注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．
1．復(fù)數(shù)（且），若為純虛數(shù)，則（）
A．B．C．D．
2．已知集合，則（）
A．B．C．D．
3．的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．若，則（）
A．5B．6C．8D．10
4．下列可以作為方程的圖象的是（）
A．B．C．D．
5．已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為56，，則（）
A．4B．2C．D．
6．如圖，正方形的中心為，邊長(zhǎng)為4，將其沿對(duì)角線折成直二面角，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三角形沿直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為（）
A．B．C．D．
7．拋擲一枚質(zhì)地均勻的正四面骰子（骰子為正四面體，四個(gè)面上的數(shù)字分別為1，2，3，4），若骰子與桌面接觸面上的數(shù)字為1或2，則再拋鄭一次，否則停止拋擲（最多拋擲2次）．則拋擲骰子所得的點(diǎn)數(shù)之和至少為4的概率為（）
A．B．C．D．
8．設(shè)，且，則（）
A．若，則B．若，則存在且不唯一
C．D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知函數(shù)，則（）
A．是的對(duì)稱中心
B．在上單調(diào)遞增
C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相交
D．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象
10．已知直線（不同時(shí)為0），圓，則（）
A．當(dāng)時(shí)，直線與圓相切
B．當(dāng)時(shí)，直線與圓不可能相交
C．當(dāng)時(shí)，與圓外切且與直線相切的動(dòng)圓圓心的軌跡是一條拋物線
D．當(dāng)時(shí)，直線與坐標(biāo)軸相交于兩點(diǎn)，則圓上存在點(diǎn)滿足
11．已知三棱錐是邊長(zhǎng)為2的正三角形，別是的中點(diǎn)，在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)．（）
A．兩兩垂直
B．在平面的投影為的中點(diǎn)
C．三點(diǎn)共線
D．形如三棱錐的容器能被整體裝人一個(gè)直徑為2.5的球
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．
12．已知，則的值為____________．
13．已知雙曲線的離心率為分別是它的兩條漸近線上的兩點(diǎn)（不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合），點(diǎn)在雙曲線上且的面積為6，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為____________．
14．拋擲一枚不均勻的硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率為，記次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上的概率為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式____________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（13分）
按照《中華人民共和國(guó)環(huán)境保護(hù)法》的規(guī)定，每年生態(tài)環(huán)境部都會(huì)會(huì)同國(guó)家發(fā)展改革委等部門共同編制《中國(guó)生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》，并向社會(huì)公開發(fā)布．下表是2017-2021年五年《中國(guó)生態(tài)環(huán)境狀況公報(bào)》中酸雨區(qū)面積約占國(guó)土面積的百分比：
（1）求2017—2021年年份代碼與的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
（2）請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用一元線性回歸模型進(jìn)行描述，并求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
（3）預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比．
（回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：
附：樣本相關(guān)系數(shù)，．
16．（15分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）若，求在處的切線方程；
（Ⅱ）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
17．（15分）
如圖，在三棱臺(tái)中，，平面平面，．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值．
18．（17分）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為和，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直軸于點(diǎn)．在軸上存在一點(diǎn)（異于），使得．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)作一條垂直于軸的直線，在上任取一點(diǎn)，直線和直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
19．（17分）復(fù)數(shù)除了代數(shù)形式之外，還有兩種形式，分別是三角形式和指數(shù)形式，著名的歐拉公式體現(xiàn)了兩種形式之間的聯(lián)系．利用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行乘法運(yùn)算，我們可以定義旋轉(zhuǎn)變換．
根據(jù)，我們定義：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，將任一點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的變換稱為旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換．設(shè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換下得到的點(diǎn)為，且旋轉(zhuǎn)變換的表達(dá)式為曲線的旋轉(zhuǎn)變換也如此，比如將“對(duì)勾”函數(shù)圖象上每一點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后就得到雙曲線：．
（Ⅰ）求點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變化下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求曲線在旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變化下所得到的曲線方程；
（Ⅲ）等邊中，在曲線上，求的面積．
2024年鄭州市高中畢業(yè)年級(jí)第三次質(zhì)量預(yù)測(cè)
數(shù)學(xué)評(píng)分參考
一、單選題
二、多選題
三、填空題
12．；13．；14．．
四、解答題
15．（1）由己知可得，，
，
由題可列下表：
．
．
（2）由（1）知，與的相關(guān)系數(shù)接近1，所以與之間具有極強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行描述．
（3）由（1）知，,
．
所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．
（3）令，預(yù)測(cè)2024年的酸雨區(qū)面積占國(guó)土面積的百分比為2.15%．
16．解（1）若，則．
又．
故所求切線方程為
即．
（2）由題．
1°當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又．
存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．
2°當(dāng)時(shí)，令得，令得，
則在上單減，在上單增．
的最小值為．
Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的最小值為0，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)．
Ⅰⅰ）當(dāng)時(shí)，的最小值大于0，此時(shí)沒有零點(diǎn)．
Ⅰⅱ）當(dāng)時(shí)，的最小值小于0，，
時(shí)，．此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)．
17．（15分）（1）證明：如圖，在等腰梯形中，連接，
又，可以解得，
在三角形中，，
又平面平面，且平面平面，
，且平面，
平面．
又，且平面，
平面．
（2）由（1）可知，，
．
以為原點(diǎn)，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
可得：．
易知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，又，
由
令，解得平面的一個(gè)法向量為，
．
平面與平面的夾角的余弦值為．
18．解：（1）由題意得，將代入橢圓方程得，聯(lián)立方程組，解得橢圓的方程為．
（2）直線與橢圓相切．
理由如下：
設(shè)，由，得，解得，此時(shí)，
直線的方程為，
聯(lián)立直線與橢圓消得，，解得．
直線與橢圓相切．
（3）設(shè)，
由三點(diǎn)共線，得，
由三點(diǎn)共線，得，
得，又，得，
得，
即．
設(shè)直線的方程為，
即．
聯(lián)立直線與橢圓消得，
則有
將②式代入①式，得，解得（舍）或．
直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
19．（1）由題可設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為，由
得所求點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換下所得點(diǎn)坐標(biāo)為．
則即
得，
所求曲線方程為．
（3）由題點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換下所得的點(diǎn)為．
設(shè)在旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換下所得的點(diǎn)分別為和．
設(shè)曲線在旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換下所得曲線為，則方程為．
則是曲線的下頂點(diǎn)．
由題，為等邊三角形，的面積即為的面積．設(shè)的邊長(zhǎng)為，由雙曲線的對(duì)稱性：
當(dāng)和同在曲線的下支時(shí)，則，
代入的方程得無(wú)解．
當(dāng)和同在曲線的上支時(shí)，則，
代入的方程得的面積為．
綜上所述，的面積為．年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代碼
1
2
3
4
5
6.4
5.5
5.0
4.8
3.8
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
A
B
D
C
A
C
題號(hào)
9
10
11
答案
BC
ACD
ACD
0
1
2
1.3
0.4

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