一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知直線l1:x+1+ay=2+a與l2:2ax+4y=?16，則下列說法不正確的是( )
A. 若a=1時，則l1//l2B. 若a=?2時，則l1與l2重合
C. 若a=?23時，則l1⊥l2D. 若a=0時，則l1與l2交于點6,?4
2.點Mx,y在圓x2+y?22=1上運動，則yx的取值范圍是( )
A. 3,+∞)B. ?∞,? 3
C. ? 3, 3D. ?∞,? 3∪ 3,+∞
3.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，則AC與平面B1CD1所成角的正弦值為( )
A. 13B. 23C. 23D. 2 23
4.若an=(?1)nn2+tn，且數(shù)列a2n?1是遞減數(shù)列，數(shù)列a2n是遞增數(shù)列，則t的取值范圍是( )
A. (?8,+∞)B. (?6,+∞)C. (?4,+∞)D. (?2,+∞)
二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。
5.已知直線l的傾斜角θ∈π4,2π3，則直線的斜率的取值范圍為 ．
6.動直線l:2m+1x+m+1y?7m?4=0m∈R與一點M4,0.當點M到直線l的距離最大時，直線l的方程為 ．
7.經過點P(1,2)，且在y軸上的截距為x軸上截距的2倍的直線方程為 ．
8.已知直線2x?ay?4=0與直線2x+y+1=0的夾角為arccs2 55，則實數(shù)a= ．
9.已知m∈R，方程3m?1x2+m2+1y2+8x?4y+5m=0表示圓，則圓心坐標是 ．
10.已知直線3x?y+2=0與橢圓x216+y24=1相交于M，N兩點，則MN的長為 ．
11.已知直線l:mx+y?m?1=0與圓C:(x?2)2+y2=4相交于M,N兩點，則CM+CN的最大值為 ．
12.已知圓E:x2+y2?2x?6y+6=0,點P是直線l:x+2y+3=0上的一點，過點P作圓E的兩條切線，切點分別為A,B，則當PE?AB取得最小值時，直線AB的方程為 ．
13.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯(約公元前262～公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學的重要成果，其中有這樣一個結論：平面內與兩點距離的比為常數(shù)λλ≠1的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓，已知點O0,0，A3,0，動點Px,y滿足POPA=12，則點P的軌跡與圓C:x?12+y2=1的公切線的條數(shù)為 ．
14.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為12，其左、右焦點分別為F1,F2，上頂點為B，且△BF1F2 內切圓的半徑為 33，則橢圓C的方程為 ．
15.蒙日是法國著名的數(shù)學家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，且其方程為x2+y2=a2+b2.已知橢圓C:x2m+y22=1的焦點在x軸上，A、B為橢圓C上任意兩點，動點P在直線x? 3y?8=0上.若∠APB恒為銳角，根據(jù)蒙日圓的相關知識，則橢圓C離心率的取值范圍為 ．
16.已知實數(shù)x1,x2,y1,y2滿足x12+y12=4,x22+y22=4,x1x2+y1y2=2，則x1+y1?2+x2+y2?2的最大值為 ．
三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題14分)
直線l過點P3,2，且與x軸，y軸正半軸分別交于A,B兩點．
(1)若AP=2PB，求直線l的方程；
(2)求?AOB的面積的最小值．
18.(本小題14分)
已知圓C:x2+y2=4，直線l過點A(?2,1)．
(1)當直線l與圓C相切時，求直線l的方程;
(2)設線段AB的端點B在圓C上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程．
19.(本小題14分)
已知四棱錐P?ABCD，AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，E是AD上一點，PE⊥AD．
(1)若F是PE中點，證明：BF//平面PCD．
(2)若AB⊥平面PED，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．
20.(本小題14分)
已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=32，Sn=2an+1?3．
(1)證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；
(2)若bn=an2an?1an+1?1，求數(shù)列bn的前n項和Tn；
(3)若cn=n2+nan，求使cn取得最大值時的n的值．
21.(本小題14分)
已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上頂點為P0,1，離心率為 32,A,B是橢圓C上不與點P重合的兩點，且∠APB=90°．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求證：直線AB恒過定點；
(3)求?PAB面積的最大值．
參考答案
1.B
2.D
3.D
4.C
5.(?∞,? 3)∪(1,+∞)
6.x?y?2=0
7.2x?y=0或2x+y?4=0
8.?83或0
9.?2,1
10.48 1037/4837 10
11.2 2
12.x+2y?5=0
13.2
14.x24+y23=1
15.0, 427
16.4+2 6
17.解：(1)設直線l的方程為xa+yb=1a,b>0，則Aa,0，B0,b，
所以AP=3?a,2,PB=?3,b?2，
由AP=2PB，得3?a=?62=2b?2，解得a=9,b=3，
所以直線l的方程為x9+y3=1，即x+3y?9=0．
(2)設直線l的方程為xa+yb=1a,b>0，
將點3,2代入得3a+2b=1≥2 3a?2b=2 6ab，則ab≥24，
當且僅當3a=2b，即a=6,b=4時等號成立，
所以S?AOB=12ab≥12?24=12，.
所以?AOB的面積最小值為12．

18.解：(1)已知圓C的圓心是O(0,0)，半徑是2，
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=?2，符合題意;
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y?1=k(x+2)，即kx?y+2k+1=0，
則圓心O到直線l的距離為|2k+1| k2+1=2，解得k=34，故直線l的方程為3x?4y+10=0．
綜上，直線l的方程為x=?2或3x?4y+10=0．
(2)設點M(x,y),B(x0,y0)，則由點M是線段AB的中點得x=x0?22y=y0+12，所以x0=2x+2y0=2y?1①,
因為點B在圓C上運動，所以x02+y02=4②，將①代入②得2x+22+2y?12=4，
化簡得點M的軌跡方程是x+12+y?122=1．

19.解：(1)取PD的中點為S，接SF,SC，則SF//ED,SF=12ED=1，
而ED//BC,ED=2BC，故SF//BC,SF=BC，故四邊形SFBC為平行四邊形，
故BF//SC，而BF?平面PCD，SC?平面PCD，
所以BF//平面PCD．
(2)
因為ED=2，故AE=1，故AE//BC,AE=BC，
故四邊形AECB為平行四邊形，故CE//AB，所以CE⊥平面PAD，
而PE,ED?平面PAD，故CE⊥PE,CE⊥ED，而PE⊥ED，
故建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A0,?1,0,B1,?1,0,C1,0,0,D0,2,0,P0,0,2，
則PA=0,?1,?2,PB=1,?1,?2,PC=1,0,?2,PD=0,2,?2,
設平面PAB的法向量為m=x,y,z，
則由m?PA=0m?PB=0可得?y?2z=0x?y?2z=0，取m=0,?2,1，
設平面PCD的法向量為n=a,b,c，
則由n?PC=0n?PD=0可得a?2b=02b?2c=0，取n=2,1,1，
故csm,n=?1 5× 6=? 3030，
故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為 3030．

20.解：(1)由Sn=2an+1?3得Sn?1=2an?3n≥2，則an=Sn?Sn?1=2an+1?2an，
整理得an+1=32an，
當n=1時，S1=a1=2a2?3，的a2=94=32a1，
所以數(shù)列an是等比數(shù)列，公比為32．
(2)由(1)得an=32n，則bn=32n232n?132n+1?1=132n?1?132n+1?1，
Tn=b1+b2+?+bn
=1321?1?1322?1+1322?1?1323?1+?+132n?1?132n+1?1
=2?132n+1?1．
(3)cn=n2+nan=23nn2+n，
當n≥2時，令cncn?1=2n2+n3n2?n=2n+13n?1>1，解得nm2．
∴x1+x2=?8km4k2+1,x1x2=4m2?44k2+1．
∵∠APB=90°，∴PA?PB=0
又∵PA=x1,y1?1,PB=x2,y2?1，
∴x1x2+y1?1y2?1=x1x2+kx1+m?1kx2+m?1=0，
∴k2+1x1x2+km?1x1+x2+m2?2m+1=0，
即k2+14m2?44k2+1+km?1?8km4k2+1+m2?2m+1=0，
∴5m2?2m?3=0，解得m=?35或m=1(舍)．
∴直線AB的方程為：y=kx?35，即直線AB過定點0,?35．
(3)∵點P到直線AB的距離d=85 1+k2，
AB= 1+k2x1?x2，
∴?PAB的面積S?PAB=12dAB=12×85 1+k2× 1+k2x1?x2
=45x1?x2=45 x1+x22?4x1x2
=45 ?8km4k2+12?44m2?44k2+1
=165× 4k2+16254k2+1
令 4k2+1625=t，則t≥45，
∴S?PAB=165×tt2+925=165×1t+925t，
因函數(shù)y=t+925t在0,35上單調遞減；在35,+∞上單調遞增，
所以當t=45時，y=t+925t取得最小值為54，即t+925t≥54，
故S?PAB=165×1t+925t≤6425，
即?PAB面積的最大值為6425．

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