1.某影城有一些電影新上映，其中有2部科幻片、3部文藝片、2部喜劇片，小明從中任選1部電影觀看，不同的選法種數(shù)有( )
A. 2+3+2=7B. 1+1+1=3C. 2×3×2=12D. (23)2=64
2.已知直線l1的方向向量為a=(1,0,m)，直線l2的方向向量為b=(0,1,m)，若l1與l2的夾角為60°，則m等于( )
A. 1B. ?1C. ±1D. 0
3.甲、乙等5人去聽(tīng)同時(shí)舉行的4個(gè)講座，每人可自由選擇聽(tīng)其中一個(gè)講座，則恰好只有甲、乙兩人聽(tīng)同一個(gè)講座，其他人聽(tīng)的講座互不相同的種數(shù)為( )
A. 12B. 16C. 18D. 24
4.已知a=(2,?1,3)，b=(?1,4,?2)，c=(7,5,λ)，若{a,b,c}不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)λ的值為( )
A. 0B. 357C. 9D. 657
5.數(shù)字0，1，1，2可以組成不同的三位數(shù)共有( )
A. 24個(gè)B. 12C. 9個(gè)D. 6個(gè)
6.已知向量a=(1,2,2)，b=(?2,1,1)，則向量a在向量b上的投影向量為( )
A. (?29,?49,?49)B. (29,49,49)C. (?23,13,13)D. (23,?13,?13)
7.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為線段DD1，BB1的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到直線AE的距離為( )
A. 2 55B. 215C. 1155D. 2 305
8.某班舉行了由6名學(xué)生參加的“弘揚(yáng)中華文化”演講比賽，決出第1名到第6名的名次(沒(méi)有并列名次).甲、乙兩名參賽者去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)，“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍”；對(duì)乙說(shuō)，“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”.從回答分析，6人的名次排列情況可能有( )
A. 216種B. 240種C. 288種D. 384種
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列命題中正確的是( )
A. A，B，M，N是空間中的四點(diǎn)，若BA，BM，BN不能構(gòu)成空間基底，則A，B，M，N共面
B. 已知{a,b,c}為空間的一個(gè)基底，若m=a+c，則{a,b,m}也是空間的基底
C. 若直線l的方向向量為e=(1,0,3)，平面α的法向量為n=(?2,0,23)，則直線l//α
D. 若直線l的方向向量為e=(1,0,3)，平面α的法向量為n=(?2,0,2)，則直線l與平面α所成角的正弦值為 55
10.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是( )
A. 四邊形ABC1D1的面積為|AB|?|BC1|B. AD1與A1B的夾角為60°
C. (AA1+A1D1+A1B1)2=3A1B12D. A1C?(A1B1?A1D1)=0
11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點(diǎn)，Q為正方形BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 三棱錐D?A1D1Q的體積為定值
B. 若D1Q//平面A1PD，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段
C. 存在Q點(diǎn)，使得D1Q⊥平面A1PD
D. 若直線D1Q與平面BCC1B1所成角的正切值為2，那么點(diǎn)Q的軌跡是以C1為圓心，半棱長(zhǎng)為半徑的圓弧
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知a=(λ+1,0,2λ)，b=(6,2μ?1,2)，且a/?/b，則λ+μ= ______．
13.將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球放入兩個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子中至少放1個(gè)球，則不同的放法有______(數(shù)字作答)．
14.要排出某班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)6門(mén)課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語(yǔ)課不排在第6節(jié)，則不同的排法種數(shù)為_(kāi)_____.(以數(shù)字作答)
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖，在六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六邊形，設(shè)AB=a，AF=b，AA1=c.若cs∠BAA1=cs∠FAA1=15，AB=2，AA1=5，求：
(1)A1C?A1D；
(2)|AE1|.
16.(本小題15分)
甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)站成一排拍照．
(1)甲、乙兩人不相鄰的站法共有多少種？
(2)甲不站排頭或排尾，且甲、乙兩人相鄰的站法共有多少種？
17.(本小題15分)
在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．
(Ⅰ)求證：平面A1BD⊥平面A1AC；
(Ⅱ)若BD= 2A1D=2，求平面A1BD與平面B1BD所成角的大小．
18.(本小題17分)
如圖1，等腰直角△ABC的斜邊BC=4，D為BC的中點(diǎn)，沿BC上的高AD折疊，使得二面角B?AD?C為60°，如圖2，M為CD的中點(diǎn)．

(1)證明：BM⊥AC．
(2)求二面角M?AB?D的余弦值．
(3)試問(wèn)在線段AC上是否存在點(diǎn)Q，使得直線MQ與平面ABM所成角的正弦值為 210？若存在，求出線段AQ的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
19.(本小題17分)
如圖，已知ABCD?A1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為2的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，O為AC與BD的交點(diǎn)．
(1)證明：C1O//平面AB1D1；
(2)若點(diǎn)C1到平面AB1D1的距離為 22，求正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的高；
(3)若線段CC1上存在點(diǎn)P，使得直線AP與平面AB1D1所成角為60°，求線段CC1的取值范圍．
參考答案
1.A
2.C
3.D
4.D
5.C
6.C
7.D
8.D
9.ABD
10.ACD
11.ABD
12.710
13.7
14.288
15.23； 7．
16.解(1)根據(jù)題意，先排丙、丁、戊，有A33=6種站法，
再將甲、乙安排在三人的空位中，有A42=12種站法．
故甲、乙兩人不相鄰的站法共有6×12=72種．
(2)根據(jù)題意，分2種情況討論：
若乙站在排頭或排尾，則有2×A33=12種站法；
若甲、乙都不站排頭或排尾，則有2×A22A33=24種站法；
故甲不站排頭或排尾，且甲、乙兩人相鄰的站法共有12+24=36種．
17.證明：(Ⅰ)由題可知AA1=AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，
所以△A1AB和△A1AD均為正三角形，
于是A1B=A1D，
設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則A1O⊥BD，
又四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
而A1O∩AC=O，A1O、AC?平面A1AC，所以BD⊥平面A1AC，
而B(niǎo)D?平面A1BD，故平面A1BD⊥平面A1AC．
解：(Ⅱ)由(Ⅰ)得A1B=A1D及BD= 2A1D=2，易知A1B⊥A1D，
又由A1D=AD，A1B=AB，BD=BD，得△A1BD≌△ABD，故∠BAD=90°，底面ABCD是矩形，
于是AO=A1O=12BD= 22A1D=1，又易知AA1=A1D= 2，
從而A1O⊥AO，又A1O⊥BD，AO∩BD=O，AO、BD?底面ABCD，
可得A1O⊥底面ABCD．
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OA1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,?1,0)，A1(0,0,1)，
BB1=AA1=(?1,0,1)，DB=(0,2,0)，
設(shè)平面B1BD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，
由n?DB=0n?BB1=0得2y=0?x+z=0,
令x=1，得n=(1,0,1)，
平面A1BD的一個(gè)法向量為CA=(2,0,0)，
設(shè)平面A1BD與平面B1BD所成角為θ，由圖觀察可知θ為銳角，
則csθ=n?CA|n|?|CA|= 22，∴θ=45°，
故平面A1BD與平面B1BD所成角的大小為45°．
18.解：(1)證明：在圖1的等腰直角△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則AD⊥BC，
所以在圖2中，有AD⊥BD，AD⊥CD，又BD∩CD=D，
所以AD⊥平面BCD，又BM?平面BCD，
所以AD⊥BM，
因?yàn)锳D⊥平面BCD，所以∠BDC是二面角B?AD?C的平面角，即∠BDC=60°，
所以△BCD為正三角形，因?yàn)镸為CD的中點(diǎn)，
所以CD⊥BM，由AD∩CD=D，AD，CD?平面ACD，
所以BM⊥平面ACD，又AC?平面ACD，
所以BM⊥AC；
(2)以D為原點(diǎn)，垂直于DC的直線為x軸，DC，DA所在直線分別為y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

易知A(0,0,2)，B( 3,1,0)，C(0,2,0)，M(0,1,0)，
所以AB=( 3,1,?2)，BM=(? 3,0,0)，DA=(0,0,2)，
設(shè)平面ABM的法向量為n1=(x,y,z)，
則AB?n1=0BM?n1=0，即 3x+y?2z=0? 3x=0，令z=1，則y=2，x=1，
所以平面ABM的一個(gè)法向量為n1=(0,2,1)，
設(shè)平面ABD的法向量為n2=(a,b,c)，
則AB?n2=0DA?n2=0，即 3a+b?2c=02c=0，令a=?1，則b= 3，c=0，
所以平面ABD的一個(gè)法向量為n2=(?1, 3,0)，
設(shè)二面角M?AB?D的平面角為θ，由圖可知，θ為銳角，
所以csθ=|cs=|n1?n2||n1||n2|=2 32 5= 155，
所以二面角M?AB?D的余弦值為 155；
(3)假設(shè)在線段AC上存在點(diǎn)Q，使得直線MQ與平面ABM所成角的正弦值為 210，
由(2)可得，MA=(0,?1,2)，AC=(0,2,?2)，
設(shè)AQ=λAC(0,2λ,?2λ)，則MQ=MA+AQ=(0,2λ?1,2?2λ)，λ∈[0,1]，
依題意可得 210=|2(2λ?1)+2?2λ| 5× (2λ?1)2+(2?2λ)2，
解得：λ=14或λ=?58(舍去)，
所以存在點(diǎn)Q，使得直線MQ與平面ABM所成角的正弦值為 210，此時(shí)|AQ|= 22．
19.解：(1)證明：連接AO1，
因?yàn)锳BCD?A1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為2的正四棱柱，
所以AA1=CC1，AA1/?/CC1，
故四邊形AA1C1C為平行四邊形，則AC=A1C1，
又O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，O為AC與BD的交點(diǎn)，
所以AO=O1C1，且AO//O1C1，
故四邊形AOC1O1為平行四邊形，
所以AO1//OC1，
又AO1?平面AB1D1，OC1?平面AB1D1，
所以C1O//平面AB1D1；

(2)以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，A1B1，A1D1，A1A所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B1(2,0,0)，D1(0,2,0)，C1(2,2,0)，設(shè)AA1=?，則A(0,0,?)，
設(shè)平面AB1D1的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，B1A=(?2,0,?)，B1D1=(?2,2,0)，
則m⊥B1Am⊥B1D1，則m?B1A=?2x+?z=0m?B1D1=?2x+2y=0，
令z=1，則x=y=?2，故m=(?2,?2,1)，
點(diǎn)C1到平面AB1D1的距離為：|B1C1?m||m|=|(0,2,0)?(?2,?2,1)| ?24+?24+1=? ?22+1= 22，
解得?= 63，
故正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的高為?= 63；
(3)設(shè)AA1=?，則A(0,0,?)，
由(2)知平面AB1D1的一個(gè)法向量為m=(?2,?2,1)，
設(shè)P(2,2,t)，0≤t≤?，AP=(2,2,t??)，
則|AP?m||AP|?|m|=|?+t| ?22+1? t2?2?t+?2+8= 32，
化簡(jiǎn)得(3?2?2)t2?(6?3+28?)t+3?4+22?2+48=0在t∈[0,?]上有解，
當(dāng)?= 63時(shí)，方程為?32 63t+64=0，解得t= 6> 63，不合要求，
當(dāng)?≠ 63時(shí)，Δ=(6?3+28?)2?4(3?2?2)(3?4+22?2+48)=96(?2+2)2≥0，
故方程的根為t1,2=(6?3+28?)±4 6(?2+2)2(3?2?2)，
故只需(6?3+28?)?4 6(?2+2)2(3?2?2)≤?，
解得?≥ 6或0

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