福建省廈門(mén)市2025屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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滿分：150分 考試時(shí)間：120分鐘
考生注意：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念及交集的運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】∵，∴，
∵，∴.
故選：D.
2. 已知向量，滿足，則（ ）
A. 0B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把兩邊同時(shí)平方，結(jié)合向量的模長(zhǎng)可得結(jié)果.
詳解】由得，，
∵，∴，即.
故選：B.
3. 直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】求出圓心到直線的距離，再利用圓的弦長(zhǎng)公式求解.
【詳解】圓的圓心，半徑，
點(diǎn)到直線的距離，
所以所求弦長(zhǎng)為.
故選：A
4. 已知，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件可得，計(jì)算值，結(jié)合二倍角公式可得結(jié)果.
【詳解】∵，∴，即，
∴，
∵，∴，∴，故，
∵，∴，
∴.
故選：C.
5. 已知數(shù)列滿足，，則的前6項(xiàng)和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先，利用遞推求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.
【詳解】由，
當(dāng)時(shí)，
，
顯然，對(duì)于時(shí)也成立，
所以，
則的前6項(xiàng)和為.
故選：C.
6. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，M為PF的中點(diǎn)，原點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用斜率的定義，結(jié)合基本不等式求出最大值.
【詳解】當(dāng)點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，，
由對(duì)稱(chēng)性不妨令點(diǎn)在第一象限，設(shè)點(diǎn)，而，則，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最大值為1.
故選：B
7. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，由此可確定答案.
【詳解】由題意得，.
∵函數(shù)在為減函數(shù)，
∴，即，
∵函數(shù)在為增函數(shù)，
∴，即，∴.
∵，，
∴，
∵，∴，
由得，，由得，，
綜上得，.
故選：A.
8. 已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在正方體的內(nèi)切球表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面平面可得點(diǎn)的軌跡是平面與正方體內(nèi)切球的交線，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可求得AP的最小值.
【詳解】由題意得，正方體內(nèi)切球的球心為正方體的中心，記為點(diǎn)，內(nèi)切球半徑.
∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
∵平面，，∴平面平面，
∵平面，∴平面，故點(diǎn)的軌跡是平面與正方體內(nèi)切球的交線，此交線為圓，記圓心為.
如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
∴，，.
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，故，
∴點(diǎn)到平面的距離為，
∴圓的半徑為，
由得，，
∴，
∴的最小值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的軌跡為平面與正方體內(nèi)切球的交線，此交線為圓，結(jié)合條件計(jì)算圓的半徑，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可求最值.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A.
B.
C. 是奇函數(shù)
D. 當(dāng)時(shí)，圖象與軸有2個(gè)交點(diǎn)
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象確定周期以及最高點(diǎn)，即可求解和，進(jìn)而可判斷AB，代入即可判斷C,求解方程的根，即可求解D.
【詳解】由圖可知：,故，
,故，由于，則，
故，故A正確，B錯(cuò)誤，
為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤，
令，則，故，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)或故D正確，
故選：AD
10. 某校開(kāi)展“強(qiáng)國(guó)有我，筑夢(mèng)前行”主題演講比賽，共有6位男生，4位女生進(jìn)入決賽.現(xiàn)通過(guò)抽簽決定出場(chǎng)順序，記事件A表示“第一位出場(chǎng)的是女生”，事件B表示“第二位出場(chǎng)的是女生”，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用排列組合計(jì)算符合要求的基本事件的個(gè)數(shù)和基本事件的總數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；利用條件概率公式可得選項(xiàng)B正確；根據(jù)和事件的概率公式可得選項(xiàng)D正確.
【詳解】A.由題意得，，A錯(cuò)誤.
B.由題意得，，
∴，B正確.
C.對(duì)于事件B可分為兩種情況：第一位出場(chǎng)的是男生，第二位出場(chǎng)的是女生；第一位出場(chǎng)的是女生，第二位出場(chǎng)的是女生，
∴，
∴，C正確.
D.，D正確.
故選：BCD.
11. 分別用，表示，中的最小者和最大者，記為，.若，，則（ ）
A.
B. 函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)
D. 關(guān)于的方程的所有解的乘積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用給定定義求出函數(shù)，再結(jié)合各選項(xiàng)條件逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則，，
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，，由，解得，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，令，，
函數(shù)是偶函數(shù)，C正確；
對(duì)于D，由，得或，
而，則，即，該方程有且僅有一個(gè)正根，
或，
，該方程有且僅有一個(gè)負(fù)根，且，
，該方程要么無(wú)解，要么一解，要么兩個(gè)正根，
且，所以關(guān)于的方程的所有解的乘積為，D正確.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用給定的定義求出最小值函數(shù)和最大值函數(shù)的解析式是求解問(wèn)題的關(guān)鍵.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的除法求得復(fù)數(shù)，然后得到向量的模長(zhǎng).
【詳解】,
則，
故答案為：
13. 在五一小長(zhǎng)假期間，要從5人中選若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天，則可能的安排方法有__________種.
【答案】80
【解析】
【分析】根據(jù)值班人數(shù)為2和3兩種情況，結(jié)合排列組合即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可知，值班的人數(shù)為2人或者3個(gè)人，
若人數(shù)為2，則需要一個(gè)人值班首尾兩天，一個(gè)人值中間的那一天，故,
若人數(shù)為3，則每人值一天班，故,
故總的方法有，
故答案為：80
14. ，，是同一平面內(nèi)的三條平行直線，，位于兩側(cè)，與的距離為1，與的距離為2，點(diǎn)A，B，C分別在，，上運(yùn)動(dòng).若，則面積的最小值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)相似可得則，即可根據(jù)基本不等式得，即可根據(jù)求解.
【詳解】過(guò)作于,
由于,所以是中點(diǎn)，故則，
所以，
又則，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積的最小值為，
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的最小正整數(shù)的值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）11
【解析】
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系化簡(jiǎn)求解即可；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求得，進(jìn)而結(jié)合分組求和法求得，再根據(jù)遞增數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由，①
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，②
則①②得，，
則，即，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，，即，
則，
則，
因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，
則數(shù)列為遞增數(shù)列，
又，，
所以滿足的最小正整數(shù)的值為11.
16. 某工廠生產(chǎn)某款產(chǎn)品，根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值Q對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行等級(jí)劃分，Q小于60的產(chǎn)品視為不合格品，Q不小于60的產(chǎn)品視為合格品，其中Q不小于90的產(chǎn)品視為優(yōu)質(zhì)品.工廠為了提升產(chǎn)品質(zhì)量，對(duì)設(shè)備進(jìn)行升級(jí).為考察設(shè)備升級(jí)后產(chǎn)品的質(zhì)量，質(zhì)檢部門(mén)對(duì)設(shè)備升級(jí)前后生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，得到樣本數(shù)據(jù)，制作如下頻數(shù)表：

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)填寫(xiě)下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析產(chǎn)品合格與設(shè)備升級(jí)是否有關(guān)聯(lián).
（2）以上述樣本中設(shè)備升級(jí)后的優(yōu)質(zhì)品頻率作為升級(jí)后產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率，質(zhì)檢部門(mén)為檢查設(shè)備升級(jí)后是否正常運(yùn)轉(zhuǎn)，每天從該設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品并檢測(cè).
（i）記X表示抽取的10件產(chǎn)品中的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)，求（精確到0.001）；
（ii）質(zhì)檢部門(mén)規(guī)定：若抽檢的10件產(chǎn)品中，至少出現(xiàn)2件優(yōu)質(zhì)品，則認(rèn)為設(shè)備正常運(yùn)轉(zhuǎn)，否則需對(duì)設(shè)備進(jìn)行檢修.請(qǐng)根據(jù)的值解釋上述規(guī)定的合理性.
附：.
參考數(shù)據(jù)：，，
【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，可以認(rèn)為產(chǎn)品合格與設(shè)備升級(jí)有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)
（2）（i）；（ii）理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）先計(jì)算出的值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想對(duì)照臨界值得結(jié)論；
（2）（i）根據(jù)二項(xiàng)分布的有關(guān)計(jì)算公式，求出的概率；（ii）優(yōu)質(zhì)品件數(shù)少于2個(gè)的概率只有，據(jù)此可得結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
依題意可得列聯(lián)表為：
零假設(shè)：產(chǎn)品合格與設(shè)備升級(jí)沒(méi)有關(guān)聯(lián)，
由列聯(lián)表可計(jì)算，
依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以推斷不成立，
因此可以認(rèn)為產(chǎn)品合格與設(shè)備升級(jí)有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò).
【小問(wèn)2詳解】
（i）根據(jù)題意，設(shè)備升級(jí)后的優(yōu)質(zhì)品率為，
可以認(rèn)為從生產(chǎn)線中抽出的10件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品是相互獨(dú)立的，則，
，
所以；
（ii）如果設(shè)備正常運(yùn)轉(zhuǎn)，一天內(nèi)抽取的10 件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品件數(shù)少于2個(gè)的概率只有，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)異常，需對(duì)設(shè)備進(jìn)行檢修，可見(jiàn)上述規(guī)定是合理的.
17. 如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，，，.
（1）證明：；
（2）當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求三棱臺(tái)的體積.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定性質(zhì)推理得證.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法，再結(jié)合棱臺(tái)體積公式計(jì)算得解.
【小問(wèn)1詳解】
在三棱臺(tái)中，取的中點(diǎn)，連接，
由，得，由平面平面，平面平面，
平面，得平面，而平面，則，
又，則四邊形是菱形，，
而平面，因此平面，又平面，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
取中點(diǎn)，則，由平面平面，平面平面，
平面，則平面，直線兩兩垂直，
以點(diǎn)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，
，
設(shè)平面的法向量，則，取，得，
設(shè)直線與平面所成的角為，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以三棱臺(tái)的體積
.
18. 已知雙曲線（，）的左，右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)C的右焦點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn).當(dāng)與軸垂直時(shí)，.
（1）求C的方程；
（2）直線，與直線的交點(diǎn)分別為，為的中點(diǎn).
（i）求的最小值；
（ii）證明：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在上.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)與軸垂直時(shí)得，由此可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）（i）設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立，表示點(diǎn)坐標(biāo)，借助韋達(dá)定理可求最小值.
（ii）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，表示，代入方程可得結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
對(duì)雙曲線，令，得，
∴當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，.
由得，即，故，
∵，∴，
∴C的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
（i）①不合題意.
②設(shè)，
聯(lián)立得，，
∴，，解得，
∵，∴直線方程為：，故，同理，
∴
∴當(dāng)時(shí)，.
（ii）由，得，
∴，直線的方程為.
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，
解得，，即.
∵，由點(diǎn)在直線上可得
∴點(diǎn)在直線上，故點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在l上.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決第（2）問(wèn)（i）的關(guān)鍵是借助韋達(dá)定理表示并化簡(jiǎn)，即可得到最小值.解決第（2）問(wèn)（ii）的關(guān)鍵是表示出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，借助點(diǎn)在直線上可證明結(jié)論.
19. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若在上單調(diào)遞增，則稱(chēng)為“強(qiáng)增函數(shù)”.
（1）若是“強(qiáng)增函數(shù)”，求的取值范圍；
（2）若為“強(qiáng)增函數(shù)”，且.當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由；
（3）已知，，，.證明：.
參考結(jié)論：當(dāng)時(shí)，.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)定義可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，即可利用二次式的性質(zhì)求解，
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得，即可作差后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可利用函數(shù)的單調(diào)性求解，
（3）構(gòu)造函數(shù)，，, 利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，即可利用單調(diào)性求解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，則，
由題意可知恒成立，故，即，
故，解得，
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，故?br>即，所以，
設(shè)，
所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，
所以，即.
小問(wèn)3詳解】
,
令，則，
設(shè)，
則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
設(shè),
當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以，故，
所以，即，
所以在上單調(diào)遞增，
令，
則，又單調(diào)遞增，所以，則在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)所以時(shí)，，
所以，即，
所以，
所以
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構(gòu)造新的函數(shù)；
(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
不合格品件數(shù)
合格品件數(shù)
合計(jì)
升級(jí)前
升級(jí)后
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
不合格品件數(shù)
合格品件數(shù)
合計(jì)
升級(jí)前
20
80
100
升級(jí)后
10
90
100
合計(jì)
30
170
200