注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)，則（ ）
A 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，然后由共軛復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)模公式可得.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，所以.
故選：C
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.
【詳解】.
故選：C.
3. 已知向量，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量定義公式計(jì)算求解即可得解.
【詳解】在方向上的投影向量是，
故選：A.
4. 設(shè)等比數(shù)列公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 即不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】要判斷“”與“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”之間的條件關(guān)系.需要分別從充分性和必要性兩方面進(jìn)行分析，即看“”能否推出“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”，以及“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”能否推出“”.
【詳解】假設(shè).對(duì)于等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為.
當(dāng)，時(shí)，根據(jù)通項(xiàng)公式可得.
此時(shí)，等比數(shù)列不是遞增數(shù)列.
這說明僅僅不能保證等比數(shù)列一定是遞增數(shù)列，
所以“”不是“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分條件.
假設(shè)等比數(shù)列為遞增數(shù)列，那么.
由通項(xiàng)公式可得，，所以.
當(dāng)時(shí)，不等式兩邊同時(shí)除以（因?yàn)?，，不等?hào)方向改變），
得到.例如當(dāng)時(shí)，，解得.
這說明等比數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，不一定有，
所以“”不是“等比數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要條件.
則“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件.
故選：D.
5. 曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，則的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.
【詳解】，令，則，故，
當(dāng)時(shí)，，即的坐標(biāo)為.
故選：B.
6. 已知函數(shù)是圖象的一條對(duì)稱軸，且在上單調(diào)，則為（ ）
A. 2B. 5C. 8D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】利用的對(duì)稱軸和在區(qū)間上的單調(diào)性，求得的值.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，
所以，得.
又直線為的圖象的對(duì)稱軸，
所以，
得，當(dāng)時(shí)，.
故選：B.
7. 為了解女兒身高與其母親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)母女的身高數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)最小二乘法（即取最小），關(guān)于的回歸直線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用線性回歸方程經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，進(jìn)行排除即可.
【詳解】觀察數(shù)據(jù)，可得與有關(guān)，故排除D.
又，.
所以回歸直線方程必過點(diǎn)，所以排除AB.
故選：C
8. 設(shè)正方形的四條邊分別經(jīng)過點(diǎn)，則該正方形與圓的公共點(diǎn)至多有（ ）
A. 0個(gè)B. 4個(gè)C. 8個(gè)D. 16個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，，表達(dá)出正方形邊長，求出等號(hào)成立時(shí)，，得到答案.
【詳解】，由勾股定理得，設(shè)，，
則，，
由對(duì)稱性可知，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)不妨設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)，則，
同理可得，，
經(jīng)驗(yàn)證，在上，故該正方形與圓的公共點(diǎn)至多有4個(gè).
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出角度，由對(duì)稱性得到正方形邊長，求出取最大值時(shí)四點(diǎn)的坐標(biāo)，得到答案.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，過的直線交于兩點(diǎn)，列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 漸近線方程為
C. 的最小值為4D. 內(nèi)切圓圓心在直線上
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的計(jì)算得出焦點(diǎn)及漸近線判斷A，B，聯(lián)立求解弦長計(jì)算判斷C，結(jié)合圓的切線長定理、雙曲線的定義判斷D.
【詳解】因?yàn)殡p曲線中，所以，所以，所以左焦點(diǎn)，故A正確；
漸近線方程為，故B錯(cuò)誤；
雙曲線，，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
此時(shí)，，則；
當(dāng)直線的斜率為：或時(shí)，
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
聯(lián)立，得，
則，，
所以，
由于或，則，即.
當(dāng)直線的斜率為：時(shí)，過的直線交于兩點(diǎn)，左右各有一個(gè)交點(diǎn)，，
當(dāng)斜率為0時(shí)，取得最小值，最小值為，故C正確．
設(shè)圓分別與相切于點(diǎn)，則．
因?yàn)?，所以?br>令的橫坐標(biāo)為，則，即為雙曲線的右頂點(diǎn)，
即內(nèi)切圓圓心定直線上，
同理如果在雙曲線左支上，可得內(nèi)切圓圓心在定直線上，故D正確．
故選：ACD.
10. 在三棱錐中，平面分別為中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 為直角三角形B. 平面
C. 三棱錐的體積最大值為D. 三棱錐外接球的半徑為定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用線面垂直證明平面，然后可判斷A；連接相交于點(diǎn)，連接，證明為的重心即可判斷B；利用基本不等式求面積的最大值即可判斷C；利用補(bǔ)形法求解可判斷D.
【詳解】對(duì)A，因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，
因?yàn)槠矫妫?，所以為直角三角形，正確；
對(duì)B，連接相交于點(diǎn)，連接，
若平面，平面平面，平面，則，
因?yàn)闉榈闹芯€，所以為的重心，，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，與矛盾，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，因?yàn)椋茫?br>所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確；
對(duì)D，將三棱錐補(bǔ)形成長方體，易知即為外接球的直徑，
易得，外接球半徑，正確.
故選：ACD
11. 已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，是極大值點(diǎn)
B. 存在實(shí)數(shù)，使得成立
C. 若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是
D. 若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而確定極值點(diǎn)即可判斷A；代入函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)驗(yàn)證等式即可判斷B；根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得出關(guān)于的不等式，解之即可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)情況確定的取值范圍即可判斷D.
【詳解】A：，令，得或.
當(dāng)時(shí)，，令或，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以是的極大值點(diǎn)，故A正確；
B：，
所以，
整理得，
所以，解得，即存在使得，故B正確；
C：若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
又在上單調(diào)遞減，其值域?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；
D：由選項(xiàng)A知，當(dāng)時(shí)，，
令，解得，所以函數(shù)又兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，令或，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為，極小值，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
要使存在唯一的零點(diǎn)，則，
解得或（舍去），所以，此時(shí)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極大值為，極小值，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
要使存在唯一的零點(diǎn)，且，則，
解得或（舍去），所以.
綜上，的取值范圍為，故D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題選項(xiàng)D的關(guān)鍵是分類討論取值范圍，求出對(duì)應(yīng)的極值，利用存在唯一的零點(diǎn)且建立不等式，解不等式即可.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_________．
【答案】12
【解析】
【分析】
利用二項(xiàng)式定理求出通項(xiàng)公式，令指數(shù)為零找出常數(shù)項(xiàng)即可．
【詳解】通項(xiàng)，令，得，
∴展開式的常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：12.
【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理類問題的處理思路：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)進(jìn)行分析．
13. 如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面3m，水面寬6m．水面上升1m后，水面寬度是______m．
【答案】
【解析】
【分析】建立坐標(biāo)系，先根據(jù)條件求拋物線的方程，再根據(jù)的值求即可.
【詳解】如圖：以拱橋頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系.
設(shè)拋物線方程為：，由題意，拋物線過點(diǎn).
所以，所以拋物線方程為：.
水面上升，則，此時(shí)或.
所以水面寬度為：.
故答案為：
14. 在中，，的面積為3，則的最小值為______．
【答案】4
【解析】
【分析】設(shè)，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，利用余弦定理計(jì)算可得，由輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，解不等式即可.
【詳解】設(shè)，則，
由，得.
由余弦定理得，
令，則，
即（其中），
所以，即，
得，解得或，即或（舍去），
解得或（舍去），所以的最小值為4.
故答案為：4
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用余弦定理計(jì)算得到后，轉(zhuǎn)化為，解不等式即可.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記集合，將中的元素從小到大依次排列，得到新數(shù)列，求的前20項(xiàng)和．
【答案】（1）；
（2）487
【解析】
【分析】（1）設(shè)出公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式；
（2）列舉法表示，得到的前20項(xiàng)，并分組求和，得到答案.
【小問1詳解】
設(shè)公差為，
由題意得，
解得，
故；
【小問2詳解】
，
，
故的前20項(xiàng)為，
故的前20項(xiàng)和為
.
16. 如圖，在直三棱柱中，平面平面為的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，再由線面垂直即可得出線線垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角正弦值即可.
【小問1詳解】
如圖，
在直三棱柱中，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)椋运倪呅问钦叫?，所以?br>又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所?
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫?，平面，所?
又，，平面，平面，
所以平面，所以兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，
則，
所以，
設(shè)是平面的法向量，
則，所以，
取，則，所以是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
17. 在某人工智能的語音識(shí)別系統(tǒng)開發(fā)中，每次測(cè)試語音識(shí)別成功的概率受環(huán)境條件（安靜或嘈雜）的影響．
（1）已知在安靜環(huán)境下，語音識(shí)別成功的概率為0.9；在嘈雜環(huán)境下，語音識(shí)別成功的概率為0.6．某天進(jìn)行測(cè)試，已知當(dāng)天處于安靜環(huán)境的概率為0.3，處于嘈雜環(huán)境的概率為0.7．
（ⅰ）求測(cè)試結(jié)果為語音識(shí)別成功的概率；
（ⅱ）已知測(cè)試結(jié)果為語音識(shí)別成功，求當(dāng)天處于安靜環(huán)境的概率；
（2）已知當(dāng)前每次測(cè)試成功的概率為0.8，每次測(cè)試成本固定，現(xiàn)有兩種測(cè)試方案：
方案一：測(cè)試4次；方案二：先測(cè)試3次，如果這3次中成功次數(shù)小于等于2次，則再測(cè)試2次，否則不再測(cè)試，為降低測(cè)試成本，以測(cè)試次數(shù)的期望值大小為決策依據(jù)，應(yīng)選擇哪種方案？
【答案】（1）； （2）方案二
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）應(yīng)用全概率公式計(jì)算求解；（ⅱ）應(yīng)用貝葉斯公式計(jì)算求解．
（2）分析的取值，對(duì)于方案一，計(jì)算成本；對(duì)于方案二，利用規(guī)則得出對(duì)應(yīng)概率列出分布列再求期望，比較即可判斷求解．
【小問1詳解】
（?。┯浭录嗀是“安靜環(huán)境”，則是“嘈雜環(huán)境”，記事件B是“語音識(shí)別成功”.
所以；
（ⅱ）已知測(cè)試結(jié)果為語音識(shí)別成功，則當(dāng)天處于安靜環(huán)境的概率；
【小問2詳解】
設(shè)每次測(cè)試成本固定為，
設(shè)方案一和方案二測(cè)試成本分別為，
方案一：測(cè)試4次則測(cè)試4次；
方案二：可取，
，
，
隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
所以．
所以，即方案一測(cè)試次數(shù)的期望值大于方案二測(cè)試次數(shù)的期望值，所以應(yīng)選擇方案二．
18. 已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上．
（1）求的方程；
（2）設(shè)橢圓．若過直線交于另一點(diǎn)交于兩點(diǎn)，且在軸上方．
（?。┳C明：；
（ⅱ）為坐標(biāo)原點(diǎn)．為右頂點(diǎn)．設(shè)在第一象限內(nèi)，，是否存在實(shí)數(shù)使得的面積與的面積相等？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）證明見解析（ⅱ）存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，列出方程求出，即可得出橢圓方程；
（2）（?。﹩栴}可轉(zhuǎn)化為兩弦中點(diǎn)重合，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得證；
（ⅱ）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及可得的關(guān)系式，再由三角形面積相等及點(diǎn)到直線的距離可得另外的關(guān)系式，據(jù)此聯(lián)立即可求解.
【小問1詳解】
由已知，可得，
因?yàn)?，?br>解得，
所以橢圓方程為
【小問2詳解】
如圖，
（?。┳C明：
要證，只需證明弦的中點(diǎn)與弦的中點(diǎn)重合.
當(dāng)垂直于軸時(shí)，弦的中點(diǎn)都是坐標(biāo)原點(diǎn)，故它們的中點(diǎn)重合，
此時(shí)
當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由，得，
則，
所以弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
同理可得，
所以弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
所以弦的中點(diǎn)與弦的中點(diǎn)重合，此時(shí).
綜上所述，
(ii)因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限內(nèi)，，
由(i)知，，所以,
又，所以，
化簡(jiǎn)得 ①
設(shè)到的距離為，C到的距離為，
假設(shè)的面積與的面積相等，則，
因?yàn)?，所以，所?
又，
因?yàn)椋裕?br>所以 ②
由①②解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
所以
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求參數(shù)的過程中，根據(jù)，的面積與的面積相等，分別列出方程，再聯(lián)立方程即可求出參數(shù)的取值.
19. 若函數(shù)在區(qū)間上有意義，且存在正實(shí)數(shù)，使得，均有，則稱在上具有性質(zhì)．設(shè)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間：
（2）判斷在上是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（3）當(dāng)時(shí)，在上具有性質(zhì)，證明：．
【答案】（1）答案見解析
（2）具有，理由見解析
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)后借助導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得原函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）由，則可分、，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行討論；
（3）由題意可得函數(shù)在時(shí)恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性可得其在上單調(diào)遞增，則有，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再結(jié)合則可得.
【小問1詳解】
，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
【小問2詳解】
在上具有性質(zhì)，理由如下：
由（1）知上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，故，
故當(dāng)時(shí)，，有，，
故，
當(dāng)時(shí)，，有，
綜上，，恒成立，
即在上具有性質(zhì)；
【小問3詳解】
因?yàn)樵谏暇哂行再|(zhì)，
所以在時(shí)恒成立，
則在時(shí)恒成立，
即在時(shí)恒成立，
設(shè)，，
，
令，則，
設(shè)，，
則，
故在上單調(diào)遞減，則，
故，故在上單調(diào)遞增，
則，，
設(shè)，則，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，則，
又當(dāng)時(shí)，，
故存在，使得，
即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又
，
令，
則，
故在上單調(diào)遞減，則，
故，
故，則，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于理解所給新性質(zhì)，將在上具有性質(zhì)轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到恒成立.母親身高
164
166
166
166
168
女兒身高
165
165
166
167
167

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福建省莆田市2025屆高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

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2025屆福建省莆田市高三二模考試數(shù)學(xué)試題（含答案）：

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2025屆福建省莆田市高三二模考試數(shù)學(xué)試題及參考答案：

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