2024-2025學年湖南省婁底市新化縣高二上學期期末考試數(shù)學試卷（含答案）

這是一份2024-2025學年湖南省婁底市新化縣高二上學期期末考試數(shù)學試卷（含答案），共9頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.經(jīng)過A(?1,2)，B(0,3)兩點的直線的傾斜角為( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
2.已知等差數(shù)列an中，a4=4，則a2+a3+a7的值是( )
A. 6B. 9C. 12D. 15
3.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F分別為棱AA1,BB1的中點，則異面直線BE與D1F所成角的正切值為( )
A. 52B. 2 55C. 5D. 55
4. 已知點P(x,y)的坐標滿足 x?12+y2? (x+1)2+y2=± 2，則動點P的軌跡是( )
A. 橢圓B. 雙曲線C. 兩條射線D. 雙曲線的一支
5.已知在四面體O?ABC中，a=OA，b=OB，c=OC，OM=13MA，N為BC的中點，若MN=xa+yb+zc.則x+y+z=( )
A. 13B. 34C. 12D. 3
6.設函數(shù)fx滿足limΔx→0fx0?2Δx?fx0Δx=2，則f′x0=( )
A. ?2B. ?1C. 1D. 2
7.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，拋物線C上的兩點P，Q均在第一象限，且|PQ|=2，|PF|=3，|QF|=4，則直線PQ的斜率為( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
8.若數(shù)列an滿足a2=2，且?m,n∈N?，am+n=aman，則a2+a4+a6+???+a2024=( )
A. 21013?2B. 22023?1C. 21012?2D. 21012?1
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知等差數(shù)列an的公差和首項都不等于0，且a3，a5，a8成等比數(shù)列，則下列說法正確的是( )
A. a2+a6+a10a3+a4=73B. a2+a6+a10a3+a4=37
C. d=2a1D. a1=2d
10.已知雙曲線C:x24?y2b2=1(b>0)的右焦點為F，直線l:x+by=0是C的一條漸近線，P是l上一點，則( )
A. C的虛軸長為2 2B. C的離心率為 62
C. PF的最小值為2D. 直線PF的斜率不等于? 22
11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G分別為A1B1，B1C1，B1B的中點，若點P在線段EF上運動，則下列結(jié)論正確的為( )
A. AC1與EF為共面直線
B. 平面ACD1//平面EFG
C. 三棱錐P?AD1C的體積為定值
D. AC1與平面A1BC所成角的正切值為 2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a6+a7=1，S5=55，則公差為 ．
13.已知長方體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AB=4，AA1=3，E為棱C1D1的中點，則AB?AE= ．
14.已知F是橢圓C的右焦點，O為坐標原點，P是C上的一點，若PF=2OF，且∠OFP=120 °，則C的離心率為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知三點O0,0,A?1,?1,B2,0，記?AOB的外接圓為⊙C．
(1)求⊙C的方程；
(2)若直線l:x?y?1=0與⊙C交于M,N兩點，求?CMN的面積．
16.(本小題15分)
已知函數(shù)fx=2xlnx+2f′1x．
(1)求f′1的值；
(2)求fx在點e2,fe2處的切線方程．
17.(本小題15分)
記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a1=?12,2Sn+n2=2nan+n
(1)求數(shù)列an的通項an；
(2)求Sn最小值及取最小值時n的值．
(3)求數(shù)列an+132n的前n項和Tn．
18.(本小題17分)
如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點M,N分別是邊BC，CD的中點，AC∩BD=O1,AC∩MN=G.沿MN將?CMN翻折到?PMN的位置，連接PA,PB,PD，得到如圖2所示的五棱錐P?ABMND．
(1)在翻折過程中是否總有平面PBD⊥平面PAG？證明你的結(jié)論；
(2)當四棱錐P?MNDB體積最大時，求點B到面PDG的距離；
(3)在(2)的條件下，在線段PA上是否存在一點Q，使得平面QDN與平面PMN所成角的余弦值為 2929？若存在，試確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．
19.(本小題17分)
已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，且過點P(1,32)，設M．F分別是橢圓E的左、右焦點．
(1)是橢圓E的標準方程；
(2)若橢圓E上至少有個不同11的點Pi(i=1,23,…)，使得FP1，F(xiàn)P2，F(xiàn)P3，…組成公差為d的等差數(shù)列，求公差d的取值范圍
(3)若過右焦點F的直線交橢圓E于A，B兩點，過左焦點M的直線交橢圓E于C，D兩點，且AB⊥CD，求AB+CD的最小值．
參考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.B
6.B
7.C
8.A
9.AD
10.ABD
11.BCD
12.?3
13.8
14. 3?12
15.解：(1)設⊙C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由題意可得F=04+2D+F=01+1?D?E+F=0，解得D=?2E=4F=0,
所以⊙C的方程為x2+y2?2x+4y=0，
化為標準方程可得x?12+y+22=5．
(2)由(1)可得圓心C1,?2，半徑r= 5，
所以圓心C到直線l:x?y?1=0的距離為d=1+2?1 2= 2，
且MN=2 r2?d2=2 52? 22=2 3，
因此?CMN的面積為S=12MN?d=12×2 3× 2= 6．

16.解：(1)因為fx=2xlnx+2f′1x，
所以f′(x)=2lnx+2+2f′(1)，
代入x=1得：f′1=2ln1+2+2f′1=2+2f′1，所以f′1=?2．
(2)由(1)可得fx=2xlnx?4x，則f′(x)=2lnx?2
所以fe2=2e2lne2?4e2=0，f′e2=2lne2?2=2，
所以切線方程為y?0=2(x?e2)，即2x?y?2e2=0．

17.解：(1)由題意知2Sn+n2=2nan+n①，
當n≥2時，2Sn?1+(n?1)2=2(n?1)an?1+n?1②，
①?②：2an+2n?1=2nan?2(n?1)an?1+1化簡得2(n?1)an?2(n?1)an?1=2(n?1)，
即an?an?1=1，
所以數(shù)列an為以?12為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以數(shù)列an的通項an=?12+(n?1)×1=n?13．
(2)Sn=(a1+an)n2=(?12+n?13)n2=12n2?252n=12x?2522?6258，
所以當n=12或n=13時，Snmin=?78．
(3)記bn=an+132n，則bn=n2n，
所以Tn=121+222+323+?+n2n①，
①×12：12Tn=122+223+324+?n?12n+n2n+1②，
①?②:12Tn=121+122+123+?+12n?n2n+1
12Tn=121?12n1?12?n2n+1
化簡得：Tn=2?n+22n

18.解：(1)折疊前，因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
由于M,N分別是邊BC，CD的中點，所以MN//BD，
所以MN⊥AC，
折疊過程中，MN⊥GP,MN⊥GA,GP∩GA=G,GP,GA?平面PAG，
所以MN⊥平面PAG，
所以BD⊥平面PAG，
由于BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAG．
(2)當平面PMN⊥平面MNDB時，四棱錐P?MNDB體積最大，
由于平面PMN∩平面MNDB=MN，GP?平面PMN，GP⊥MN，
所以GP⊥平面MNDB，由于AG?平面MNDB，所以GP⊥AG，
由此以G為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，
依題意可知P0,0, 3,D 3,?2,0,B 3,2,0,N0,?1,0,PB= 3,2,? 3，
設平面PDG的法向量為m=x1,y1,z1，
則m?GP= 3z1=0m?GD= 3x1?2y1=0，故可設m=2, 3,0，
所以P到平面PDG的距離為m?PBm=4 3 7=4 217．
(3)存在，理由如下：
A3 3,0,0，PA=3 3,0,? 3，
設PQ=λPA0≤λ≤1，則GQ=GP+PQ=GP+λPA=0,0, 3+3 3λ,0,? 3λ=3 3λ,0, 3? 3λ，
平面PMN的法向量為n1=1,0,0，
DQ=3 3λ? 3,2, 3? 3λ,DN=? 3,1,0，
設平面QDN的法向量為n2=x2,y2,z2，
則n2?DQ=3 3λ? 3x2+2y2+ 3? 3λz2=0n2?DN=? 3x2+y2=0,
故可設n2=λ?1, 3λ? 3,3λ+1，
設平面QDN與平面PMN所成角為θ，
由于平面QDN與平面PMN所成角的余弦值為 2929，
所以csθ=n1?n2n1?n2=λ?1 λ?12+ 3λ? 32+3λ+12= 2929，
解得λ=12或λ=3(舍去)，
所以當Q是PA的中點時，平面QDN與平面PMN所成角的余弦值為 2929．

19.解：(1)由題意ca=121a2+94b2=1a2=b2+c2，由a>b>0，故解得a=2b= 3c=1,
∴橢圓標準方程是x24+y23=1；
(2)設P是橢圓上的點，則FPmin=a?c=2?1=1，F(xiàn)Pmax=2+1=3，
∵等差數(shù)列FP1，F(xiàn)P2，F(xiàn)P3，…至少有11項，
若d>0，則1+10d≤3，解得0