數(shù)學(xué)
本試卷共4頁，19題。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
考生注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知雙曲線的焦距為4，則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為（ ）
A.B.C.D.
3.記，，，則（ ）
A.B.C.D.
4.已知空間中不過同一點的三條直線，，.“，，共面”是“，，兩兩相交”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
5.已知復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.B.C.D.
6.在二項式的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A.常數(shù)項為B.各項的系數(shù)和為64
C.第3項的二項式系數(shù)最大D.奇數(shù)項二項式系數(shù)和為
7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量與關(guān)于軸對稱，若向量滿足，記的軌跡為，則（ ）
A.是一條垂直于軸的直線B.是兩條平行直線
C.是一個半徑為1的圓D.是橢圓
8.設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A.是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞增
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.設(shè)離散型隨機變量的分布列如表，若離散型隨機變量滿足，則（ ）
A.B.，
C.，D.，
10.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，且圖中陰影部分的面積為，則（ ）
A.
B.點是曲線的一個對稱中心
C.直線是曲線的一條對稱軸
D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減
11.拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為直線，過點的直線交拋物線于，兩點，分別過，作拋物線的切線交于點，于點，于點，則（ ）
A.點在直線上B.點在直線上的投影是定點
C.以為直徑的圓與直線相切D.的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，則的最小值為______.
13.已知三棱錐的外接球為球，為球的直徑，且，，，則三棱錐的體積為______.
14.“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍.尋找“完全數(shù)”用到函數(shù)，為的所有正因數(shù)之和，如，則______；______.
四、解答題：共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）
已知函數(shù)的最小正周期為，且函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù).
（1）求函數(shù)的解析式，并通過列表、描點在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)在上的圖象；
（2）在銳角中，，，分別是角，，的對邊，若，求的值域.
16.（15分）
籃球運動深受青少年喜愛，2024《街頭籃球》全國超級聯(lián)賽賽程正式公布，首站比賽將于4月13日正式打響，于6月30日結(jié)束，共進行13站比賽.
（1）為了解喜愛籃球運動是否與性別有關(guān)，某統(tǒng)計部門在某地隨機抽取了男性和女性各100名進行調(diào)查，得到列聯(lián)表如下：
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為喜愛籃球運動與性別有關(guān)？
（2）某校籃球隊的甲、乙、丙、丁四名球員進行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記甲第次觸球的概率為，則.
（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（ii）判斷第24次與第25次觸球者是甲的概率的大小.
附：.
17.（15分）
如圖，在圓臺中，，分別為上、下底面的直徑，且，，為異于，的一條母線.
（1）若為的中點，證明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值.
18.（17分）
已知函數(shù)，其中.
（1）若曲線在點處的切線方程為，求的最小值；
（2）若對于任意均成立，且的最小值為1，求實數(shù).
19.（17分）
如圖，各邊與坐標(biāo)軸平行或垂直的矩形內(nèi)接于橢圓，其中點，分別在第三、四象限，邊，與軸的交點為，.
（1）若，且，為橢圓的焦點，求橢圓的離心率；
（2）若是橢圓的另一內(nèi)接矩形，且點也在第三象限，若矩形和矩形的面積相等，證明：是定值，并求出該定值；
（3）若是邊長為1的正方形，邊，與軸的交點為，，設(shè)（，，…，）是正方形內(nèi)部的100個點，記，其中，，，.證明：，，，中至少有兩個小于81.
數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、二、選擇題：
【解析】
1.依題意，，因此，選項A正確
2.因為雙曲線的焦距為4，所以，解得，所以則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為，選項B正確.
3.顯然，，，故選項C正確.
4.依題意，直線，，不過同一點，因此，若“，，兩兩相交”則必有“，，共面（由三個交點確定的平面）”，但若“，，共面”，有可能有兩條直線平行，與第三條之間分別相交，但此時，“，，兩兩相交”結(jié)論錯誤，故選項B正確.
5.因為，所以，從而，選項D正確.
6.的展開式通項為，當(dāng)時，常數(shù)項為，選項A正確；令，得各項的系數(shù)和為，選項B錯誤；展開式共7項，二項式系數(shù)最大應(yīng)為第4項，故選項C錯誤；依題意奇數(shù)項二項式系數(shù)和為，選項D錯誤.
7.不妨設(shè)點的坐標(biāo)為，，，由可得，即，故選項C正確.
8.依題意，令，解得，從而，，，易知選項D正確.
9.因為，所以，A選項錯誤；
由，而，
故，
因此選項B正確；
又，所以，，，故C錯D對.
10.由題意，，，所以，即，
又，所以，可得，因此.
顯然，函數(shù)周期為，，選項A正確；
因為，所以選項B正確，
，選項C正確；
若，即，則，函數(shù)先減再增，D錯誤.
11.依題意焦點的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為直線，
不妨設(shè)，，直線的方程為，
聯(lián)立與，得，從而，，
由題意，，，
故拋物線過點，的切線方程分別為，，
解得點的坐標(biāo)為，故A錯誤；
因為，所以，
即點在直線上的投影是點（定點），故選項B正確；
可證，，因此，
即以為直徑的圓與直線相切，選項C正確；
對于選項D，因為，，
從而，
令，由函數(shù)單調(diào)性易知，，函數(shù)取最小值.D正確.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12.2013. 14.；.（第一空2分，第二空3分）
【解析】
12.依題意，，，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).
13.如圖，易知，，
作于點，易知，，
，
，
故三棱錐的體積為.
14.
.
四、解答題：
15.（13分）
解：（1）函數(shù)的最小正周期，，
向左平移后為偶函數(shù)，且，，
故解析式為.
列表如下：
在上的圖象如圖所示：
（2），，
即，解得，即，
又因為是銳角三角形，所以，
故，即.
16.（15分）
解：（1）假設(shè)：喜愛籃球運動與性別獨立，即喜愛籃球運動與性別無關(guān).
根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得，
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即能認(rèn)為喜愛籃球運動與性別有關(guān)，從此推斷犯錯誤的概率不超過0.001.
（2）（i）由題意，
，
所以
又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
（ii）由（i），，
所以，.
故甲第25次觸球者的概率大.
17.（15分）
解：（1）證明：連接.
因為，分別為上、下底面的直徑，且.
所以，，為圓臺母線且交于一點.因此，，，四點共面.
因為圓臺中平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，
又因為，，所以，
從而，即為的中點.
在中，為的中點，所以.
因為平面，平面，
所以平面.
（2）以為坐標(biāo)原點，，分別為，軸，過點且垂直與平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
因為，所以，所以，，，
因為，所以，故，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則
即，所以平面的一個法向量為.
又，設(shè)平面的法向量為，
所以即
所以平面的一個法向量為.
設(shè)二面角的大小為，
則，
從而，
所以二面角的正弦值為.
18.（17分）
解：（1）①由題意，且的定義域為
，
依題意即從而.
故，，
從而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以.
（2）依題意，，其中，記，則，
因為，，即是的極小值也是最小值，故，
而，所以，解得，
此時，
若，則時，，，，，
即，與矛盾！
若，，
則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
符合題意.故.
所以，其中.
若即時，則函數(shù)在上最小值為，
依題意，解得，符合題意；
若即時，則函數(shù)在上最小值為，
依題意，即，無解，不符合題意.
所以，.
19.（17分）
解：（1）依題意，，，
所以.
（2）設(shè)，，由題意，矩形和矩形的面積相等，
所以，
即，而，（*）
從而上式化為，
整理可得，
代入（*）式，，
故，
即為定值，且該定值為.
（3）如圖，以，的中點為焦點構(gòu)造經(jīng)過，，，的橢圓，對于點，連接并延長，與該橢圓交于點，連接，
則.
因而，中至少有一個小于81，
同理，中至少有一個小于81，
故，，，中至少有兩個小于81.
（以上答案僅供參考，其它解法請酌情賦分）0
1
2
3
4
0.1
0.4
0.2
0.2
喜愛籃球運動
不喜愛籃球運動
合計
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合計
80
120
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
C
B
D
A
C
D
BD
ABC
BCD
0
0
1
0
0

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