單調(diào)遞增，
故只需證明．
令，
則，所以在上單調(diào)遞增，
所以當時，，則有．
因為，所以，則，故．
再證，即證．
因為，且在上單調(diào)遞增，
只需證明，即證．
因為，所以．
所以只需證明．
令，
則．令，
當時，，所以在上單調(diào)遞增．
當時，，于是．
從而可得在上單調(diào)遞減，故．
所以成立，故．
綜上，．試銷單價x（元）
3
4
5
6
7
產(chǎn)品銷量y件
20
16
15
12
6
X
0
1
2
P

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