1．本試卷共4頁，三個(gè)大題，滿分120分，考試時(shí)間100分鐘．
2．本試卷上不要答題，請按答題卡上注意事項(xiàng)的要求直接把答案填寫在答題卡上．簽在試卷上的答案無效．
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的．
1. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C D.
答案：B
A. 不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. ，所以B選項(xiàng)正確；
C. ，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D. ，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
2. 剪紙是我國民間藝術(shù)之一，如圖放置的剪紙作品，它的對稱軸與平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重合，則點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：根據(jù)圖形可得，該圖形的對稱軸為軸，
∴點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為
故選：C．
3. 小明珍藏了四枚由國家郵政局發(fā)行的《紅旗渠》特種郵票，上面分別繪有“愚公移山”“青年洞”“桃園橋”和“人間天河”的圖案．這些郵票除圖案外，質(zhì)地、規(guī)格、背面圖案完全相同．初中畢業(yè)之際，他想把心愛的郵票送給好朋友小亮一枚，于是將這些郵票背面朝上，讓小亮隨機(jī)抽取，則小亮抽到的郵票正好是“愚公移山”的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：共有4枚郵票，小亮抽到的郵票正好是“愚公移山”的概率；
故選：A．
4. 關(guān)于的方程的根的情況是（ ）
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D. 沒有實(shí)數(shù)根
答案：A
解：∵，
∴
∴關(guān)于的方程的根的情況是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：A．
5. 如圖，小程的爸爸用一段長的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)一邊靠墻（墻長）的矩形鴨舍，其面積為，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個(gè)寬的門（由其他材料制成），則的長為（ ）
A. 或B. 或C. D.
答案：C
解：設(shè)矩形場地垂直于墻一邊長為，
則平行于墻的一邊的長為，
由題意得，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，平行于墻的一邊的長為；
當(dāng)時(shí)，平行于墻的一邊的長為，不符合題意；
∴該矩形場地長為米，
故選：C．
6. 等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長為（ ）
A. 19或14B. 14或16C. 19D. 14
答案：C
解：由方程得，，，
∵，不能構(gòu)成三角形，
∴等腰三角形的底邊長為，腰長為，
∴這個(gè)三角形的周長為，
故選：C．
7. 如圖，在中，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：∵點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，
∴，，故正確；
∵，
∴，故正確；
∵，
∴，
∴，故錯(cuò)誤；
故選：．
8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，位似中心為點(diǎn)．若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：∵與是位似圖形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，
∴與的位似比為，
∴點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，
故選：A．
9. 如圖中，，，垂足為D，平分，分別交，于點(diǎn)F，E．若，則為（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：∵，
設(shè)，，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴點(diǎn)F到、的距離相等，又點(diǎn)A到、的距離相等，
∴，即，
故選：A．
10. 第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（，，，）和一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若，則（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：根據(jù)題意，設(shè)，則，
∵，四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴
∴，
故選：C．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11. 若二次根式有意義，則x的取值范圍是___．
答案：
解：根據(jù)題意，使二次根式有意義，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案為：x≥2．
12. 重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從、、三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)的概率為_____．
答案：
解：畫樹狀圖如下：
由圖可知，共有種等可能的情況，其中甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)的情況有種，
∴甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn)的概率為，
故答案為：．
13. 某超市銷售某種禮盒，該禮盒的原價(jià)為元．因銷量持續(xù)攀升，商家在月份提價(jià)，后發(fā)現(xiàn)銷量銳減，于是經(jīng)過核算決定在月份售價(jià)的基礎(chǔ)上，，月份按照相同的降價(jià)率連續(xù)降價(jià)．已知月份禮盒的售價(jià)為元，則__________．
答案：
解：根據(jù)題意得，
解得，（不合理舍去）．
所以4，5月份兩個(gè)月平均降價(jià)率為．即．
故答案為：．
14. 黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù)．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組用無人機(jī)測量黃鶴樓的高度，具體過程如下：如圖，將無人機(jī)垂直上升至距水平地面的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為，底端B的俯角為，則測得黃鶴樓的高度是__________m．（參考數(shù)據(jù)：）
答案：51
解：延長交距水平地面的水平線于點(diǎn)D，如圖，
由題可知，，
設(shè)，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案為：51．
15. 如圖，菱形的邊長為，，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)分別交，于點(diǎn)，，則的長為__________．

答案：
解：菱形的邊長為，，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分75分）
16. （1）計(jì)算：
（2）解方程：
答案：（1）；（2）
解：（1）
；
（2），
∴，
∴或，
解得：．
17. 一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)著漢字“魅”“力”“平”“涼”的四個(gè)小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸前先攪拌均勻．
（1）若從中任取一個(gè)球，球上的漢字剛好是“魅”的概率為______；
（2）先從中任取一個(gè)球，不放回，再從中任取一個(gè)球，請用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“平?jīng)觥钡母怕剩?br>答案：（1）
（2）摸出的兩個(gè)球上的漢字能組成“平?jīng)觥钡母怕蕿椋?br>【小問1詳解】
解：從中任取一個(gè)球，球上的漢字剛好是“魅”的概率為；
【小問2詳解】
解：列表如下：
由列表可以看出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種
其中取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“平?jīng)觥钡慕Y(jié)果有2種，即（涼，平）；（平，涼），
摸出的兩個(gè)球上的漢字能組成“平?jīng)觥钡母怕蕿椋?br>18. 已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：無論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求的值．
魅
力
平
涼
魅
（力，魅）
（平，魅）
（涼，魅）
力
（魅，力）
（平，力）
（涼，力）
平
（魅，平）
（力，平）
（涼，平）
涼
（魅，涼）
（力，涼）
（平，涼）
答案：（1）證明見解析；
（2）或．
【小問1詳解】
證明：，
∵無論取何值，，恒成立，
∴無論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【小問2詳解】
解：∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
∴，
解得：或．
19. 已知：如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，．求證：
（1）；
（2）
答案：（1）見詳解 （2）見詳解
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，
∴；
【小問2詳解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
20. 2024“夏爽中原老家河南”全省戶外運(yùn)動(dòng)旅游產(chǎn)品宣傳推廣活動(dòng)在新鄉(xiāng)八里溝景區(qū)啟動(dòng)，現(xiàn)場發(fā)布了徒步、蹦極、露營、戲水等河南省戶外運(yùn)動(dòng)產(chǎn)品主題旅游線路．某青年旅社有60間客房供游客居住，在旅游旺季，當(dāng)客房的定價(jià)為每天200元時(shí)，所有客房都可以任滿．客房定價(jià)每提高10元，就會(huì)有1間客房空閑，
對有游客入住的客房，旅社還需要對每個(gè)房間支出每天20元的維護(hù)費(fèi)用，設(shè)每間客房的定價(jià)提高了元．
（1）填表（不需化簡）：
（2）若該青年旅社希望每天純收入為14000元且能吸引更多的游客，則每間客房的定價(jià)應(yīng)為多少元？（純收入=總收入-維護(hù)費(fèi)用）
答案：（1）；；
（2）每間客房的定價(jià)應(yīng)為元
【小問1詳解】
解：增加元，就有一個(gè)房間空閑，增加元就有兩個(gè)房間空閑，以此類推，空閑的房間為，
入住的房間數(shù)量，房間價(jià)格是元，總維護(hù)費(fèi)用是．
故答案是：；；；
【小問2詳解】
解：依題意得：，
整理，得，
解得，．
入住的房間數(shù)量
房間價(jià)格
總維護(hù)費(fèi)用
提價(jià)前
60
200
提價(jià)后
__________
__________
__________
當(dāng)時(shí)，有游客居住的客房數(shù)量是：（間）．
當(dāng)時(shí)，有游客居住的客房數(shù)量是：（間）．
所以當(dāng)時(shí)，能吸引更多的游客，則每個(gè)房間的定價(jià)為（元）．
答：每間客房的定價(jià)應(yīng)為元．
21. 中國的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點(diǎn)P恰好看到一顆星星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離，仰角為；淇淇向前走了后到達(dá)點(diǎn)D，透過點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面的距離，點(diǎn)P到的距離，的延長線交于點(diǎn)E．（注：圖中所有點(diǎn)均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的長及的值．
答案：（1），
（2），
【小問1詳解】
解：由題意可得：，，，
，，
∴，，，
∴，
∴，；
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，
如圖，過作于，
∵，設(shè)，則，
∴，
解得：，
∴，
∴．
22. 2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實(shí)踐小組制作了一個(gè)“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗(yàn)中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從點(diǎn)垂直下降到點(diǎn)，再垂直下降到著陸點(diǎn)，從點(diǎn)測得地面點(diǎn)的俯角為，米，米．
（1）求的長；
（2）若模擬裝置從點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到點(diǎn)，求模擬裝置從點(diǎn)下降到點(diǎn)的時(shí)間．（參考數(shù)據(jù)：，，）
答案：（1）的長約為8米；
（2）模擬裝置從點(diǎn)下降到點(diǎn)的時(shí)間為秒．
【小問1詳解】
解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
由題意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的長約為8米；
【小問2詳解】
解：米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模擬裝置從點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到點(diǎn)，
模擬裝置從點(diǎn)下降到點(diǎn)的時(shí)間為秒，
即模擬裝置從點(diǎn)下降到點(diǎn)的時(shí)間為秒．
23. 為測量水平操場上旗桿的高度，九（2）班各學(xué)習(xí)小組運(yùn)用了多種測量方法．

（1）如圖1，小張?jiān)跍y量時(shí)發(fā)現(xiàn)，自己在操場上的影長恰好等于自己的身高．此時(shí)，小組同學(xué)測得旗桿的影長為，據(jù)此可得旗桿高度為________m；
（2）如圖2，小李站在操場上E點(diǎn)處，前面水平放置鏡面C，并通過鏡面觀測到旗桿頂部A．小組同學(xué)測得小李的眼睛距地面高度，小李到鏡面距離，鏡面到旗桿的距離．求旗桿高度；
（3）小王所在小組采用圖3的方法測量，結(jié)果誤差較大．在更新測量工具，優(yōu)化測量方法后，測量精度明顯提高，研學(xué)旅行時(shí)，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度．方法如下：

如圖4，在透明的塑料軟管內(nèi)注入適量的水，利用連通器原理，保持管內(nèi)水面M，N兩點(diǎn)始終處于同一水平線上．
如圖5，在支架上端P處，用細(xì)線系小重物Q，標(biāo)高線始終垂直于水平地面．
如圖6，在江姐故里廣場上E點(diǎn)處，同學(xué)們用注水管確定與雕塑底部B處于同一水平線D，G兩點(diǎn)，并標(biāo)記觀測視線與標(biāo)高線交點(diǎn)C，測得標(biāo)高，．將觀測點(diǎn)D后移到處，采用同樣方法，測得，．求雕塑高度（結(jié)果精確到）．
答案：（1）
（2）旗桿高度為；
（3）雕塑高度為．
【小問1詳解】
解：由題意得，由題意得：，
∴，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：如圖，由題意得，，
根據(jù)鏡面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗桿高度為；
【小問3詳解】
解：設(shè)，
由題意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合他
∴，
答：雕塑高度為．

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