1. 下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（ ）
A. 和B. 2024和
C. 和2024D. 和
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查相反數(shù)．根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)合絕對值的意義逐項判斷即可．
【詳解】解：A、和互為相反數(shù)，故A選項符合題意；
B、2024和互為倒數(shù)，故B選項不符合題意；
C、和2024不互為相反數(shù)，故C選項不符合題意；
D、和不互為相反數(shù)，故D選項不符合題意；
故選：A．
2. 人體內(nèi)一種細胞的直徑約為1.56微米，相當于0.00000156米，數(shù)字0.00000156用科學記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)．一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．據(jù)此求解即可．
【詳解】解：數(shù)字0.00000156用科學記數(shù)法表示為，
故選：C．
3. 垃圾分類功在當代利在千秋，下列垃圾分類指引標志圖形中，是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．中心對稱圖形的關(guān)鍵是確定對稱中心，繞對稱中心旋轉(zhuǎn) 能與自身重合，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
4. 下列常見的幾何體中，主視圖和左視圖不同的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了簡單幾何體的三視圖．分別分析四種幾何體的主視圖和左視圖，找出主視圖和左視圖不同的幾何體．
【詳解】解：A、圓臺的主視圖和左視圖都是梯形，本選項不符合題意；
B、圓柱的主視圖是長方形，左視圖是圓，本選項符合題意；
C、圓錐的主視圖與左視圖相同，都是等腰三角形，本選項不符合題意；
D、球的主視圖和左視圖相同，都是圓，本選項不符合題意．
故選：B．
5. “鐵人王進喜紀念館”“龍鳳濕地公園”“濱水綠道”和“數(shù)字大慶中心”是大慶市四個有代表性的旅游景點．若小娜從這四個景點中隨機選擇兩個景點游覽，則這兩個景點中有“鐵人王進喜紀念館”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到選擇兩個景點中有“鐵人王進喜紀念館”的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．
【詳解】解：設(shè)鐵人王進喜紀念館”“龍鳳濕地公園”“濱水綠道”和“數(shù)字大慶中心”四個景點分別用A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中選擇“鐵人王進喜紀念館”的結(jié)果數(shù)有種，
∴這兩個景點中有“鐵人王進喜紀念館”的概率為，
故選：D．
6. 下列說法正確的是( )
A. 若，則
B. 一件衣服降價20%后又提價20%，這件衣服價格不變
C. 一個銳角和一條邊分別相等的兩個直角三角形全等
D. 若一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形是六邊形
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，一元一次方程的應用，全等三角形的判定，多邊形的外角與內(nèi)角和問題，逐項分析判斷，即可求解．
【詳解】解：A. 若，且，則，故該選項不正確，不符合題意；
B. 設(shè)原價為元，則提價%后的售價為：元；
后又降價的售價為：元．
一件衣服降價后又提價，
這件衣服的價格相當于原價的，故該選項不正確，不符合題意；
C. 一個銳角和一條邊分別相等的兩個直角三角形不一定全等，相等的邊不一定對應，故該選項不正確，不符合題意；
D.設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，
∴由題意得：，
，
，
即這個多邊形的邊數(shù)是6；故該選項正確，符合題意；
故選：D．
7. 如圖，在一次綜合實踐課上，為檢驗紙帶①、②的邊線是否平行，小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿折疊，量得；小鐵把紙帶②沿折疊，發(fā)現(xiàn)與重合，與重合．且點C，G，D在同一直線上，點E，H，F(xiàn)也在同一直線上．則下列判斷正確的是（ ）
A. 紙帶①、②的邊線都平行
B. 紙帶①、②的邊線都不平行
C. 紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行
D. 紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行
【答案】D
【解析】
【分析】對于紙帶①，根據(jù)對頂角相等可得，利用三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，由平行線的判定即可判斷；對于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得，，，由平角的定義從而可得，，再根據(jù)平行線的判定即可判斷．
【詳解】解：對于紙帶①，
∵，
∴，
∴，
由折疊的性質(zhì)得，，
∴，
∴與不平行，
對于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得，，，
又∵點C，G，D在同一直線上，點E，H，F(xiàn)也在同一直線上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
綜上所述，紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行，
故選：D．
【點睛】本題考查平行線的判定、對頂角相等、三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8. 在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象，根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，逐項分析判斷，即可求解．
【詳解】解：∵
當時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，
當時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限
A.一次函數(shù)中，則當時，函數(shù)圖象在第四象限，不合題意，
B.一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限，不合題意，
一次函數(shù)中，則當時，函數(shù)圖象在第一象限，故C選項正確，D選項錯誤，
故選：C．
9. 小慶、小鐵、小娜、小萌四名同學均從，，，，，這六個數(shù)字中選出四個數(shù)字，玩猜數(shù)游戲．下列選項中，能確定該同學選出的四個數(shù)字含有1的是（ ）
A. 小慶選出四個數(shù)字的方差等于B. 小鐵選出四個數(shù)字的方差等于
C. 小娜選出四個數(shù)字的平均數(shù)等于D. 小萌選出四個數(shù)字的極差等于
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了方差，平均數(shù)，極差的定義，掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方差，平均數(shù)，極差的定義逐一判斷即可．
【詳解】解：A、假設(shè)選出的數(shù)據(jù)沒有，則選出的數(shù)據(jù)為，，，時，方差最大，此時，方差為；當數(shù)據(jù)為，，，時，，，故該選項符合題意；
B、當該同學選出的四個數(shù)字為，，，時，，，故該選項不符合題意；
C、當該同學選出的四個數(shù)字為，，，時，，故該選項不符合題意；
D、當選出的數(shù)據(jù)為，，，或，，，時，極差也是，故該選項不符合題意；
故選：A．
10. 如圖，在矩形中，，，點M是邊的中點，點N是邊上任意一點，將線段繞點M順時針旋轉(zhuǎn)，點N旋轉(zhuǎn)到點，則周長的最小值為（ ）
A. 15B. C. D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，確定點的軌跡是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合證明，推出，得到點在平行于，且與的距離為5的直線上運動，作點關(guān)于直線的對稱點，連接交直線于點，此時周長取得最小值，由勾股定理可求解．
【詳解】解：過點作，交于，過點作垂足為，
∵矩形，
∴，
∴，
∴四邊形和都是矩形，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，
∴，
∴，
∴，
∴點在平行于，且與的距離為5的直線上運動，
作點關(guān)于直線的對稱點，連接交直線于點，此時周長取得最小值，最小值為，
∵，，
∴，
故選：B．
二、填空題：本題8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．
11. 計算：=___．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】根據(jù)立方根的定義，求數(shù)a的立方根，也就是求一個數(shù)x，使得x3=a，則x就是a的立方根．
【詳解】∵（－2）3=－8，
∴，
故答案為：-2
12. 已知，則的值是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)，通過平方變形可以求得所求式子的值．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：3．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．
13. 如圖所示，一個球恰好放在一個圓柱形盒子里，記球的體積為，圓柱形盒子的容積為，則______．（球體體積公式：，其中r為球體半徑）
【答案】
【解析】
【分析】題考查了圓柱的體積和球的體積，根據(jù)圓柱的體積和球的體積公式計算即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)球的半徑為，則圓柱的高為，
依題意，，
∴，
故答案為：．
14. 請寫出一個過點且y的值隨x值增大而減小的函數(shù)的解析式 _____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題主要考查了函數(shù)的增減性，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．寫出一個一次項系數(shù)為負數(shù)且經(jīng)過點的一次函數(shù)即可．
【詳解】解：設(shè)滿足題意得的一次函數(shù)的關(guān)系式為，
代入得：，
，
∴滿足題意的一次函數(shù)的解析式為．
故答案為：（答案不唯一）．
15. 不等式組的整數(shù)解有______個．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了求不等式組的整數(shù)解，先求出每個不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集，進而求出其整數(shù)解即可．
【詳解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組的解集為：，
∴整數(shù)解有，，，共4個，
故答案為：．
16. 如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等邊三角形；分別以點，，為圓心，以的長為半徑作，，．三段弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形．若該“萊洛三角形”的周長為，則它的面積是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了弧長的計算，扇形面積的計算，三角函數(shù)的應用，曲邊三角形是由三段弧組成，如果周長為，則其中的一段弧長就是，所以根據(jù)弧長公式可得，即正三角形的邊長為．那么曲邊三角形的面積=三角形的面積+三個弓形的面積，從而可得答案．
【詳解】解： 曲邊三角形的周長為，為等邊三角形，





曲邊三角形的面積為：
故答案為：．
17. 如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為______．
【答案】48
【解析】
【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律，直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識．根據(jù)題意分別計算出圖①、圖②和圖③的面積，得出規(guī)律即可求解．
【詳解】解：圖①中，∵，
根據(jù)勾股定理得，，
∴圖①中所有正方形面積和為：，
圖②中所有正方形面積和，即1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：
，
圖③中所有正方形面積和，即2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：
，
?
∴n次操作后的圖形中所有正方形的面積和為，
∴10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為，
故答案為：48．
18. 定義：若一個函數(shù)圖象上存在縱坐標是橫坐標2倍的點，則把該函數(shù)稱為“倍值函數(shù)”，該點稱為“倍值點”．例如：“倍值函數(shù)”，其“倍值點”為．下列說法不正確的序號為______．
①函數(shù)是“倍值函數(shù)”；
②函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和；
③若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，則m的取值范圍是；
④若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，且當時，n的最小值為k，則k的值為．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本題考查了新定義問題，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題．根據(jù)“倍值函數(shù)”的定義，逐一判斷即可．
【詳解】解：①函數(shù)中，令，則，無解，故函數(shù)不是“倍值函數(shù)”，故①說法錯誤；
②函數(shù)中，令，則，
解得或，
經(jīng)檢驗或都是原方程的解，
故函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和，故②說法正確；
③在中，
令，則，
整理得，
∵關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，
∴且，
解得且，故③說法錯誤；
④在中，
令，則，
整理得，
∵該函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，
∴，
整理得，
∴對稱軸為，此時n的最小值為，
根據(jù)題意分類討論，
，解得；
，無解；
，解得或（舍去），
綜上，k的值為0或，故④說法錯誤；
故答案為：①③④．
三、解答題：本題10小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應寫出必要的文字說明、計算過程、證明過程．
19. 求值：．
【答案】1
【解析】
【分析】本題主要考查了實數(shù)運算．直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化簡即可得出答案．
【詳解】解：
．
20. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：
，
當時，原式．
21. 為了健全分時電價機制，引導電動汽車在用電低谷時段充電，某市實施峰谷分時電價制度，用電高峰時段（簡稱峰時）：7：00—23：00，用電低谷時段（簡稱谷時）：23：00—次日7：00，峰時電價比谷時電價高元/度．市民小萌的電動汽車用家用充電樁充電，某月的峰時電費為50元，谷時電費為30元，并且峰時用電量與谷時用電量相等，求該市谷時電價．
【答案】該市谷時電價元/度
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的應用，設(shè)該市谷時電價為元/度，則峰時電價元/度，根據(jù)題意列出分式方程，解方程并檢驗，即可求解．
【詳解】解：設(shè)該市谷時電價為元/度，則峰時電價元/度，根據(jù)題意得，
，
解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，
答：該市谷時電價元/度．
22. 如圖，是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路上由北向南行駛，在處測得橋頭在南偏東方向上，繼續(xù)行駛米后到達處，測得橋頭在南偏東方向上，橋頭在南偏東方向上，求大橋的長度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：）
【答案】米
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，分別過點作的垂線，垂足分別為，根據(jù)題意得出，解求得，，進而求得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，分別過點作的垂線，垂足分別為，
∴四邊形是矩形，
∴，，
依題意，，
∴，
∴，
∴；
在中，，
；
中，，
∴．
答：大橋的長度約為米．
23. 根據(jù)教育部制定的《國防教育進中小學課程教材指南》．某中學開展了形式多樣的國防教育培訓活動．為了解培訓效果，該校組織學生參加了國防知識競賽，將學生的百分制成績（x分）用5級記分法呈現(xiàn)：“”記為1分，“”記為2分，“”記為3分，“”記為4分，“”記為5分．現(xiàn)隨機將全校學生以20人為一組進行分組，并從中隨機抽取了3個小組的學生成績進行整理，繪制統(tǒng)計圖表，部分信息如下：
請根據(jù)以上信息，完成下列問題：
（1）①第2小組得分扇形統(tǒng)計圖中，“得分為1分”這一項所對應的圓心角為______度；
②請補全第1小組得分條形統(tǒng)計圖；
（2）______，______，______；
（3）已知該校共有4200名學生，以這3個小組的學生成績作為樣本，請你估計該校有多少名學生競賽成績不低于90分？
【答案】（1）①18；②
（2）5；；3
（3）估計該校約有名學生競賽成績不低于90分．
【解析】
【分析】（1）①用乘以第2小組“得分為1分”這一項的占比即可求解；②求得第1小組“得分為4分”這一項的人數(shù)即可補全第1小組得分條形統(tǒng)計圖；
（2）根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的定義即可求解；
（3）利用樣本估計總體即可求解．
【小問1詳解】
解：①第2小組得分扇形統(tǒng)計圖中，“得分為1分”這一項所對應的圓心角為
，
故答案為：18；
②第1小組“得分為4分”這一項的人數(shù)為（人），
補全第1小組得分條形統(tǒng)計圖如下，
；
【小問2詳解】
解：第1小組中“得分為5分”這一項的人數(shù)最多，則，
第2小組的平均分為（分），
則，
第3小組的中位數(shù)為第10和11個數(shù)，都是3（分），
則，
故答案為：5；；3；
【小問3詳解】
解：（人），
答：估計該校約有名學生競賽成績不低于90分．
【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)，樣本估計總體．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?br>24. 如圖，平行四邊形中，、分別是，的平分線，且E、F分別在邊，上．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，，求的面積．
【答案】（1）見解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，，結(jié)合角平分線的條件得到，由得到，，根據(jù)平行線的判定得到，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到是平行四邊形；
（2）求得是等邊三角形，得到，，證明，求得，作于點，在中，求得，據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵分別是、的平分線，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
【小問2詳解】
解：由（1）得，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于點，
在中，，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．
25. “爾濱”火了，帶動了黑龍江省的經(jīng)濟發(fā)展，農(nóng)副產(chǎn)品也隨之暢銷全國．某村民在網(wǎng)上直播推銷某種農(nóng)副產(chǎn)品，在試銷售的天中，第天且為整數(shù))的售價為(元千克)．當時，；當時，．銷量(千克)與的函數(shù)關(guān)系式為，已知該產(chǎn)品第天的售價為元千克，第天的售價為元千克，設(shè)第天的銷售額為(元)．
（1） ，_____；
（2）寫出第天的銷售額與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求在試銷售的天中，共有多少天銷售額超過元？
【答案】（1），
（2）
（3）在試銷售的天中，共有天銷售額超過元
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合應用；
（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）根據(jù)銷售額等于銷量乘以售價，分段列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解；
（3）根據(jù)題意，根據(jù)，列出方程，解方程，即可求解．
【小問1詳解】
解：依題意，將，代入，
∴
解得：
∴
故答案為：，．
【小問2詳解】
解：依題意，
當時，
當時，
∴
【小問3詳解】
解：依題意，當時，
當時，
解得：
為正整數(shù)，
∴第天至第天，銷售額超過元
（天）
答：在試銷售的天中，共有天銷售額超過元
26. 如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點B，C在第一象限，四邊形是平行四邊形，點C在反比例函數(shù)的圖象上，點C的橫坐標為2，點B的縱坐標為3．
提示：在平面直角坐標系中，若兩點分別為，，則中點坐標為．
（1）求反比例函數(shù)的表達式；
（2）如圖2，點D是邊的中點，且在反比例函數(shù)圖象上，求平行四邊形的面積；
（3）如圖3，將直線向上平移6個單位得到直線，直線與函數(shù)圖象交于，兩點，點P為的中點，過點作于點N．請直接寫出P點坐標和的值．
【答案】（1）
（2）9 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，利用中點坐標公式可得，再把點D代入反比例函數(shù)解析式求得，即可求解；
（3）由一次函數(shù)平移規(guī)律可得直線：，聯(lián)立方程組得，設(shè)、，即，利用中點坐標公式求得點P的橫坐標為4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直線與x、y軸的交點、，利用勾股定理求得，可得，過點O作，由平行線定理可得，利用銳角三角函數(shù)求得，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵點B的縱坐標為3．
∴，
把代入得，，
∴反比例函數(shù)表達式為；
【小問2詳解】
解：設(shè)，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵點D是邊的中點，
∴，即，
∵點D在反比例函數(shù)圖象上，
把代入得，，
解得，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：∵將直線向上平移6個單位得到直線：，
∵直線與函數(shù)圖象交于，兩點，
∴聯(lián)立方程組得，，
即，
設(shè)、，
∴，
∵點P為的中點，
∴點P的橫坐標為，
把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
把代入得，，
解得，
∴直線與x、y軸交于點、，
∴，，
∴，
∴，
過點O作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標公式、一次函數(shù)的平移規(guī)律、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、銳角三角函數(shù)、平行線定理、一次函數(shù)與坐標軸的交點問題、勾股定理、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
27. 如圖，為的內(nèi)接三角形，為的直徑，將沿直線翻折到，點在上．連接，交于點，延長，，兩線相交于點，過點作的切線交于點．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若，．求的值．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)折疊可得，根據(jù)切線的定義可得，即可得證；
（2）根據(jù)題意證明，進而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得證；
（3）根據(jù)，設(shè)，則，得出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出，則，進而求得，根據(jù)，進而根據(jù)正切的定義，即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵將沿直線翻折到，
∴，
∵為的直徑，是切線，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：∵是切線，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∵由折疊可得，
∴，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
【小問3詳解】
解：∵，設(shè)，則，
∴，
∴，
∵由折疊可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
28. 如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點．點坐標為，與軸交于點，點為拋物線頂點，點為中點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）在直線上方的拋物線上存在點，使得，求點的坐標；
（3）已知，為拋物線上不與，重合的相異兩點．
①若點與點重合，，且，求證：，，三點共線；
②若直線，交于點，則無論，在拋物線上如何運動，只要，，三點共線，，，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）①見解析；②的面積為定值
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）根據(jù)題意得出，過點作交拋物線于點，過點作軸于點，則是等腰直角三角形，根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①根據(jù)題意得出，得出直線的解析式為，聯(lián)立得出，在直線上；②設(shè)，，設(shè)的解析式，聯(lián)立拋物線解析式，可得，根據(jù)題意，設(shè)直線解析式為，直線的解析式為，求得到軸的距離是定值，即可求解．
【小問1詳解】
解：將，代入得，
解得：
∴拋物線解析式為
【小問2詳解】
解：對于，令，
解得：
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
如圖所示，過點作交拋物線于點，過點作軸于點，

∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
設(shè)，則
∴，
∴
解得：（舍去）或
∴
【小問3詳解】
①點與點重合，則，
∵點為中點，，
∴,
設(shè)直線的解析式為，代入,
∴
解得：
∴
聯(lián)立
解得：或
∴，在直線上
即，，三點共線；
②設(shè)，
∵，，三點共線；
∴設(shè)的解析式，
聯(lián)立
消去得，
∴
∵，
設(shè)直線解析式為，直線的解析式為
聯(lián)立
解得：
∴
∵，
∴，
∴
而不為定值，
∴在直線上運動，
∴到軸的距離為定值，
∵直線，交于點，則無論，在拋物線上如何運動，只要，，三點共線，，，中必存在面積為定值的三角形，到的距離是變化的，
∴的面積為是定值．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法求解析式，角度問題，面積問題，一次函數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．


平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
第1小組
3.9
4
a
第2小組
b
3.5
5
第3小組
3.25
c
3

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