北京市豐臺區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模試題 數(shù)學(xué) 含解析

這是一份北京市豐臺區(qū)2024屆高三下學(xué)期二模試題 數(shù)學(xué) 含解析，共24頁。試卷主要包含了04， 已知集合，則， 若，且，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2024.04
本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第一部分（選擇題40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由補(bǔ)集和交集的定義求解.
詳解】集合，
，，.
故選：C
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依據(jù)題意可得復(fù)數(shù)，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得結(jié)果.
【詳解】由題可知：復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)為，則
所以
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)與所對應(yīng)的點(diǎn)之間的關(guān)系，熟悉概念，屬基礎(chǔ)題.
3. 已知數(shù)列對于任意，都有，若，則（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分別取，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列對于任意，都有，
取，則，
取，則，則.
故選：C
4. 下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判斷奇偶性，再利用相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)判斷ACD選項(xiàng)，利用判斷B選項(xiàng)即可.
【詳解】對于A，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，當(dāng)時，，是反比例函數(shù)，在上單調(diào)遞減，故A錯誤；
對于B，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，
當(dāng)時，，
，，在上單調(diào)遞增，故B正確；
對于C，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，當(dāng)時，不單調(diào)，故C錯誤；
對于D，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，當(dāng)時，不是單調(diào)遞增函數(shù)，故D錯誤；
故選：B.
5. 若，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】舉反例即可求解ABC，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.
【詳解】由于，取，，，無法得到，，故AB錯誤，
取,則，無法得到，C錯誤，
由于，則，所以，
故選：D
6. 已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，能使成立的一組條件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用給定條件得到，判斷A，利用給定條件得到判斷B，舉反例判斷C，D即可.
【詳解】對于A，若，則，故A錯誤，
對于B，若，則，故B正確，
對于C，若，則可能相交，平行或異面，故C錯誤，
對于D，若，則可能相交，平行或異面，故D錯誤.
故選：B
7. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，如果函數(shù)的圖像如圖所示，那么的值分別為（ ）
A. 1，0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，從而可得的解析式，再結(jié)合函數(shù)圖像代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>則，
則
，其中，
由圖像可知，函數(shù)的最大值為，即，且，
所以，，即，
又函數(shù)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入可得，
即，或，
又，則當(dāng)時，無解，
當(dāng)時，，則，
所以，.
故選：A
8. 已知曲線與直線，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，對于任意，曲線與直線恰有兩個公共點(diǎn)
B. 當(dāng)時，存在，曲線與直線恰有三個公共點(diǎn)
C. 當(dāng)時，對于任意的，曲線與直線恰有兩個公共點(diǎn)
D. 當(dāng)時，存在，曲線與直線恰有三個公共點(diǎn)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)曲線的對稱性，分別討論當(dāng)直線與曲線的上、下半部分相切時的取值即可求解.
【詳解】曲線的圖象如圖所示，
若，當(dāng)直線與曲線上半部分相切時，由整理得，
由得，
當(dāng)直線與曲線下半部分相切時，由整理得，
由得，
結(jié)合曲線圖象的對稱性可得，當(dāng)或時，曲線與直線有一個交點(diǎn)，
當(dāng)時，曲線與直線沒有交點(diǎn)，當(dāng)或時，，曲線與直線有兩個交點(diǎn)，AB說法錯誤；
若，當(dāng)直線與曲線上半部分相切時，由整理得，
由得，
當(dāng)直線與曲線下半部分相切時，由整理得，
由得，
結(jié)合曲線圖象的對稱性可得，對于任意的，曲線與直線恰有兩個公共點(diǎn)，C說法正確，D說法錯誤，
故選：C
9. 已知等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)，那么“”是“集合恰有兩個元素”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
分析】依據(jù)題意證明充分性成立，舉反例否定必要性即可.
【詳解】對于充分性，已知等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)，
當(dāng)“”時，集合恰有兩個元素，
故充分性成立，對于必要性，當(dāng)時，
“集合也恰有兩個元素”，故必要性不成立，
故“”是“集合恰有兩個元素”的充分而不必要條件.
故選：A
10. “用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線”．利用這個原理，小明在家里用兩個射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻上投影出兩個相同的橢圓（圖1），光錐的一條母線恰好與墻面垂直．圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐的軸截面是等邊三角形，橢圓所在平面為，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由勾股定理結(jié)合余弦定理代入計(jì)算可得，再由相似三角形的相似比結(jié)合勾股定理可分別計(jì)算出橢圓的，結(jié)合橢圓的離心率即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)，由于，所以，在等邊三角形中，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，于是，在平面中，由橢圓的對稱性可知，
，連接，延長與交于點(diǎn)，
由于為中點(diǎn)，所以在中，，
由勾股定理可得，
在中，，，，由余弦定理可得
，
在中，由于，所以，
于是有，
設(shè)橢圓短軸的兩個頂點(diǎn)為，連接分別交圓錐于，
由于，所以，
由于為圓錐母線，所以，
從而有，
在中，由勾股定理可得，
所以在橢圓中，，，
則，
則離心率為.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓定義的理解以及橢圓離心率的求解，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于結(jié)合橢圓的定義以及余弦定理代入計(jì)算，分別求得，從而得到結(jié)果.
第二部分（非選擇題110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 已知函數(shù)，那么______．
【答案】1
【解析】
【分析】先求出，再求即可.
【詳解】易知，故，
故答案為：1
12. 若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，將展開計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】，
所以.
故答案為：
13. 如圖，在正方形中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，即可利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解.
【詳解】設(shè),則.
故答案為：4
14. 如圖，正方體的棱長為2，分別為的中點(diǎn)，為過直線的平面．從下列結(jié)論①，②中選擇一個，并判斷該結(jié)論的真假．你選的結(jié)論是______（填“①”或“②”），該結(jié)論是______命題（填“真”或“假”）．
①平面截該正方體所得截面面積的最大值為；
②若正方體的12條棱所在直線與平面所成的角都等于，則．
【答案】 ①. ①（答案不唯一） ②. 假（答案不唯一）
【解析】
【分析】選①，根據(jù)四邊形的面積即可判斷，選②，根據(jù)三棱錐為正三棱錐，利用等體積法求解與平面所成角的正弦值即可求解②.
【詳解】若選①，平面是過直線平面．此時四邊形即為該平面截正方體所得截面，由于四邊形的面積為,故①為假命題，
若選②，由于三棱錐為正三棱錐，所以與平面所成角均相等，故平面平面，
設(shè)到平面的距離為，則
所以與平面所成角的正弦值為，故，②為真命題
故答案為：①（答案不唯一），假（答案不唯一）
15. 設(shè)函數(shù)給出下列四個結(jié)論：
①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
②若函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，則；
③當(dāng)時，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍為；
④已知點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上．若，則．
其中所有正確結(jié)論的序號是______．
【答案】②③④
【解析】
【分析】根據(jù)時，即可判斷①，求解方程的根，即可求解②，結(jié)合函數(shù)圖象，求解臨界狀態(tài)時，即可求解③，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可先判斷，繼而根據(jù)對稱性聯(lián)立方程得，，根據(jù)可得，代入即可求解④.
【詳解】當(dāng)時，時，，故在上不是單調(diào)遞減，①錯誤；
對于②，當(dāng)顯然不成立，故，
當(dāng)時，令，即，得，，要使有且僅有兩個零點(diǎn)，則，故，②正確，
對于③, 當(dāng)時,,此時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，如圖：

若，由，故，所以的取值范圍為；③正確
對于④,由①③可知：時，顯然不成立,故，
要使，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，
則只需要的圖象與有兩個不同的交點(diǎn)，如圖：

故，
，
由對稱可得，
化簡可得，故，
，化簡得
所以
由于均大于0，所以，，
因此
由于，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，
此時，因此，④正確，
故答案為：②③④
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題常用的方法和思路
（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步聚或證明過程.
16. 已知滿足．
（1）求；
（2）若滿足條件①、條件②、條件③中的兩個，請選擇一組這樣的兩個條件，并求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
【答案】（1）
（2）見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)輔助角公式可得，即可求解，
（2）選擇①②，根據(jù)正弦定理可得與矛盾，即可求解，選擇②③，根據(jù),故，，這與矛盾，再由三角恒等變換及正弦定理、三角形面積公式即可求解，選擇①③，根據(jù)余弦定理可得，，即可由面積公式求解.
【小問1詳解】
由得，所以,
由于，所以
【小問2詳解】
若選①，②，
則,
由正弦定理可得，這與矛盾，故不可以選擇①②，
若選①，③，
由余弦定理可得，解得，，
此時，不滿足②，符合題意；
此時，
選②，③，
由于,
又,故，
而，故，這與①矛盾，因此可以選擇②③；
則，，
由正弦定理可得，
所以.
17. 在正四棱柱中，為中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)．
（1）證明：為的中點(diǎn)；
（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求線面角確定點(diǎn)位置，再由空間向量法求二面角．
【小問1詳解】
如圖，連接，，在正四棱柱中，
由與平行且相等得是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，是中點(diǎn)，
所以是的中點(diǎn)；
【小問2詳解】
以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)（），
則，，，，
，，
設(shè)平面的一個法向量是，則
，取，得，
因?yàn)橹本€與平面所成的角為，
所以，解得（負(fù)值舍去），
所以，平面的一個法向量是，
平面即平面，
則，
二面角為銳角，因此其余弦值為．
18. 激光的單光子通訊過程可用如下模型表述：發(fā)送方將信息加密后選擇某種特定偏振狀態(tài)的單光子進(jìn)行發(fā)送，在信息傳輸過程中，若存在竊聽者，由于密碼本的缺失，竊聽者不一定能正確解密并獲取準(zhǔn)確信息．
某次實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)原始信息的單光子的偏振狀態(tài)0，1，2，3等可能地出現(xiàn)，原始信息息的單光子的偏振狀態(tài)與竊聽者的解密信息的單光子的偏振狀態(tài)有如下對應(yīng)關(guān)系．
已知原始信息的任意一種單光子的偏振狀態(tài)，對應(yīng)的竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)等可能地出現(xiàn)．
（1）若發(fā)送者發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)為1，求竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)與原始信息的單光子的偏振狀態(tài)相同的概率；
（2）若發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1，設(shè)竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)為1的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）已知發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送信息，竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1．設(shè)原始信息的單光子只有一種偏振狀態(tài)的可能性為，有兩種偏振狀態(tài)的可能性為，有三種偏振狀態(tài)的可能性為，試比較的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）列出基本事件，再求解概率即可.
（2）利用分布列的定義求解分布列，再求解數(shù)學(xué)期望即可.
（3）依據(jù)貝葉斯公式得出結(jié)論即可.
【小問1詳解】
設(shè)“解密信息的單光子的偏振狀態(tài)與原始信息的單光子的偏振相同”獨(dú)立作為事件，易知共有3個基本事件，則．
【小問2詳解】
的可能取值為.
，，
，，
所以，的分布列如下：
．
【小問3詳解】
結(jié)論：
證明：由竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1可得原始信息只能包含0，1，2，
設(shè)原始信息的單光子只有一種偏振狀態(tài)為事件A，有兩種偏振狀態(tài)為事件B，有三種偏振狀態(tài)為事件C，竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1為事件M,
則，
,
易知，，，
故得證.
19. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，代值可得，即可求解切線，
（2）求導(dǎo)得，對分類討論，求解函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)最小值為負(fù)求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，則，
所以，
故在點(diǎn)處的切線方程為
【小問2詳解】
，
當(dāng)時，則，令則，令則，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故當(dāng)，取極小值也是最小值，
則，
又當(dāng)且，
故要使函數(shù)有兩個零點(diǎn)，只需要，解得；
當(dāng)時，則，令則，令則，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故當(dāng)，取極小值也是最小值，則，
又當(dāng)且，
故要使函數(shù)有兩個零點(diǎn)，只需要，解得；
綜上可得或.
20. 已知兩點(diǎn)，曲線上的動點(diǎn)滿足，直線與曲線交于另一點(diǎn)．
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)曲線與軸的交點(diǎn)分別為（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且不與重合），直線與直線交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解，
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系以及向量共線得，代入韋達(dá)定理中即可求解，進(jìn)而可求解.
【小問1詳解】
由于，
所以是以為焦點(diǎn)，以為長軸長的橢圓，
故，
故橢圓方程為.
【小問2詳解】
由于斜率不為0，故設(shè)直線方程為：，
聯(lián)立，
設(shè),則，
,
由于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，
又是直線與直線的交點(diǎn)，所以 ,
,故，
，
將代入可得，
故，解得，
故，由可得，
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.
21. 將數(shù)列中項(xiàng)數(shù)為平方數(shù)的項(xiàng)依次選出構(gòu)成數(shù)列，此時數(shù)列中剩下的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列；再將數(shù)列中項(xiàng)數(shù)為平方數(shù)的項(xiàng)依次選出構(gòu)成數(shù)列，剩下的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列；…．如此操作下去，將數(shù)列中項(xiàng)數(shù)為平方數(shù)的項(xiàng)依次選出構(gòu)成數(shù)列，剩下的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列．
（1）分別寫出數(shù)列的前2項(xiàng)；
（2）記數(shù)列的第項(xiàng)為．求證：當(dāng)時，；
（3）若，求的值．
【答案】（1）的前2項(xiàng)為3，8； 的前2項(xiàng)為5，11；
（2）證明見解析； （3）
【解析】
【分析】（1）直接利用數(shù)列定義求解；
（2）證明為等差數(shù)列即可求解；
（3）先利用數(shù)學(xué)歸納法證明進(jìn)而求得的表達(dá)式，利用累加法再解方程求解
【小問1詳解】
數(shù)列的前2項(xiàng)為3，8；數(shù)列的前2項(xiàng)為5，11；
【小問2詳解】
首先，當(dāng)時，結(jié)論成立；
當(dāng)時，對于相鄰的兩個數(shù)列：
因?yàn)槎荚跀?shù)列中，且在之前，
所以在數(shù)列中，必有，
所以，
所以
所以構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，
所以
【小問3詳解】
由各個數(shù)列生成的規(guī)則知，中不可能有兩個元素是同一數(shù)列的項(xiàng)．
從上面的表格，我們猜想：集合中的每個元素，且僅是數(shù)列中某個數(shù)列的項(xiàng).
具體地可概括成結(jié)論P(yáng)：對任意，有
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(i)當(dāng)時， 由題意數(shù)列的首項(xiàng)分別是2, 3，結(jié)論成立；
(ii)假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即對，
那么由第（2）問的結(jié)論知：當(dāng)時，
,
,
上式表明，集合中除了的每一個元素都是數(shù)列中的某個數(shù)列的項(xiàng)，
還剩下兩個元素：，它們必是數(shù)列的首項(xiàng)，
結(jié)果只有.
根據(jù)(1)(2)知，結(jié)論P(yáng)成立.
由結(jié)論P(yáng)可得，數(shù)列的首項(xiàng)為，的首項(xiàng)為，
即
另一方面，由第（2）問的結(jié)論：得：
，
，
…
，
相加得：，
當(dāng)時，上式也成立．
所以
令，則
所以．
由得，所以，所以，
所以.所以，此時，所以；
令，有，
．由得，所以．
所以，所以 無解.
綜上，當(dāng)時，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列新定義，關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)歸納法得，進(jìn)而得到的表達(dá)式.原始信息的單光子的偏振狀態(tài)
0
1
2
3
解密信息的單光子的偏振狀態(tài)
0，1，2
0，1，3
1，2，3
0，2，3
0
1
2
3
P
1
4
9
16
25
36
49
64
2
6
12
20
30
42
56
72
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