注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．
1．已知全集，集合A滿足，則
A．B．C．D．
2．數(shù)據(jù)6.0，7．4，8.0，8.4，8.6，8.7，8.9，9.1的第75百分位數(shù)為
A．8.5B．8.6C．8.7D．8.8
3．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則
A．或36B．C．36D．18
4．中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，m（）為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是
A．2018B．2020C．2022D．2024
5．聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)．純音的數(shù)學模型是函數(shù)，但我們平時聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復合音．若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)（），則下列說法正確的是
A．的一個周期為B．的最大值為
C．的圖象關(guān)于點對稱D．在區(qū)間上有2個零點
6．在某次測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.5，0.6和，0.7，且三人的測試結(jié)果相互獨立，測試結(jié)束后，在甲、乙，丙三人中恰有兩人沒有達到優(yōu)秀等級的條件下，乙達到優(yōu)秀等級的概率為
A．B．C．D．
7．在平面直角坐標系xOy中，設(shè)，，動點P滿足，則的最大值為
A．B．C．D．
8．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在點P，滿足，且，則雙曲線C的漸近線方程為
A．B．C．D．
二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．
9．在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點為A，復數(shù)對應(yīng)的點為B，下列說法正確的是
A．B．
C．向量對應(yīng)的復數(shù)是1D．
10．如圖，在矩形中，，，點C，D，E與點，，分別是線段AB與的四等分點．若把矩形卷成以為母線的圓柱的側(cè)面，使線段與重合，則以下說法正確的是
A．直線與異面B．AE∥平面
C．直線與平面垂直D．點到平面的距離為
11．已知函數(shù)的定義域為R，且，，為偶函數(shù)，則
A．B．為偶函數(shù)
C．D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題；本大題共3小題，每小題5分，共計15分．
12．拋物線的準線方程為，則實數(shù)a的值為 ．
13．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則邊 ，點D在線段AB上，且的最大值為 ．
14．已知不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則的最大值為 ．
四、解答題；本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（13分）
滎陽境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽因此被授予“中國象棋文化之鄉(xiāng)”．有甲，乙，丙三位同學進行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負，本局比賽結(jié)束后，負的一方下場．第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2局比賽，來替換負的那個人，每次比賽負的人排到等待上場的人之后參加比賽．設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨立．
（Ⅰ）求前3局比賽甲都取勝的概率；
（Ⅱ）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．
16．（15分）
已知函數(shù)（）．
（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
17．（15分）
如圖，在多面體DABCE中△ABC是等邊三角形，，．
（Ⅰ）求證：BC⊥AE；
（Ⅱ）若二面角A—BC—E為30°，求直線DE與平面ACD所成角的正弦值．
18．（17分）
已知橢圓E：（）過點，且焦距為．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）過點作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點分別為M，N．
①證明：直線MN必過定點﹔
②若弦AB，CD的斜率均存在，求△MNS面積的最大值．
19．（17分）
已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列為m的k增數(shù)列：
①；
②對于，使得的正整數(shù)對有k個．
（Ⅰ）寫出所有4的1增數(shù)列；
（Ⅱ）當時，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；
（Ⅲ）若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值．
鄭州市2024高三第二次質(zhì)量預測數(shù)學（參考答案）
一、單選題
二、多選題
三、填寫題
12．
13．，
14．
15．解：
（1）前3局比賽甲都不下場說明前3局甲都獲勝，
故前3局甲都不下場的概率為．
（2）X的所有可能取值為0，1，2，3．
其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙輸，則；
表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，
則；
表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，
則；
表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，
則；
所以X的分布列為
故X的數(shù)學期望為．
16．解：
（1）函教定義域為，，
因為是函數(shù)的極值點，
所以，解得或，
因為，所以．
此時，
令得，令得，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點．
所以．
（2）當時，，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；
當時，，
因為，，則，
令得；令得；
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．
綜上可知：
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
17．證明：取BC中點O，連接AO，EO．
∵△ABC是等邊三角形，O為BC中點，
∴AO⊥BC，
又，∴EO⊥BC，
∵，
∴BC⊥平面AEO，
又平面AEO，
BC⊥AE．
（2）連接DO，則DO⊥BC，
由，得
，，
又，∴，
∴DO⊥AO，
又，
∴DO⊥平面ABC．
如圖，以O(shè)為坐標原點，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，
則，，，，
∴，，
設(shè)平面ACD的法向量為，則，即，
取，則．
∵∠AOE是二面角A—BC—E的平面角，
∴，
又，
∴，，
則，
∴直線DE與平面ACD所成角的正弦值為．
18．解：
（1）依題意有，，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)：（），，，則：（），
聯(lián)立，故，
，，
故，
由代替m，得，
當，即時，：，過點．
當，即時，
，：（，），
令，，
∴直線MN恒過點．
當，經(jīng)驗證直線MN過點．
綜上，直線MN恒過點．
（3）
，
令，，
∵在上單調(diào)遞減，
∴，
當且僅當，，時取等號．
故△MNS面積的最大值為．
19．解：
（1）由題意得，則或，
故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3．
（2）當時，因為存在m的6增數(shù)列，
所以數(shù)列的各項中必有不同的項，所以且．
若，滿足要求的數(shù)列中有四項為1，一項為2，
所以，不符合題意，所以．
若，滿足要求的數(shù)列中有三項為1，兩項為2，符合m的6增數(shù)列．
所以，當時，若存在m的6增數(shù)列，m的最小值為7．
（3）若數(shù)列中的每一項都相等，則，
若，所以數(shù)列中存在大于1的項，
若首項，將拆分成個1后k變大，
所以此時k不是最大值，所以．
當，3，…，n時，若，交換，的順序后k變?yōu)椋?br>所以此時k不是最大值，所以．
若，所以，
所以將改為，并在數(shù)列首位前添加一項1，所以k的值變大，
所以此時k不是最大值，所以．
若數(shù)列中存在相鄰的兩項，，設(shè)此時中有x項為2，
將改為2，并在數(shù)列首位前添加個1后，k的值至少變?yōu)椋?br>所以此時k不是最大值，
所以數(shù)列的各項只能為1或2，所以數(shù)列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式．
設(shè)其中有x項為1，有y項為2，
因為存在100的k增數(shù)列，所以，
所以，
所以，當且僅當，時，k取最大值為1250．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
B
D
C
C
A
題號
9
10
11
答案
AD
ABD
ACD
X
0
1
2
3
P

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