北京市西城區(qū)2024屆高三下學期二?？荚嚁?shù)學試題 含解析

這是一份北京市西城區(qū)2024屆高三下學期二?？荚嚁?shù)學試題 含解析，共22頁。試卷主要包含了 已知向量，滿足，，則， 已知集合，．若，則的最小值是， 已知．則“”是“”的， 一組學生站成一排等內容，歡迎下載使用。
本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第一部分選擇題共40分
一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）.
1. 在復平面內，復數(shù)對應的點的坐標是，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由復數(shù)的幾何意義得出，再運算化簡即可.
【詳解】復數(shù)對應的點的坐標是，所以，，
所以.
故選：D．
2. 已知向量，滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量坐標運算，先求出，再逐一驗證即可.
【詳解】因為，，
所以，
所以，故A錯；
，故B正確；
，故C錯；
因為，所以不平行，故D錯.
故選：B
3. 已知集合，．若，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)交集結果可確定的范圍，由此可得結果.
【詳解】，，，，
即的最小值為.
故選：C.
4. 設，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用賦值法，令，即可求得正確答案.
【詳解】依題意，，
令，得；
令，得，
所以.
故選：B.
5. 已知．則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】當時，則，當且僅當時取等，所以充分性成立，
取，滿足，但，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
6. 已知雙曲線的焦點在軸上，且的離心率為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得，化簡即可得出答案.
【詳解】化簡雙曲線可得，
因為雙曲線的焦點在軸上，所以，
所以的離心率為，
則，所以.
故選：C.
7. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象再關于軸對稱，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)圖象的平移變換、對稱變換即可得變換后的函數(shù)的解析式.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得函數(shù)為，
則函數(shù)的圖象再關于軸對稱得函數(shù).
故選：D.
8. 楔體形構件在建筑工程上有廣泛的應用．如圖，某楔體形構件可視為一個五面體，其中面為正方形．若，，且與面的距離為，則該楔體形構件的體積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設，分別為，的中點，連接，，，由，，，可知為三棱柱，再利用椎體與柱體的體積關系計算該幾何體的體積．
【詳解】如圖所示，

設，分別為，的中點，連接，，，
因為面為正方形，所以，又平面，平面，所以平面，
又平面平面，所以 ，
因為，分別為，的中點，，，
所以，則為平行四邊形，則，
同理，又，所以為三棱柱，
由題意，可得；
又；
所以該多面體的體積為．
故選：C．
9. 已知是無窮等比數(shù)列，其前項和為，．若對任意正整數(shù)，都有，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的基本量求得，從而可得公差，由等比數(shù)列得前項和公式得，分類討論，結合數(shù)列的單調性即可得求得滿足不等式時的取值范圍.
【詳解】因為等比數(shù)列，由可得，所以，
則公比，所以，
當為奇數(shù)時，恒成立，所以，
又數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，，則此時；
當為偶數(shù)時，恒成立，所以，
又數(shù)列為遞增數(shù)列，，則此時；
綜上，的取值范圍是.
故選：D.
10. 一組學生站成一排.若任意相鄰的3人中都至少有2名男生，且任意相鄰的5人中都至多有3名男生，則這組學生人數(shù)的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考慮前7個人，分別每相鄰的3人取成一組與每相鄰的5人取成一組，從而推出矛盾，再考慮人數(shù)為6的情況，由此得解.
【詳解】如果人數(shù)大于6，考慮前7個人：，
每相鄰的3人取成一組，則有5組，
因為任意相鄰的3人中都至少有2名男生，所以這5個組里至少有10名男生，
即這15人中至少有10名男生；
每相鄰的5人取成一組，則有3組，
因為任意相鄰的5人中都至多有3名男生，所以這3個組里至多有9名男生，
即這15人中至多有9名男生；
顯然矛盾，故人數(shù)不可能大于6，
當人數(shù)6時，用表示男生，表示女生，則可以.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是找到矛盾的分界人數(shù)，利用條件推出矛盾，從而得解.
第二部分非選擇題共110分
二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）.
11. 函數(shù)的定義域是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得出，結合對數(shù)函數(shù)的單調性求解即可.
【詳解】函數(shù)的定義域是：
，解得：.
故答案為：.
12. 已知圓經過點和，且與直線相切，則圓方程為_______．
【答案】
【解析】
【分析】設圓的方程為，進而利用待定系數(shù)法求解即可.
【詳解】設圓的方程為，
則由題意可得，解得，
所以圓的方程為
故答案為：
13. 已知函數(shù)．直線與曲線的兩個交點如圖所示，若，且在區(qū)間上單調遞減，則_______；_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)和，可構造方程求得，并確定為半個周期，根據(jù)正弦函數(shù)單調性可構造方程組求得.
【詳解】設，
由得：，，
又，，解得：，
此時的最小正周期，
，在區(qū)間上單調遞減，
和分別為單調遞減區(qū)間的起點和終點，
當時，，
，，又，；
綜上所述：，.
故答案為：；.
14. 已知函數(shù)，，其中．
①若函數(shù)無零點，則的一個取值為_______；
②若函數(shù)有4個零點，則_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①結合函數(shù)的圖象， 函數(shù)無零點，即與的圖象無交點，所以可得到的一個取值；②由圖象對稱，即可算出的值.
【詳解】畫函數(shù)的圖象如下：
①函數(shù)無零點，即 無解，
即與的圖象無交點，所以，可??；
②函數(shù)有4個零點，即 有4個根，
即與的圖象有4個交點，
由關于對稱，所以，
關于對稱，所以，
所以.
故答案為：；.
15. 在數(shù)列中，，．給出下列三個結論：
①存在正整數(shù)，當時，；
②存在正整數(shù)，當時，；
③存在正整數(shù)，當時，．
其中所有正確結論的序號是_______．
【答案】②③
【解析】
【分析】根據(jù)遞推關系求出，用差比較法可判定各選項.
【詳解】對于①：由，，可得，
又，當時，
因為，所以時，故①錯誤；
對于②：，又，
結合①的結論時，
所以當時，，故②正確；
對于③：，
，
所以當時，，
所以，故③正確；
故答案為：②③.
【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于求出，根據(jù)遞推關系分析出當時，進而判定①，利用差比較法結合結論①可判定②③.
三、解答題（共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）.
16. 已知函數(shù)．在中，，且．
（1）求的大??；
（2）若，且的面積為，求的周長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化簡函數(shù)，根據(jù)題意，得到，進而求得，即可求解；
（2）由（1）和的面積取得，利用余弦定理得，進而求得的值，即可求得的周長.
【小問1詳解】
解：由函數(shù)，
因為，可得，
在中，因為，所以，
又因為，所以，所以，解得，
因為，所以.
【小問2詳解】
解：由（1）知，因為的面積為，所以，
在中，由余弦定理得，即，
整理得，所以，
即，所以，
所以的周長為.
17. 如圖，正方體的棱長為，為的中點，點在上．再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使點唯一確定，并解答問題．
條件①：；條件②：；條件③：平面．
（1）求證：為的中點；
（2）求直線與平面所成角的大小，及點到平面的距離．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）證明見解析
（2）；
【解析】
【分析】（1）分別選條件①②③，結合線面平行位置關系判定定理和性質定理，即可得證；
（2）以為原點，建立空間直角坐標系，求得向量和平面的法向量為，利用向量的夾角公式，求得，結合，即可求解.
【小問1詳解】
證明：選條件①：由，
根據(jù)正方體的對稱性，此時點為上的任意一點，所以不成立；
選條件②：．
連接，在正方體中，由平面，
因為平面，所以，
又因為，， 所以，
因為平面，所以，
又因為為的中點， 所以為的中點．
選擇條件 ③：平面．
連接，因為平面，平面，
且平面平面，所以所以，
因為為的中點，所以為的中點．
【小問2詳解】
解：在正方體中，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，
如圖所示，則，
所以，，，
設平面的法向量為，則，
令，則．于是，
設直線與平面所成的角為，則，
所以直線與平面所成角的大小為，
點到平面的距離為.
18. 為研究中國工業(yè)機器人產量和銷量的變化規(guī)律，收集得到了年工業(yè)機器人的產量和銷量數(shù)據(jù)，如下表所示．
記年工業(yè)機器人產量的中位數(shù)為，銷量的中位數(shù)為．定義產銷率為“”．
（1）從年中隨機取年，求工業(yè)機器人的產銷率大于的概率；
（2）從年這年中隨機取年，這年中有年工業(yè)機器人的產量不小于，有年工業(yè)機器人的銷量不小于．記，求的分布列和數(shù)學期望；
（3）從哪年開始的連續(xù)年中隨機取年，工業(yè)機器人的產銷率超過的概率最小．結論不要求證明
【答案】（1）
（2）分布列見解析；
（3）2018年和年
【解析】
【分析】（1）按古典概型的概率計算求解.
（2）先根據(jù)中位數(shù)的概念確定，的值，在確定，的所有可能值，進一步得的所有可能的取值，再求的分布列.
（3）計算產銷率，可直接得到結論.
【小問1詳解】
記事件為“工業(yè)機器人的產銷率大于”．
由表中數(shù)據(jù)，工業(yè)機器人的產銷率大于的年份為年，年，年，年，共年．
所以．
【小問2詳解】
因為，，
所以的所有可能的取值為；的所有可能的取值為．
所以的所有可能的取值為．
，，．
所以的分布列為：
故的數(shù)學期望．
【小問3詳解】
2018年和年．
19. 已知函數(shù)，其中．
（1）若在處取得極小值，求的值；
（2）當時，求在區(qū)間上最大值；
（3）證明：有且只有一個極值點．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用可導函數(shù)的極小值點是導數(shù)值為0的充分不必要條件來解題需要檢驗；
（2）一階導函數(shù)不能夠判斷正負，需要借助二階導函數(shù)來進一步研究一階導函數(shù)的取值恒為正，從而來判斷原函數(shù)在區(qū)間是單調遞增的，即可得到最大值；
（3）一階導函數(shù)看不出零點及取值的正負，但可以對參數(shù)分兩類討論，當時，是二次函數(shù)易得證，當，則需要二階導函數(shù)，此時聯(lián)想到不等式可證，則可判斷，從而得到的單調性，然后判斷函數(shù)零點的存在性，問題即可得證.
【小問1詳解】
由，
因為在處取得極小值,所以，
即，解得，
檢驗：當時，，由二次函數(shù)的性質可得：
在上單調遞減，在上單調遞增，滿足題意，
所以．
【小問2詳解】
當時，，．
令，則，
因為，所以，
即在區(qū)間上單調遞增，
所以，即，
所以在區(qū)間上單調遞增，即的最大值為．
【小問3詳解】
由，
當時，，由二次函數(shù)的單調性可得：
在上單調遞減，在上單調遞增，
所以恰有一個極值點；
當時，設，
則．
因為，且，
所以，即在上單調遞增．
因為，，
所以存在，使，
根據(jù)在上單調遞增，
可知當時，，所以在上單調遞減，
可知當時，，所以在上單調遞增，
即恰有一個極值點．
綜上所述，當時，有且只有一個極值點．
20. 已知橢圓的一個頂點為，焦距為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設點是第一象限內橢圓上一點，過作軸的垂線，垂足為．點關于原點的對稱點為，直線與橢圓的另一個交點為，直線與軸的交點為．求證：三點共線．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）依題意可得、的值，從而求出，即可得解；
（2）設，表示出直線的方程，即可求出點坐標，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消元，設，利用韋達定理求出，從而表示出，計算出，即可得證.
【小問1詳解】
依題意可得 ，解得，
所以橢圓方程為．
【小問2詳解】
[方法一]：設而不求
設，則，，其中，．
則直線的方程為，令，可得，所以，
又直線的方程為，
由，消去整理得，
所以，
設，所以，解得．
所以，所以．
由題意，點均不在軸上，所以直線的斜率均存在，
且
，
即，所以、、三點共線．

[方法二]：轉化思想
設則，
且，，，
則:，令，則，，
又:，:，
設與交于點，由，解得，
若、、三點共線，則點為點，即點在橢圓上，
則只需證明，
，
所以點在橢圓上，所以、、三點共線.

[方法三]：
設且，則，，
∵，所以:，
由，消去整理得，
所以，設，則，
所以，則，
，
又:，令，則，，
，
又，
所以
，∴、、三點共線.
[方法四]：
依題意的斜率存在且不為，設的方程為，
，消去整理得，
顯然，所以，，，
，則，
所以，則的方程為，
由，所以，
顯然，，
所以，
則，
所以
，
又，
所以，
∴、、三點共線.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
21. 已知數(shù)列，從中選取第項、第項、…、第項構成數(shù)列，稱為的項子列．記數(shù)列的所有項的和為．當時，若滿足：對任意，，則稱具有性質．規(guī)定：的任意一項都是的項子列，且具有性質．
（1）當時，比較的具有性質的子列個數(shù)與不具有性質的子列個數(shù)的大小，并說明理由；
（2）已知數(shù)列．
（?。┙o定正整數(shù)，對的項子列，求所有的算術平均值；
（ⅱ）若有個不同的具有性質的子列，滿足：，與都有公共項，且公共項構成的具有性質的子列，求的最大值．
【答案】（1）的具有性質的子列個數(shù)大于不具有性質的子列個數(shù)；理由見解析
（2）（?。?；（ⅱ）見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義得出時，共有個子列，結合性質的內容即可判斷；
（2）（?。└鶕?jù)是的項子列，也是的項子列，可得，又有個項子列，即可求出結果；
（ⅱ）設的首項為，末項為，記，則可得對任意，都有，故共有種不同的情況，又，所以分為奇數(shù)或者偶數(shù)兩種情況進行分析即可.
【小問1詳解】
當時，共有個子列，
其中具有性質的子列有個，
故不具有性質的子列有個，
所以的具有性質的子列個數(shù)大于不具有性質的子列個數(shù)．
【小問2詳解】
（?。┤羰堑捻椬恿?，
則也是的項子列．
所以．
因為給定正整數(shù)，有個項子列，
所以所有的算術平均值為．
（ⅱ）設的首項為，末項為，記．
若存在，使，則與沒有公共項，與已知矛盾．
所以，對任意，都有．
因為對于，，，
所以共有種不同的情況．
因為互不相同，
所以對于不同的子列，與中至多一個等式成立．
所以．
當是奇數(shù)時，取，，
共有個滿足條件的子列．
當是偶數(shù)時，取，，
共有個滿足條件的子列．
綜上，為奇數(shù)時，的最大值為；為偶數(shù)時，的最大值為．
【點睛】方法點睛：（1）閱讀理解能力考查；（2）分類討論思想；（3）數(shù)列和集合概念的理解.
年份
產量萬臺
銷量萬臺