考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由絕對值不等式解出集合，再由交集的運(yùn)算可得.
【詳解】由，
所以.
故選：C
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的周長為（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)是半徑為2的圓，進(jìn)而求出其周長.
【詳解】設(shè)，
由，則，
則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形為以為圓心，為半徑的圓，
故復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的周長為.
故選：D.
3. 已知平行四邊形的對角線的交點(diǎn)為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量線性運(yùn)算計算得解.
【詳解】在中，.
故選：C
4. 甲、乙兩人玩迷宮游戲，已知迷宮的入口編號為1，出口編號分別為2，3，4，5，6，7，兩人從入口進(jìn)入后，他們離開的出口編號之和為8的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【詳解】甲、乙兩人分別從6個出口中選擇1個出口有6種不同的選法，
故共有種不同的基本事件，
又他們離開的出口編號之和為8的包含的基本事件有共5個，
所以他們離開的出口編號之和為8的概率為.
故選：B.
5. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的右支交于，兩點(diǎn)，且，若的周長為20，則的實(shí)軸長為（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合已知的線段比例關(guān)系以及的周長，求出的值，進(jìn)而得到雙曲線的實(shí)軸長.
【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以?
根據(jù)雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于定值（）的點(diǎn)的軌跡為雙曲線.
對于點(diǎn)在雙曲線右支上，有，即，可得 ①.
對于點(diǎn)在雙曲線右支上，有，則 .
已知的周長為，的周長，而.
所以，即 ②.
將①代入②中，得到，即，解得.
根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，雙曲線的實(shí)軸長為.
把代入，可得實(shí)軸長為.
故選：C
6. 如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
又點(diǎn)為的重心，所以，
則，，
則，
則，
所以點(diǎn)到直線的距離為.
故選：B
7. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，，則（ ）
A. 3B. 6C. 1015D. 2030
【答案】A
【解析】
【分析】變形得到，故為等差數(shù)列，設(shè)公差為，證明出為等差數(shù)列，根據(jù)，得到，從而求出，，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)得到.
【詳解】由，變形得到
，即，
故為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，
故①，則②，
式子②-①得，則，，
所以為等差數(shù)列，則，
，即，解得，
所以，
則，，又，
故.
故選：A
8. 已知函數(shù)在時滿足恒成立，且在區(qū)間內(nèi)，僅存在三個數(shù)，，，使得，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，根據(jù)恒成立，得到，不妨取，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合，利用對稱性得到，求出答案.
【詳解】時，，
令，則當(dāng)時，，
故要想在時滿足恒成立，
需滿足，不妨取，
，，
畫出在上的圖象，如下：
由圖象可知，，，
則，
故，
兩式相加得，
所以.
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 定義：已知函數(shù)在其定義域上的最大值為，最小值為，若，則稱是“間距函數(shù)”，則下列函數(shù)是“間距函數(shù)”的有（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，利用的性質(zhì)，求出最大值和最小值，即可求解；對于B，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，求出最大值和最小值，即可求解；對于C，令，，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值和最小值，即可求解；對于D，令，則，求出在區(qū)間上最值，即可求解.
【詳解】對于選項(xiàng)A，易知的最大值為，最小值為，則，所以選項(xiàng)A錯誤，
對于選項(xiàng)B，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
所以的最大值為，最小值為，則，所以選項(xiàng)B正確，
對于選項(xiàng)C，，令，，
當(dāng)時，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最大值為，最小值為，
則，所以選項(xiàng)C正確，
對于選項(xiàng)D，令，因?yàn)椋瑒t，且，
易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為，
則，所以選項(xiàng)D正確，
故選：BCD.
10. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，圓，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則的面積為2
B. 若，則直線被圓截得的弦長為
C. 若為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)有2個
D. 若為與軸正半軸的交點(diǎn)，為圓的直徑（在第一象限），的中點(diǎn)為，（表示斜率），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
【答案】ABD
【解析】
【分析】設(shè)P記 則 ，利用，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積，判斷A；應(yīng)用圓的弦長幾何法求解判斷B；分情況討論，找出使為等腰三角形的所有點(diǎn)可判斷C；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)再結(jié)合斜率公式計算求解得出坐標(biāo)判斷 D.
【詳解】對于A，，設(shè)點(diǎn)P,記 則
因?yàn)?, 所以
解得 , 所以 的面積為
，故A正確；
對于B，若，則，
所以，所以直線為，所以，
又因?yàn)?，圓心到直線距離，
所以直線被圓截得的弦長為，故B正確；
對于C，由橢圓的性質(zhì)可知，即.
若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，點(diǎn)位于橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)有2個；
若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，則，則滿足條件的點(diǎn)有2個；
同理，若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)有2個；
故使得為等腰三角形的點(diǎn)共6個，故C錯誤；
對于D：設(shè)，，因?yàn)椋?br>所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
11. 已知直三棱柱的底面為等腰直角三角形，，則下列說法正確的是（ ）
A. 三棱柱的體積為4
B. 以為球心，體積為的球面與側(cè)面的交線的長度為
C. 若，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上，則的最小值為
D. 若空間中的一點(diǎn)滿足，則的最小值為
【答案】AD
【解析】
【分析】利用體積公式求得體積可判斷A；先求得球的半徑，進(jìn)而可求得點(diǎn)的軌跡形狀，可求軌跡長判斷B；取關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，連接交于線段的中點(diǎn)，可分別求得與的最小值，進(jìn)而可判斷C；由，可確定點(diǎn)在空間中的軌跡，進(jìn)而可求得的最小值.
【詳解】對于A，由直三棱柱的底面為等腰直角三角形，，
所以，所以，故A正確；
對于B，設(shè)體積為的球的半徑為，所以，解得，
取中點(diǎn)，由，所以，，
由直三棱柱的性質(zhì)可得平面，
設(shè)為球面與側(cè)面的交線上的任一點(diǎn)，所以，
所以，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
又點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，故體積為的球面與側(cè)面的交線的長度為，故B錯誤；
對于C，取關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，連接交于線段的中點(diǎn)，
又點(diǎn)在平面上，故點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時，
的最小值為，
此時的最小值為，
所以的最小值為，故C錯誤；
對于D，點(diǎn)滿足，
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面，且，
所以，
又，所以在橢圓的短軸所在直線上，又，
所以到橢圓的中心的距離為，
所以的最小值為，故D正確.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，關(guān)鍵在于確定點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面，以及在橢圓的短軸上，從而可求得最小值.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且，則公比為______________.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)數(shù)列公比為q，然后由等比數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合題意可得答案.
【詳解】設(shè)數(shù)列公比為q，因，則.
又，則.
故答案為：
13. 某學(xué)校統(tǒng)計了所有在職教師（只有一級教師和高級教師）的工資情況，其中一級教師80人，平均工資為4.5千元，方差為0.04，高級教師20人，平均工資為6.5千元，方差為0.44，則該校所有在職教師工資的方差為______________.
【答案】0.76##
【解析】
【分析】利用分層抽樣的平均數(shù)和方差公式即可.
【詳解】設(shè)一級教師的平均工資和方差為、，高級教師的平均工資和方差為、，因一級教師的占比，高級教師的占比，
則全校教師的平均工資為(千元)，
則教師工資的方差為
.
故答案為：0.76
14. 已知函數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)____________，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為____________.
【答案】 ①. ； ②.
【解析】
【分析】令即可代入求解,求導(dǎo)，即可代入化簡，根據(jù)一元二次不等式的求解得空2.
【詳解】由可得令，則，
故，解得，
由可得，
故得，
化簡可得，解得或，
故答案為：，
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知在中，角，，所對的邊分別為，，，且.
（1）求；
（2）若，點(diǎn)到直線的距離為，求的周長.
【答案】（1）
（2）14.
【解析】
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式求解.
（2）利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理及三角形面積公式列式求解.
【小問1詳解】
在中，，，
則，而，，
解得，則，所以.
【小問2詳解】
由正弦定理得，不妨設(shè)，則，
由余弦定理得，解得，
由，得，解得，
所以，即的周長為14.
16. 如圖，已知正方體的棱長為2，是棱上靠近的四等分點(diǎn).
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等體積法即可求得結(jié)果.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，利用向量之間夾角公式即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
由正方體的性質(zhì)可知平面，故是三棱錐的高，
所以四面體的體積為，
由題意知，，，
所以，又，
故點(diǎn)到平面的距離；
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，故，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，故，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則.
17. 隨著網(wǎng)絡(luò)App的普及與發(fā)展，刷“抖音”成為了人們?nèi)粘Ｉ畹囊徊糠?某地區(qū)隨機(jī)抽取了部分20～40歲的“抖音”用戶，調(diào)查他們?nèi)站ⅰ岸兑簟钡臅r間情況，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：
（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為日均刷“抖音”時間的長短與性別有關(guān)？
（2）現(xiàn)從被調(diào)查日均刷“抖音”時間超過2小時的用戶中，按照性別比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取3名用戶參加抖音知識問答，已知男性用戶、女性用戶順利完成知識問答的概率分別為，，每個人是否順利完成知識問答相互獨(dú)立，求在有且僅有2人順利完成知識問答的條件下，這2人性別不同的概率.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
【答案】（1）無關(guān)； （2）.
【解析】
【分析】（1）由題意可得列聯(lián)表，再計算，對比臨界值表即可得解；
（2）根據(jù)題意，求出有且僅有2人順利完成知識問答的概率和這2人性別不同的概率，再根據(jù)條件概率公式求解即可.
【小問1詳解】
由題意，列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為：日均刷“抖音”時間的長短與性別無關(guān)，
則，
故依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷零假設(shè)成立，
即日均刷“抖音”時間的長短與性別無關(guān).
【小問2詳解】
由分層隨機(jī)抽樣可知，抽取男性用戶2人，女性用戶1人.
記“有且僅有2人順利完成知識問答”為事件，“2人性別不同”為事件，則，
，
故.
18. 已知函數(shù).
（1）求的極值；
（2）若當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，證明：.
【答案】（1）極大值為，無極小值
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，再利用極值的定義，即可求解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)條件得當(dāng)時，恒成立，對分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出在區(qū)間上的最小值，即可求解；
（3）利用（1）和（2）中結(jié)果，在同一直角坐標(biāo)系中作出，，結(jié)合條件，數(shù)形結(jié)合，即可求解.
【小問1詳解】
由題可知，令，得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得極大值，沒有極小值.
【小問2詳解】
設(shè)，根據(jù)題意，當(dāng)時，恒成立.
又，
若，則，令，得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意，
若，令，得或.
若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)時，，不符合題意，
若，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，不符合題意 ，
若，則，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋栽谏铣闪ⅲ?br>要使在上也成立，只需，即，得，
故的取值范圍是.
【小問3詳解】
由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，.
又由（2）知當(dāng)時，，故可作出，在上的大致圖象如下，
除了點(diǎn)，的圖象都在的圖象的下方，
當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，，
直線與曲線有兩個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為和，
由圖可知
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題的關(guān)鍵在第（3），根據(jù)（1）和（2）中結(jié)果，在同一坐標(biāo)系中作出，的圖象，將問題轉(zhuǎn)化用圖形直觀反映.
19. 設(shè)，是拋物線上除頂點(diǎn)以外的兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作的切線，兩條切線相交于點(diǎn).
（1）若且，求直線的方程；
（2）設(shè)，分別為直線，與軸的交點(diǎn)，證明：的外接圓過定點(diǎn)；
（3）若的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在的準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)，，證明：點(diǎn)是的外心.附：拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）作圖，由對稱性得到兩條切線斜率，然后由導(dǎo)數(shù)求得切點(diǎn)即坐標(biāo)，然后得到直線的方程；
（2）設(shè)直線方程和點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)得出直線方程，然后得到點(diǎn)坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)坐標(biāo).聯(lián)立直線方程和拋物線方程，得到一元二次方程，由韋達(dá)定理得到坐標(biāo)的參數(shù)的關(guān)系.聯(lián)立直線的方程求得點(diǎn)坐標(biāo).由三點(diǎn)坐標(biāo)求得三角形外接圓圓心和半徑，從而得到三角形外接圓的方程，然后得到定點(diǎn)；
（3）作圖，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)得到角相等，再由拋物線的性質(zhì)得到三角形全等，從而證明點(diǎn)到三個點(diǎn)距離相等，從而得證.
【小問1詳解】
根據(jù)對稱性可知在，兩點(diǎn)處的切線斜率為
由得，從而，
令，得，所以，
所以直線的方程為.
【小問2詳解】
由題意可設(shè)直線，點(diǎn)，.
因?yàn)椋灾本€，即，
令，得，所以.
同理，直線，令，得，所以
聯(lián)立直線與的方程，得，消去整理得，
則，.
由解得所以
因?yàn)椋?，故的外接圓圓心落在直線上，
由，知線段的中點(diǎn)為，，
所以線段的垂直平分線方程為，
令，得，即圓心的坐標(biāo)為.
設(shè)的外接圓半徑為，
則，
所以圓的方程為，
即.
令得所以的外接圓過定點(diǎn).
【小問3詳解】
如圖所示，將和視為從焦點(diǎn)射出的光線，直線和分別為，對應(yīng)的反射光線，則與恰好是反射光線的反向延長線.
由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得，
而，，故，
故，
同理可得，即，即點(diǎn)是的外心.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，本題考查了拋物線的綜合運(yùn)用.本題中的拋物線是函數(shù)關(guān)系，所以可以利用導(dǎo)數(shù)和切點(diǎn)坐標(biāo)來求拋物線的切線方程，從而得到三個點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用直線與拋物線方程得到這三個點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，從而找到三個點(diǎn)外接圓的方程，即可求得圓的定點(diǎn).
性別
日均刷“抖音”時間超過2小時
日均刷“抖音”時間不超過2小時
男性
48
72
女性
24
56
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性別
日均刷“抖音”時間超過2小時
日均刷“抖音”時間不超過2小時
合計
男性
48
72
120
女性
24
56
80
合計
72
128
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河南省安陽市2025屆高三高考模擬第一次模擬考試-數(shù)學(xué)試題+答案：

這是一份河南省安陽市2025屆高三高考模擬第一次模擬考試-數(shù)學(xué)試題+答案，共12頁。

河南省安陽市2025屆高三上學(xué)期高考第一次模擬考試（安陽一模）數(shù)學(xué)試題：

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