四川省巴中市巴中中學(xué)2025屆高三下學(xué)期3月半月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

時間：120 分鐘滿分：150 分
一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有
一項是符合題目要求的．
1. 復(fù)數(shù) z 滿足，則復(fù)數(shù) 的虛部是（）
A. B. 2 C. D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，即可根據(jù)虛部概念求解.
詳解】由可得，
所以虛部為，
故選：D.
2. 已知命題，命題，則（）
A. 和均為真命題 B. 和均為真命題
C. 和均為真命題 D. 和均為真命題
【答案】A
【解析】
【分析】直接判斷命題的真假，再根據(jù)命題的否定可判斷.
【詳解】對于命題 p，當(dāng) 時，，所以 p 為真命題；
對于命題 q，由于恒成立，所以恒有 .
綜上，p 和 q 均為真命題.
故選：A.
3. 已知向量滿足，則（）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
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【解析】
【分析】結(jié)合已知條件，求得，再對兩邊同時平方求出，
【詳解】由得 = ，由，得
又所以
故選：D
4. 已知數(shù)據(jù) ，滿足：，若去掉后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)
與原數(shù)據(jù)相比，下列說法錯誤的是（）
A. 中位數(shù)不變
B. 若，則數(shù)據(jù) 的第 75 百分位數(shù)為 7.5
C. 平均數(shù)不變
D. 方差變小
【答案】B
【解析】
【分析】利用中位數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義分析計算即可.
【詳解】原來的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，故 A 正確；
當(dāng) 時，數(shù)據(jù)按從小到大順序排列： .
因為，所以該組數(shù)據(jù)的第 75 百分位數(shù)是第 8 個數(shù) 8，故 B 錯誤；
由于，故 , , , , ,
原來的平均數(shù)為，
去掉后的平均數(shù)為，平均數(shù)不變，故 C 正確；
原來的方差為，
去掉后的方差為，
方差變小，故 D 正確.
故選：B.
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5. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)同角關(guān)系可得，即可由正切的差角公式求解.
【詳解】由可得，又，所以，
故，
，故
故選：D
6. 已知正三棱臺的體積為，其上?下底面的邊長分別為 2，4，則該正三棱臺的側(cè)面上的高為（）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件先計算出正三棱臺的高,在根據(jù)勾股定理求出該正三棱臺的側(cè)面上的高即可.
【詳解】設(shè)正三棱臺的高為，上、下底面的中心分別為，
則，分別為的中點，連接，
則 ,做，則點在上，
則底面，底面，所以，
由，平面，得平面，
因為平面，所以，即為側(cè)面的高，
上?下底面的面積分別為，，
所以正三棱臺的體積為，
解得，
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，
所以該正三棱臺的側(cè)面上的高為 .
故選：A.
7. 函數(shù) 與函數(shù) 公切線的縱截距為（）
A. 1 或 0 B. -1 或 0 C. 1 或 D. -1 或
【答案】B
【解析】
【分析】先設(shè)切點分別為，并通過點斜式方程寫出兩條切線方程，根據(jù)公切線方程
得，最后計算值即可.
【詳解】設(shè)切點分別為， ,
且導(dǎo)數(shù)為，
所以切斜方程為既為，
也為，
所以，
所以，
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所以，
所以或，
所以公切線的縱截距為或 .
故選：B.
【點睛】本題考查求公切線問題，解題關(guān)鍵是分別在函數(shù) 上設(shè)不同切點并求切線方程，根據(jù)兩
切線方程一樣來求解公切線斜率.
8. 類比數(shù)列，我們把一系列向量按照一定的順序排列，可得到向量列.已知向量列滿足，
且滿足，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造得，再利用等比數(shù)列定義和通項公式即可.
【詳解】，
則，其中，
則是以為首項，2 為公比的等比數(shù)列，
則，則 .
故選：B.
二、多項選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符
合題目要求．全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分．
9. 數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（）
A. 是遞減數(shù)列
B.
C. 當(dāng) 時，
D. 當(dāng)且僅當(dāng) 時，取得最大值
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【答案】AC
【解析】
【分析】利用求出可判斷 ABC；對配方可判斷 D.
【詳解】當(dāng) 時，，
當(dāng) 時，，
所以，
對于 A，，所以是遞減數(shù)列，故 A 正確；
對于 B，，故 B 錯誤；
對于 C，當(dāng) ，得，所以當(dāng) 時，，故 C 正確；
對于 D，，因為，
所以當(dāng)且僅當(dāng) ，或時，取得最大值，故 D 錯誤.
故選：AC.
10. 關(guān)于函數(shù) ，下列說法正確的是（）
A. 曲線在點處的切線方程為
B. 的圖象關(guān)于原點對稱
C. 若有三個不同零點，則實數(shù) m 的范圍是
D. 在上單調(diào)遞減
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程判斷 A；由對稱的性質(zhì)，取值計算判斷 B；求
出函數(shù)的極值，結(jié)合圖象，由零點的意義判斷 C；確定單調(diào)性判斷 D 即可得解.
【詳解】函數(shù) ，得，
對于 A，，而，則切線方程為，即，故 A 正確；
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對于 B，，則的圖象關(guān)于原點不對稱，故 B 錯誤；
對于 C，當(dāng) 或時，；當(dāng) 時，，
即函數(shù) 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù) 在處取得極大值，在處取得極小值，
又當(dāng) 時, ，當(dāng) 時, ，
函數(shù) 的零點，即直線與函數(shù) 圖象交點的橫坐標(biāo)，
作出函數(shù) 的大致圖象如下：
則當(dāng)直線與函數(shù) 圖象有 3 個交點時，，故 C 正確；
對于 D，由對 C 分析知在上單調(diào)遞減，故 D 正確．
故選：ACD.
11. 定義域為的函數(shù) 滿足：，當(dāng) 時，
，則下列結(jié)論正確的有（）
A.
B. 的圖象關(guān)于點對稱
C.
D. 在上單調(diào)遞增
【答案】BC
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【解析】
【分析】對于 A，賦值令，求解；對于 B，賦值令，得到關(guān)于對稱，再結(jié)合
函數(shù)圖像平移變換得解；對于 C,賦值令，再令，再變形即可；對于 D，賦值令
，結(jié)合時，，舉反例可解.
詳解】令，得到，則 .故 A 錯誤.
令，得到，
則，
則或 ,
由于當(dāng) 時，，則此時，
故時，，故時，，所以，
而，故對任意恒成立，則關(guān)于對稱.
可由向左平移 1 個單位，再向下平移 2 個單位.
則的圖象關(guān)于點對稱，故 B 正確.
令，得到，
則 .
令，得到
令，得到，
兩式相減得，
變形，
即 ,
時，，兩邊除以，
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即，故 C 正確.
令，則，
時，，則，
且，則，即 .故 D 錯誤.
故選：BC.
【點睛】難點點睛：解答此類有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的題目，難點在于要結(jié)合抽象函數(shù)性質(zhì)，利用賦值法以及代換
法，推出函數(shù)相應(yīng)的性質(zhì).
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 已知直線是雙曲線的一條漸近線，則此雙曲線的離心率為
__________..
【答案】 ##
【解析】
【分析】由雙曲線的漸近線方程為，可得，利用離心率公式，計算即可得到結(jié)果.
【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，
由直線是雙曲線的一條漸近線，可得：，
，所以離心率為
故答案為：
13. 已知函數(shù) 的部分圖像如圖所示，其中，
則 __________.
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【答案】1
【解析】
【分析】觀察圖象確定函數(shù) 的周期，由此求，根據(jù) 求，再求
即可.
【詳解】設(shè)函數(shù) 的最小正周期為，
觀察圖象可得，所以，又，
所以，
又，
所以，
所以，，又，
所以，
所以，
所以，
故答案為： .
14. 切比雪夫不等式是 19 世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究統(tǒng)計規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，其內(nèi)容是：
對于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對任意正實數(shù) ，有
.根據(jù)該不等式可以對事件的概率作出估計.在數(shù)字通信中，
信號是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列，現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號次，每次發(fā)射信號“0”和“1”是等可能的.記
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發(fā)射信號“1”的次數(shù)為隨機(jī)變量，為了至少有的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在區(qū)間內(nèi)，
估計信號發(fā)射次數(shù) 的值至少為______.
【答案】1250
【解析】
【分析】由題意知，可求出，由，得，再由切
比雪夫不等式列不等式求解即可.
【詳解】由題意知，所以，，
若，則，
即，即，
由切比雪夫不等式知，
要使得至少有 98%的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在區(qū)間內(nèi)，
則，解，
所以估計信號發(fā)射次數(shù) n 的最小值為 1250.
故答案為：1250
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查二項分布的期望和方差，考查切比雪夫不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將
變形為，考查理解能力和計算能力，屬于較難題.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知分別為內(nèi)角的對邊，且 .
（1）求角 A；
（2）若，求邊 .
【答案】（1）；
（2）
【解析】
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【分析】（1）運用正弦定理將邊化角，然后化簡即可；
（2）運用余弦定理求解邊長即可.
【小問 1 詳解】
因為，
所以由正弦定理得，
因為 ,所以，
所以，
所以，
因為，
所以；
【小問 2 詳解】
在中，，
所以由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去），或
16. 如圖，單位圓上的一質(zhì)點在隨機(jī)外力的作用下，每一次在圓弧上等可能地逆時針或順時針移動，設(shè)
移動次回到起始位置的概率為 .
（1）求及的值：
（2）求數(shù)列的前項和.
【答案】（1），
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（2）
【解析】
【分析】（1）按著三種路線分別求概率即可，
（ 2）由棋子移動的方向分別按逆時針與順時針共有，，三種情況，故可得
，，由數(shù)列的遞推公式，求得的通項公式，再求
,即可由求和公式求解.
【小問 1 詳解】
如圖：設(shè)起始位置為，
移動 2 次回到起始位置，則；；
所以，
若移動 3 次回到起始位置，
；；
所以，
【小問 2 詳解】
每次移動的時候是順時針與逆時針移動是等可能的，
設(shè)擲骰子次時，棋子移動到，，處的概率分別為：，，，
所以．
擲骰子次時，共有，，三種情況，故．
，即，，
又，
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時，，
又，可得，
由，
可得數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列，
，即，
又．
所以前項和為
17. 如圖，四棱錐中，底面為等腰梯形，平面平面，
.
（1）為上一點，平面，求的值：
（2）平面與平面的交線為，求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）；
（2） .
【解析】
【分析】（1）設(shè) 為上一點，且滿足，利用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)推理即
得.
（2）延長，相交于點，取的中點，利用面面垂直的性質(zhì)證得平面，以為
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原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求解即得.
【小問 1 詳解】
設(shè) 為上一點，且滿足，連接， .
由平面，且平面平面，得，即四邊形為平行四邊形，
在等腰梯形中，，則，
所以為的中點，，即 .
【小問 2 詳解】
延長，相交于點，設(shè) 為中點，
則平面與平面的交線為直線，連接，，
由，得，且，
又平面平面，平面平面，
則平面，在中，，于是，且，
以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
設(shè)平面法向量，則，取，得，
設(shè) 與平面所成角為，則，
所以與平面所成角的正弦值為 .
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18. 已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓過點 .
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與橢圓交于兩點，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為
.
①求四邊形的面積的最大值；
②設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，判斷的值是否為常數(shù)，并說明理由.
【答案】（1）；
（2）① ；②是，0
【解析】
【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意得，再結(jié)合可
求出，從而可求出橢圓方程；
（2）①求出，設(shè)直線的方程為，設(shè)點，將直線方
程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由是橢圓 C 上位于直線 PQ 兩側(cè)，求出的范圍，然后表
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示出四邊形的面積，化簡可求出其最大值；②表示出直線的斜率和直線的斜率，然后
結(jié)合前面的式子化簡可得答案.
【小問 1 詳解】
設(shè)橢圓的方程為 .
由題意可得，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問 2 詳解】
①當(dāng) 時，，解得，
所以點的坐標(biāo)為，則，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點，
聯(lián)立，整理得：，由，可得
.
由韋達(dá)定理知：，
又是橢圓 C 上位于直線 PQ 兩側(cè)，則
，解得
四邊形的面積
故當(dāng) 時，；
②由題意知，直線的斜率，直線的斜率，
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則
.
.
所以的值為常數(shù) 0.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（2）問解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程化簡，利用根與系
數(shù)的關(guān)系，然后結(jié)合已知條件求解，考查計算能力，屬于較難題.
19. 如圖，在區(qū)間上，曲線與軸圍成的陰影部分面積記為面積，若
（為函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)），則 .設(shè)函數(shù)
（1）若，求的值；
（2）已知，點，過點的直線分別交于
兩點（在第一象限），設(shè)四邊形的面積為，寫出的表達(dá)式（用表示）并證明：
：
（3）函數(shù) 有兩個不同的零點，比較與的大小，并說明理由.
【答案】（1）；
（2），證明見解析；
（3） .
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【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定信息，令，直接代入計算即得.
（2）利用矩形或梯形面積公式計算，再利用分析法推理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即得.
（3）利用函數(shù)零點的意義，結(jié)合（2）的結(jié)論及不等式性質(zhì)推理即得.
【小問 1 詳解】
設(shè) ，則，
所以 .
【小問 2 詳解】
依題意，四邊形為梯形或矩形，又，則，
，下證，
而，只需證，
令，只需證，
，設(shè) ，則，
在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，
因此，所以 .
小問 3 詳解】
，因為為的零點，則，
設(shè) ，則有，即，于，
由（2）知，則有，因此，
，則，即，所以 .
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【點睛】思路點睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、
極(最)值問題處理.
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