（滿分120分，考試時(shí)間100分鐘）
一、選擇題（每小題3分，共30分.下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）
1.下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A.-5B.C.0D.
2.硯與筆、墨、紙是中國傳統(tǒng)的文房四寶，是中國書法的必備用具.如圖是一方寓意“規(guī)矩方圓”的硯臺(tái)，它的俯視圖是（ ）
A.B.C.D.
3.中原熟，天下足.處于中原的河南一直是我國重要的糧食大省，最近幾年糧食總產(chǎn)量更是連續(xù)突破1300億斤（注：1斤=0.5千克），為保證國家糧食安全做出了突出貢獻(xiàn).數(shù)據(jù)“1300億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A.1.3×1012B.1.3×1010×1012×1010
4.甲、乙兩個(gè)學(xué)校統(tǒng)計(jì)男女生人數(shù)，分別繪制了扇形統(tǒng)計(jì)圖（如圖），下列說法正確的是（ ）
A.甲校的男生人數(shù)比乙校的男生人數(shù)多B.甲、乙兩個(gè)學(xué)校的人數(shù)一樣多
C.乙校的女生人數(shù)比甲校的女生人數(shù)多D.甲校的男女生人數(shù)一樣多
5.如圖，直線，∠2=31°，，則∠1的度數(shù)是（ ）
A.61°B.60°C.59°D.58°
6.下列計(jì)算正確的是（ ）
A.B.C.D.
7.鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如圖，P是AB的黃金分割點(diǎn)，若線段AB的長為4cm，則AP的長為（ ）
A.B.C.D.
8.一配電房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.已知，點(diǎn)B到EF的距離為4m，，則房頂A離地面EF的高度為（ ）
A.B.C.D
9.如圖，在中，，，，點(diǎn)H，G分別是邊DC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AH，HG，點(diǎn)E為AH的中點(diǎn)，點(diǎn)F為GH的中點(diǎn)，連接EF，則EF的最小值為（ ）
A.2B.C.1D.
10.如圖（1），點(diǎn)A，B是上兩定點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)P從圓上一定點(diǎn)B出發(fā)，沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是，線段AP的長度是.圖（2）是y隨x變化的關(guān)系圖象，則圖中m的值是（ ）
A.B.C.5D.
二、填空題（每小題3分，共15分）
11.寫出一個(gè)比7大的整數(shù)：_______.
12.魚缸里要飼養(yǎng)A，B兩種魚，經(jīng)了解，A種魚生長溫度x℃的范圍是，B種魚生長溫度x℃的范圍是，那么魚缸里的溫度x℃應(yīng)該控制在_______的范圍內(nèi).
13.小明筆袋里有兩支紅筆和兩支黑筆（4支筆的款式相同），上課做筆記時(shí)，他隨機(jī)從筆袋中抽出兩支筆，剛好是一紅一黑的概率是________.
14.如圖，AB是的直徑，CD與相切于點(diǎn)C，AB的延長線交直線CD于點(diǎn)E，連接AC，BC.若，，則BE的長度是_______.
15.在矩形ABCD中，，，E為線段CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿的方向在CB和BA上運(yùn)動(dòng)，將矩形沿EF折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在矩形的對(duì)角線上時(shí)（不與矩形頂點(diǎn)重合），點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程為_______.
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）
16.（10分）（1）計(jì)算：；（2）化簡：.
17.（9分）中小學(xué)午餐配送是鄭州教育的“暖心服務(wù)”工程.某校午餐原來由甲公司配送，為了提高飯菜質(zhì)量，新學(xué)期午餐由乙公司配送.學(xué)生會(huì)為了解用餐學(xué)生對(duì)甲、乙兩家公司配送飯菜的滿意情況，組織學(xué)生對(duì)兩家公司的飯菜質(zhì)量進(jìn)行分?jǐn)?shù)評(píng)價(jià)（滿分為10分）.學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取了10位學(xué)生的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)（單位：分）：
學(xué)生會(huì)同學(xué)在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)首先計(jì)算了各公司得分的平均數(shù)：甲公司7.8分；乙公司7.7分.
（1）為了更加全面、客觀地對(duì)甲、乙兩家公司配送飯菜的滿意情況進(jìn)行評(píng)價(jià)，你認(rèn)為還需要了解中位數(shù)、眾數(shù)、方差等中的哪些統(tǒng)計(jì)量?請(qǐng)至少選擇一個(gè)你認(rèn)為合適的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行數(shù)據(jù)分析；
（2）你認(rèn)為學(xué)生對(duì)哪家公司的飯菜質(zhì)量更加滿意?為什么?
18.（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于和兩點(diǎn)，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，連接OA.
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式的解集；
（3）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)過點(diǎn)B作軸，交于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法），若點(diǎn)P是直線BD上的一點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
19.（9分）請(qǐng)你完成命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”的證明.
（提示：證明命題應(yīng)首先依據(jù)命題畫出幾何圖形，再寫出“已知”“求證”，最后寫出證明過程.）
20.（9分）某學(xué)校計(jì)劃購買若干臺(tái)電腦，現(xiàn)從甲、乙兩家商場(chǎng)了解到同一種型號(hào)的電腦報(bào)價(jià)均為6000元/臺(tái)，并且多買都有一定的優(yōu)惠.兩家商場(chǎng)的優(yōu)惠條件如下表所示：
（1）設(shè)學(xué)校購買x臺(tái)電腦，選擇甲商場(chǎng)時(shí)，所需費(fèi)用為元，選擇乙商場(chǎng)時(shí)，所需費(fèi)用為元，請(qǐng)分別求出，與公這間的美系式.
（2）什么情況下，兩家商場(chǎng)的收費(fèi)相同?什么情況下，到甲商場(chǎng)購買更優(yōu)惠?什么情況下，到乙商場(chǎng)購買更優(yōu)惠?
（3）現(xiàn)在因?yàn)榧毙?，?jì)劃從甲、乙兩商場(chǎng)一共買入10臺(tái)電腦，已知甲商場(chǎng)的運(yùn)費(fèi)為每臺(tái)50元，乙商場(chǎng)的運(yùn)費(fèi)為每臺(tái)60元，設(shè)總運(yùn)費(fèi)為w元，從甲商場(chǎng)購買臺(tái)電腦，在甲商場(chǎng)的庫存只有4臺(tái)的情況下，怎樣購買，總運(yùn)費(fèi)最少?最少運(yùn)費(fèi)是多少?
21.（9分）如圖，是等邊三角形，將沿直線BC平移到的位置，連接BD，交AC于點(diǎn).
（1）線段BD與AC的數(shù)量關(guān)系是_______；
（2）判斷BD與AC的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若連接AD，則四邊形ABCD一定是菱形嗎?為什么?
22.（10分）“詩圣”杜甫出生在鞏縣（今鄭州鞏義市）筆架山下的窯洞里，窯洞是黃土高原、黃河中游特有的民居形式.如圖，某窯洞口的截平面下部為矩形EFGH，上部為拋物線.已知下部矩形的長為4米，寬為2米，窯洞口的最高點(diǎn)P離地面EF的距離為4米.
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，P點(diǎn)的坐標(biāo)為________；
（2）求（1）中所建坐標(biāo)系中拋物線的表達(dá)式；
（3）若在窯洞口的上部安裝一個(gè)矩形窗戶ABCD（窗戶的邊框忽略不計(jì)），使得點(diǎn)A，B在下部矩形的邊上，點(diǎn)C，D在拋物線上，且，則這個(gè)窗戶的寬BC為多少米?
23.（10分）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖（1），在5×6的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D為格點(diǎn)，AB交CD于點(diǎn)M.為了求的度數(shù)，我們可以向右平移線段AB，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接CE，則的度數(shù)為
（2）【探究遷移】如圖（2），正方形ABCD的CD邊上有一動(dòng)點(diǎn)E，以DE為邊向外作正方形連接BF，CG交于點(diǎn)M，BF與CD交于點(diǎn)P，請(qǐng)僅就圖（2）的情形解決以下問題：
①將線段CG向左平移，使得點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，此時(shí)，點(diǎn)G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在AD邊上，連接HF，求證：；
②求的度數(shù).
（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，E為CD邊的三等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的面積.
河南省鄭州市中原區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期
第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案
一、選擇題
1.答案：A 2.答案：A 3.答案：A 4.答案：D 5.答案：C 6.答案：A
7.答案：A 8.答案：B 9.答案：B 10.答案：B
二、填空題
11.答案：8（答案不唯一） 12.答案： 13.答案：
14.答案：1 15.答案：或 16.（1）5（2）略
17.（1）答案：
答案：還需要了解中位數(shù)、眾數(shù)和方差.甲公司得分的中位數(shù)是7.5分，眾數(shù)是7分和9分，方差是1.86；乙公司得分的中位數(shù)是8分，眾數(shù)是8分，方差是1.41.
（2）答案：學(xué)生對(duì)乙公司的飯菜質(zhì)量更加滿意.因?yàn)橐夜镜梅值闹形粩?shù)和眾數(shù)都比甲公司高，且方差比甲公司小，說明乙公司的飯菜質(zhì)量更穩(wěn)定，且整體評(píng)價(jià)更好.
18.（1）
（2）答案：或
（3）（0，2）（8，2）.
19.已知：中，，BF，CE分別，的角平分線.
求證：，即等腰三角形的兩底角的平分線相等
證明：∵，∴，
∵BF，CE分別是，的角平分線，∴，
∵，，
∴，
∴，即等腰三角形兩底角的平分線相等.
20.（1），即，
，即；
（2）①當(dāng)時(shí)，即，解得：，
∴當(dāng)購買電腦臺(tái)數(shù)大于5時(shí)，甲商場(chǎng)購買更優(yōu)惠；
②當(dāng)時(shí)，即，解得：，
∴當(dāng)購買電腦臺(tái)數(shù)小于5時(shí)，乙商場(chǎng)購買更優(yōu)惠；
③當(dāng)時(shí)，即，解得：，
∴當(dāng)購買電腦5臺(tái)時(shí)，兩家商場(chǎng)收費(fèi)相同.
21.（1）
（2）.
理由如下：
∵是等邊三角形，由平移而得，
∴，，
∴，∴，
∴（依據(jù)：等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)），
即.（6分）
（3）四邊形ABCD一定是菱形.
理由如下：
由平移知，，，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
又，∴是菱形（依據(jù)：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）.
22.（1）以H為原點(diǎn)，HG所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下：
∵窯洞口的最高點(diǎn)P離地面EF的距離為4米，矩形的長為4米，寬為2米，
∴P的坐標(biāo)為（2，2）；故答案為：（2，2）；
（2）根據(jù)題意，拋物線頂點(diǎn)為（2，2），且經(jīng)過點(diǎn)（0，0），
設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將（0，0）代入得：,
解得，
∴,
∴拋物線的表達(dá)式為；
（3）設(shè)，則，
∵，∴,
∵，∴，
把代入得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或或，
解得（不符合題意，舍去）或（不符合題意，舍去）或或（不符合題意，舍去），
∴，
∴（米）；
∴窗戶的寬為米.
23.（1）45°
（2分）
（2）①證明：∵，，
∴四邊形BCGH為平行四邊形，
∴，∴.
②∵，，，
∴，
∴，.
又∵，∴，∴，
∴為等腰直角三角形，
∴.
∵，∴.
（3）或.
解法提示：當(dāng)點(diǎn)E為CD邊上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)時(shí)，如圖（1），則，.
∵，∴（模型：“X”型相似模型），
∴，∴.
∵，∴，
∴，∴.
過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，易證（模型：“A”型相似模型），
∴，∴，
∴.
當(dāng)點(diǎn)E為CD邊上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，如圖（2），則，.
用同樣的方法，可得.學(xué)生A
學(xué)生B
學(xué)生C
學(xué)生D
學(xué)生E
學(xué)生F
學(xué)生G
學(xué)生H
學(xué)生I
學(xué)生J
甲公司
7
6
7
6
9
7
9
8
10
9
乙公司
6
5
8
7
8
8
8
9
8
10
商場(chǎng)
優(yōu)惠條件
甲商場(chǎng)
第一臺(tái)按原價(jià)收費(fèi)，其余的每臺(tái)優(yōu)惠25%
乙商場(chǎng)
每臺(tái)優(yōu)惠20%

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