一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．直線：的一個(gè)方向向量為（ ）
A．B．C．D．
4．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其訓(xùn)練算力需求為1000PetaFLOPS（千億億次浮點(diǎn)運(yùn)算/秒）．根據(jù)技術(shù)規(guī)劃，DeepSeek的算力每年增長．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并計(jì)劃繼續(xù)保持這一增長率．問：DeepSeek的算力預(yù)計(jì)在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，，）
A．年B．年
C．年D．年
5．在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．18B．33
C．36D．40
6．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，．將分別繞直角邊，直角邊和斜邊旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次為，，，則（ ）
A．B．
C．D．
8．若函數(shù)有零點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1B．
C．D．2
二、多選題
9．某校研究學(xué)生每周自習(xí)時(shí)間（小時(shí)）與數(shù)學(xué)成績（分）的關(guān)系，計(jì)算得相關(guān)系數(shù)，并建立線性回歸模型，得到?jīng)Q定系數(shù)．對(duì)殘差進(jìn)行分析時(shí)，發(fā)現(xiàn)殘差與預(yù)測值的散點(diǎn)圖（是以預(yù)測值為橫軸，殘差為縱軸）呈現(xiàn)明顯的先負(fù)后正的分布趨勢，則（ ）
A．，說明該模型的擬合效果較差
B．殘差平方和等于0.64
C．相關(guān)系數(shù)為負(fù)，說明自習(xí)時(shí)間與成績無關(guān)
D．殘差圖顯示模型可能不符合線性假設(shè)，建議改用非線性模型
10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線與交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．若，則直線的斜率等于
B．若，則
C．設(shè)的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則
D．是鈍角
11．在中，，，則（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量為
三、填空題
12．已知復(fù)數(shù)滿足，則 ．
13．2025的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為 ．
14．在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．則 旋轉(zhuǎn)函數(shù)（填：“是”或者“不是”）；若是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則的取值范圍是 ．
四、解答題
15．如圖所示，三棱柱中，，，點(diǎn)在線段上，四邊形是正方形，平面平面．
(1)當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，證明平面；
(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．
16．已知數(shù)列中，，．
(1)求，的值；
(2)設(shè)，證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
(3)證明：．
17．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為、．
(1)求的方程．
(2)設(shè)過的直線與交于、兩點(diǎn)，且．
（i）求直線的斜率；
（ii）設(shè)為上異于、的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．
18．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(3)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
19．某在線教育平臺(tái)現(xiàn)有兩種數(shù)學(xué)課程和，其課程完成率與用戶占比如下表所示．為測試新課程的效果，平臺(tái)將其開放給名學(xué)生學(xué)習(xí)，設(shè)課程的完成率為，且每位學(xué)生是否完成課程相互獨(dú)立．
(1)記學(xué)習(xí)新課程的這名學(xué)生中恰有人完成課程的概率為，求的最大值點(diǎn);
(2)以（1）中確定的作為的值．當(dāng)新課程的用戶占比達(dá)到多少時(shí)，能保證從完成課程的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其使用課程的概率為？（課程、用戶減少的占比，均為課程增加占比的一半）
(3)根據(jù)市場調(diào)研，課程的用戶占比的概率分布為：時(shí)概率，時(shí)概率，時(shí)概率．某在線教育平臺(tái)計(jì)劃增加新課程，但新課程的智能輔導(dǎo)系統(tǒng)配置套數(shù)受用戶占比的影響，關(guān)系如下表：
每套系統(tǒng)運(yùn)行年收益萬元，未運(yùn)行的系統(tǒng)每年需維護(hù)費(fèi)萬元．為使總收益期望最大，應(yīng)配置幾套系統(tǒng)？
課程類型
（舊課）
（舊課）
（新課）
完成率
用戶占比
待調(diào)整
用戶占比
最多配置數(shù)
《貴州省部分校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題》參考答案
1．B
【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解集合，再確定集合的范圍，最后根據(jù)交集的定義求出.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，，，，，，且，所以集合.
集合，由于指數(shù)函數(shù)的值域是，所以集合.
那么.
故選：B.
2．C
【分析】求出、的值，即可求得雙曲線的漸近線方程.
【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.
故選：C.
3．A
【解析】由直線的斜率得出直線的一個(gè)方向向量.
【詳解】直線的斜率為
設(shè)直線的方向向量為，則，只有A項(xiàng)滿足
故選：A
4．C
【分析】利用歸納可知，從年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS，
到年，其算力提升至PetaFLOPS，
到年，其算力提升至PetaFLOPS，，
以此類推可知，從年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，
由，可得，
所以，，
所以，DeepSeek的算力預(yù)計(jì)在年首次突破PetaFLOPS，
故選：C.
5．B
【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，列出方程，進(jìn)而求得的值，得到答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
因?yàn)?，可得?br>所以，解得.
故選：B.
6．C
【分析】先求在上的單增區(qū)間，結(jié)合題意，可得關(guān)于與的不等式組，分，，三種情況得出的取值范圍.
【詳解】令，則，
因在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
即且且，
若，則不等式組的解集為空集；
若，則；
若，則不等式組的解集為空集，
則的最大值為.
故選：C
7．D
【分析】設(shè)，，，則，分別求得、、的值，可得結(jié)論.
【詳解】設(shè)，，，則，
以邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，
所形成的幾何體為圓錐，此圓錐的底面半徑為，高為，則，
以邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，
所形成的幾何體為圓錐，此圓錐的底面半徑為，高為，則，
以邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，
所形成的幾何體為兩個(gè)圓錐拼接而成的組合體，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為，
由等面積法可得，即圓錐的底面圓的半徑為，
所以，，
所以，，
所以，，
故選：D.
8．B
【分析】令，則，由，即，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在有實(shí)數(shù)根，令，得到在上有零點(diǎn)，則滿足或，再由可看出坐標(biāo)原點(diǎn)到平面區(qū)域的最短距離的平方，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，
令，則，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即；
當(dāng)時(shí)，由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，所以，
要使得有零點(diǎn)，即在有實(shí)數(shù)根，
令，即在上有零點(diǎn)，
則滿足或，即或，
作出不等式或所表示的平面區(qū)域，如圖所示，
又由，
即可看出坐標(biāo)原點(diǎn)到平面區(qū)域的最短距離的平方，
設(shè)原點(diǎn)到直線或的距離分別為，
則，所以的最小值為.
故選：B.
9．AD
【分析】A 根據(jù)決定系數(shù)的意義可判斷；B利用可判斷；C 根據(jù)相關(guān)系數(shù)正負(fù)性的意義即可判斷；D若符合線性模型，則殘差與預(yù)測值的散點(diǎn)圖應(yīng)該在零周圍隨機(jī)分布從而可判斷.
【詳解】決定系數(shù)的取值范圍在0到1之間，其值越接近1擬合效果越好，其值遠(yuǎn)小于1，故其擬合效果較差，故A正確；
因，則，但因未給出總平方和，故無從得知?dú)埐畹钠椒胶停蔅錯(cuò)誤；
相關(guān)系數(shù)為負(fù)，說明隨著自習(xí)時(shí)間的增加，數(shù)學(xué)成績有下降趨勢，但不意味著它們無關(guān)，故C錯(cuò)誤；
若符合線性模型，則殘差與預(yù)測值的散點(diǎn)圖應(yīng)該在零周圍隨機(jī)分布，而殘差與預(yù)測值的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)先負(fù)后正的分布趨勢，這表明殘差不是隨機(jī)分布的，而是遵循某種模式，故不符合線性回歸模型，因此建議改用非線性模型，故D正確.
故選：AD
10．CD
【分析】設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用拋物線的焦點(diǎn)弦長公式以及韋達(dá)定理求出的值，可判斷A選項(xiàng)；推導(dǎo)出，可判斷B選項(xiàng)；利用三角形三邊關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D選項(xiàng).
【詳解】易知，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，
若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，
則，由韋達(dá)定理可得，，
對(duì)于A選項(xiàng)，，
解得，故直線的斜率為，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?br>，
因?yàn)?，即，所以，，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，
易知，、、三點(diǎn)不共線，則，
則，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
所以，為鈍角，D對(duì).
故選：CD.
11．ABC
【分析】先根據(jù)向量的運(yùn)算法則對(duì)進(jìn)行化簡，再結(jié)合正弦定理、三角函數(shù)的性質(zhì)等逐一分析選項(xiàng).
【詳解】已知，將代入可得：
，即，則
可得：
因?yàn)椋?，?
因?yàn)椋?，?
對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)正弦定理，可得.
若，則，即.
因?yàn)?，所以?
由及正弦定理可得.
，則.
若，即，代入可得：
，等式成立，所以，A選項(xiàng)正確.
對(duì)于選項(xiàng)B，由上述分析可知，B選項(xiàng)正確.
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，為三角形?nèi)角，則，.，則，C選項(xiàng)正確.
對(duì)于選項(xiàng)D，在上的投影向量為.
因?yàn)椋?，所以投影向量為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．
【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡運(yùn)算，即可得到答案.
【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，
可得.
故答案為：.
13．15
【分析】先將2025寫成，再根據(jù)正因數(shù)的求法結(jié)合分步乘法原理，即可求得答案.
【詳解】由題意知，
則可設(shè)2025的正因數(shù)為，其中，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得2025的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為，
故答案為：15
14． 是
【分析】求出旋轉(zhuǎn)后所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式，結(jié)合題中定義判斷即可；對(duì)任意的，方程至多一解，即至多一解，且函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，可知恒成立，結(jié)合參變分離可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】在旋轉(zhuǎn)后所曲線上任取一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
不妨設(shè)，設(shè)點(diǎn)，即，，
將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，
可得，即點(diǎn)，
即，，
因?yàn)?，可得變形可得，曲線為函數(shù)，
所以，是旋轉(zhuǎn)函數(shù)；
若函數(shù)是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，將函數(shù)的圖象繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，
不存在與軸垂直的直線，使得直線與旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖象個(gè)以上的交點(diǎn)．
故不存在直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
即對(duì)任意的，方程至多一解，即至多一解，
令為單調(diào)函數(shù)，則，
因?yàn)?，故?duì)任意的恒成立，
即對(duì)任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的恒成立，合乎題意；
當(dāng)時(shí)，則，
令，其中，則，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
所以，，且函數(shù)無最大值，所以此時(shí)不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
15．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）連接交于，證明，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線面角的向量求法，即可求得答案.
【詳解】（1）如圖1所示，連接交于，四邊形是正方形，則是的中點(diǎn)，
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是的中位線，所以．
又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面．
（2）因?yàn)?，，即，所以?br>又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，所以．
因?yàn)樗倪呅问钦叫危裕?br>故，，兩兩垂直．
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，，
所以，，，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，
取，則，，得．
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
故直線與平面所成的角的正弦值為．
16．(1)，．
(2)證明見解析，
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式，進(jìn)行計(jì)算，即可求得，的值；
（2）由，分別化簡求得，，得到，得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可求解；
（3）由（1）知且，求得，結(jié)合，利用等比數(shù)列的求和公式，即可得證.
【詳解】（1）解：由數(shù)列中，，，
可得，.
（2）解：由，
可得，，
所以，
因?yàn)?，所以，即?br>又因?yàn)椋傻茫?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（3）解：由（1）知且，可得，
所以，
又由，
因?yàn)轱@然成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以，
因此.
17．(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）由題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；
（2）（i）分析可知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式求出的值，即可得出直線的斜率；
（ii）取直線的方程為，求出點(diǎn)到直線距離的最大值，結(jié)合三角形的面積公式可求出面積的最大值.
【詳解】（1）由題意得，解得，，，
所以的方程為．
（2）（i）由（1）點(diǎn)，
若直線與軸重合，則，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，
聯(lián)立，
則，，．
所以
，可得，即．
所以直線的斜率為．
（ii））由（i）知直線的方程為，根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮其中一種情況即可．
不妨取直線的方程為．
因?yàn)樵谏?，故可設(shè)，
則點(diǎn)到直線的距離為
，其中為銳角，且，
所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值為．
故面積的最大值為.
18．(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線斜率，進(jìn)而得到切線方程；
（2）先給出函數(shù)，通過求導(dǎo)得到,令，得到導(dǎo)數(shù).接著令，求出這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).然后根據(jù)在不同區(qū)間的正負(fù)性來判斷的單調(diào)性.得到最值，進(jìn)而得到單調(diào)性.
（3）通過對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而求出其最小值，從而確定的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，．故切線方程為．
（2）當(dāng)時(shí)，，則，
令，則．令，得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
因?yàn)?，所以?br>（或者，因?yàn)椋?br>故，因此，從而在上單調(diào)遞增．
（3）當(dāng)時(shí)，顯然成立．
當(dāng)時(shí)，．
令，則
．
令，則．所以在上單調(diào)遞增，故，即．
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故．于是．
因此，的取值范圍是.
19．(1)
(2)
(3)套
【分析】（1）求出的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)可求出的最大值點(diǎn)；
（2）設(shè)新課的用戶占比達(dá)到時(shí)滿足要求，記事件“從完成課程的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生”，事件“該學(xué)生使用課程”，事件“該學(xué)生使用課程”，事件“該學(xué)生使用課程”，利用全概率公式可求出的值，利用貝葉斯公式可得出可得出關(guān)于的等式，解之即可；
（3）設(shè)隨機(jī)變量為新課程產(chǎn)生的利潤，對(duì)配置的系統(tǒng)套數(shù)進(jìn)行分類討論，求出每種情況下的值，比較大小后可得出結(jié)論.
【詳解】（1）記名學(xué)生中恰有人完成課程的人數(shù)為，則．
所以，
則．
令，得．
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．
所以的最大值點(diǎn)為．
（2）由（1）知，，設(shè)新課的用戶占比達(dá)到時(shí)滿足要求．
事件“從完成課程的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生”，
事件“該學(xué)生使用課程”，事件“該學(xué)生使用課程”，
事件“該學(xué)生使用課程”．
則由全概率公式，有，
因此．
由條件概率公式，得，所以，解得．
所以用戶占比需達(dá)到．
（3）設(shè)隨機(jī)變量為新課程產(chǎn)生的利潤．
①若配置套系統(tǒng)．由于新課程的用戶占比總大于，所以運(yùn)行一套系統(tǒng)即可，無維護(hù)成本．
此時(shí)對(duì)應(yīng)的年利潤，，
所以收益期望（萬元）．
②若配置套系統(tǒng)，
當(dāng)時(shí)，運(yùn)行套系統(tǒng)，維護(hù)一套系統(tǒng)，年利潤，．
當(dāng)時(shí)，運(yùn)行兩套系統(tǒng)，
年利潤，．
所以收益期望（萬元）．
③當(dāng)時(shí)，運(yùn)行套系統(tǒng)，維護(hù)套系統(tǒng)，
年利潤，．
當(dāng)時(shí)，運(yùn)行套系統(tǒng)，維護(hù)套系統(tǒng)，
年利潤，．
當(dāng)時(shí)，運(yùn)行兩套系統(tǒng)，年利潤，．
所以收益期望（萬元）．
比較結(jié)果：配置套系統(tǒng)時(shí)收益的期望最大（為萬元）．
綜上，為使總收益期望最大，應(yīng)配置套智能輔導(dǎo)系統(tǒng)
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
B
C
D
B
AD
CD
題號(hào)
11









答案
ABC









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