題型一．平面的基本性質(zhì)及推論 題型二．異面直線的判定
題型三．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 題型四．直線與平面平行
題型五．直線與平面垂直 題型六．平面與平面平行
題型七．平面與平面垂直 題型八．點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
一．平面的基本性質(zhì)及推論
1．（2024春?普陀區(qū)校級(jí)期中）與命題“直線上有兩點(diǎn)、在平面上”不等價(jià)的命題是
A．
B．平面經(jīng)過(guò)直線
C．直線上只有、兩點(diǎn)在平面上
D．直線上所有的點(diǎn)都在平面上
【分析】直接根據(jù)直線上有兩點(diǎn)在平面內(nèi)，可得直線在平面內(nèi)進(jìn)行判斷各選項(xiàng)即可．
【解答】解：直線上有兩點(diǎn)、在平面上，
，平面經(jīng)過(guò)直線，直線上所有的點(diǎn)都在平面上，故，，選項(xiàng)正確，
對(duì)于，若直線上、兩點(diǎn)在平面上，即有，此時(shí)直線上所有點(diǎn)都在平面上，不可能只有、兩點(diǎn)在平面上，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
2．（2024春?普陀區(qū)校級(jí)期中）如圖是長(zhǎng)方體被一平面截得的幾何體，四邊形為截面，則四邊形的形狀為
A．梯形
B．平行四邊形
C．矩形
D．上述三種圖形以外的平面圖形
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合面面平行的性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：平面平面，且平面平面，
平面平面，
由面面平行的性質(zhì)可知，，同理可證明，
故四邊形為平行四邊形．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，以及面面平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2023秋?崇明區(qū)校級(jí)期中）在空間四邊形的邊、、、上分別取點(diǎn)、、、，如果、相交于一點(diǎn)，那么一定在直線 上．
【分析】根據(jù)題意，可得直線、分別是平面、平面內(nèi)的直線，因此、的交點(diǎn)必定在平面和平面的交線上．而平面交平面于，由此即可得到點(diǎn)在直線
【解答】解：點(diǎn)、分別在、上，而、是平面內(nèi)的直
平面，平面，可得直線平面，
點(diǎn)、分別在、上，而、是平面內(nèi)的直線，
平面，平面，可得直線平面，
因此，直線與的公共點(diǎn)在平面與平面的交線上，
平面平面，
點(diǎn)直線．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題給出空間四邊形，判斷直線、的交點(diǎn)與已知直線的位置關(guān)系，著重考查了平面的基本性質(zhì)和空間直線的位置關(guān)系判斷等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
4．（2023秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）兩個(gè)平面最多可以將空間分成 部分．
【分析】對(duì)兩個(gè)平面的位置關(guān)系情況進(jìn)行討論，得出其將空間分成幾部分，比較所得的結(jié)果即可得到最多可分成幾部分
【解答】解：兩個(gè)平面的位置關(guān)系是平行與相交，
若兩個(gè)平面平行，則可將空間分成三部分，
若兩個(gè)平面相交，可將空間分成四部分，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的基本性質(zhì)及推論，解答本題，關(guān)鍵是了解兩個(gè)平面的位置關(guān)系，根據(jù)每種情況下的位置進(jìn)行討論，得出最多可分成幾部分．
5．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在棱長(zhǎng)為6的正方體中，是棱的中點(diǎn)，過(guò)，，作正方體的截面，則該截面的面積是 ．
【分析】過(guò)，，作正方體的截面，是等腰梯形，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，求出截面圖形的面積．
【解答】解：正方體中，是棱的中點(diǎn)，
過(guò)，，作正方體的截面，是等腰梯形，如圖所示：
其中是的中點(diǎn)，，；
所以梯形底面上的高為，
則該截面的面積是．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體截面面積的計(jì)算問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
6．（2023秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）正方體各面所在的平面將空間分成 部分．
【分析】利用一個(gè)平面把空間分成兩部分，兩個(gè)平行平面把空間分成三部分來(lái)解．
【解答】解：27；上、中、下三個(gè)部分，每個(gè)部分分空間為9個(gè)部分，共27部分，
故答案為 27
【點(diǎn)評(píng)】正方體共有六個(gè)面，在這六個(gè)面中，有三對(duì)是平行平面，且任一平面均與不和它平行的其他四個(gè)平面垂直
7．（2024春?普陀區(qū)校級(jí)期中）4條線段首尾相接得到一個(gè)四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)它的兩條對(duì)角線 時(shí)，才是一個(gè)平面圖形．
【分析】應(yīng)用空間想象，討論對(duì)角線不相交、相交兩種情況分析得結(jié)論．
【解答】解：當(dāng)兩條對(duì)角線不相交時(shí)，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不共面，故不是平面圖形，如下圖，
對(duì)角線，不相交，即為空間四邊形；
當(dāng)兩條對(duì)角線相交時(shí)，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共面，是平面圖形，如下圖，
對(duì)角線，相交，即為平面四邊形．
故答案為：相交．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
8．（2023秋?浦東新區(qū)期末），，三點(diǎn)不在同一直線上，則經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的平面有 個(gè)．
【分析】根據(jù)公理“經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面”來(lái)解答即可．
【解答】解：不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．
故答案為：一．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
9．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）正方體的棱長(zhǎng)為2，是棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得的截面面積為 ．
【分析】利用平面的性質(zhì)作出截面，然后求解面積即可．
【解答】解：如圖所示，
設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，
由且，得是平行四邊形，則且，
又且，得且，則，，，共面，
故平面截該正方體所得的截面為．
又正方體的棱長(zhǎng)為2，
所以，
故的面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面截正方體所得截面的面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
10．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．
（1）畫出平面與平面的交線，并說(shuō)明理由；
（2）求證：，，，四點(diǎn)在同一平面內(nèi)．
【分析】（1）利用平面基本性質(zhì)2，可得結(jié)論；
（2）利用平面基本性質(zhì)3，可得結(jié)論．
【解答】（1）解：設(shè)，，連結(jié)，則
，分別在平面、平面，
平面平面；
（2）證明：連，則．
故、、、四點(diǎn)共面
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面基本性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
二．異面直線的判定
11．（2023秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列哪條棱所在直線與直線始終異面
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段端點(diǎn)、中點(diǎn)位置可判斷，根據(jù)異面直線的判定可判斷．
【解答】解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與直線相交，故錯(cuò)誤；
當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與直線相交，故錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c在同一平面上，，平面，
所以由異面直線判定定理知，直線與直線始異面，故正確；
當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與直線共面，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
12．（2023秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，P是線段A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線BP異面的是（ ）
A．DD1B．B1CC．D1CD．AC
【分析】根據(jù)異面直線的定義逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．
【解答】解：對(duì)于A，∵直線BP與直線BB1相交，而DD1∥BB1，
∴直線BP與直線DD1也相交，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時(shí)，直線BP與B1C相交，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A1重合時(shí)，直線BP∥D1C，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，∵AC∥A1C1，∴點(diǎn)A，A1，C1，C共面，
又∵BP∩平面AA1C1C＝P，P?AC，
∴直線BP與AC是異面直線，故D正確，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了異面直線的定義，屬于基礎(chǔ)題．
13．（2023秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）將下面的平面圖形（每個(gè)點(diǎn)都是正三角形的頂點(diǎn)或邊的中點(diǎn)）沿虛線折成一個(gè)四面體后，直線與是異面直線的是
A．①④B．②③C．①②D．③④
【分析】將平面圖形折成空間四面體，再利用異面直線的判定定理逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：將平面圖形折成空間四面體如圖所示，
①對(duì)應(yīng)圖1，是平面外一點(diǎn)，在平面內(nèi)，且不在直線上，
因此直線與是異面直線，故①正確；
②對(duì)應(yīng)圖2，，重合，與是相交直線，故②錯(cuò)誤；
③對(duì)應(yīng)圖3，由中位線定理得，都與平行，從而，故③錯(cuò)誤；
④對(duì)應(yīng)圖4，與圖1類似得與是異面直線，故④正確；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的判定，屬中檔題．
14．（2024春?普陀區(qū)校級(jí)期中）在正方體的12條棱中，與棱所在直線異面且垂直的共有 條．
【分析】由正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合異面直線的定義確定與棱所在直線異面且垂直的棱的條數(shù)．
【解答】解：如下圖，與棱所在直線異面的棱有，，，，
由于垂直于上下底面，且，在上底面，，在下底面，
所以與棱所在直線異面且垂直的有，，，，共4條．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的定義，屬于基礎(chǔ)題．
15．（2022?嘉定區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖所示，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)．求證：
（1）、、三線共點(diǎn)；
（2）直線和直線是異面直線．
【分析】（1）分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由平面基本性質(zhì)知面．再由三角形中位線定理證明，，三線共點(diǎn)于．
（2）由反證法以及線面平行的判定以及性質(zhì)即可得矛盾求解．
【解答】解：（1）分別延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)，，面，
面．
是的中點(diǎn)，，
是的中點(diǎn)，
連接，，
，的交點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，即為，
，，三線共點(diǎn)于．
（2）假如直線和直線不是異面直線，則存在一個(gè)平面，使得，，
由于在正方體中，，，
因此，
又因?yàn)槠矫?，且平面?br>故，在正方形中，顯然，不平行，故矛盾，
因此假設(shè)不成立，即直線和直線是異面直線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，屬于中檔題．
三．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
16．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，，，，分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示，是異面直線的圖形的序號(hào)為
A．①②B．③④C．①③D．②④
【分析】判定異面直線的方法：①根據(jù)它的判定定理：“經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．”②定義法：不在同一個(gè)平面內(nèi)的．兩條直線稱為異面直線；③反證法：既不平行又不相交的直線即為異面直線．
【解答】解：異面直線的判定定理：“經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．”
根據(jù)異面直線的判定定理可知：在圖②④中，直線、是異面直線；
在圖①中，由、均為棱的中點(diǎn)可知：；
在圖③中，、均為棱的中點(diǎn)，四邊形為梯形，則與相交．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力和思維能力．
17．（2024春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）直線與直線相交，直線也與直線相交，則直線與直線的位置關(guān)系是
A．相交B．平行C．異面D．以上都有可能
【分析】根據(jù)題意，由空間直線間的位置關(guān)系，分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，直線與相交，與相交，
直線與直線可能相交、平行、異面，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線間的關(guān)系，涉及直線位置關(guān)系的定義，屬于基礎(chǔ)題．
18．（2023秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）設(shè)平面平面，直線，直線，則直線，的位置關(guān)系為
A．平行B．相交C．異面D．平行或異面
【分析】由兩平行平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系得答案．
【解答】解：由平面平面，直線，直線，得直線，的位置關(guān)系為平行或異面．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
19．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）若空間中有、、三條直線，則“”是“、同時(shí)垂直于”的 條件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【分析】由空間中直線與直線的位置關(guān)系結(jié)合充分必要條件的判定得答案．
【解答】解：由，不一定得到、同時(shí)垂直于，也可能同時(shí)與平行；
反之，由、同時(shí)垂直于，不一定得到，與也可能相交，也可能異面．
若空間中有、、三條直線，則“”是“、同時(shí)垂直于”的既不充分也不必要條件．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查充分必要條件的判定，是基礎(chǔ)題．
20．（2023秋?奉賢區(qū)期中）若兩異面直線，所成的角為，過(guò)空間內(nèi)一點(diǎn)作與直線， 所成角均是的直線，則所作直線共有 條．
A．1B．2C．3D．4
【分析】在空間取一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)分別作，，則過(guò)的直線在平面上的射影為，的夾角的角平分線時(shí)，符合題意，根據(jù)角的大小得出與，所成角的范圍，從而得出答案．
【解答】解：在空間取一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)分別作，，
設(shè)直線、確定平面，
當(dāng)直線滿足它的射影在、所成角的平分線上時(shí)，
與所成的角等于與所成的角
因?yàn)橹本€，所成的角為，得、所成銳角等于，
所以當(dāng)?shù)纳溆霸?、所成銳角的平分線上時(shí)，
與、所成角的范圍是，．
這種情況下，過(guò)點(diǎn)有兩條直線與，所成的角都是，
當(dāng)?shù)纳溆霸?、所成鈍角的平分線上時(shí)，與、所成角的范圍是，．
這種情況下，過(guò)點(diǎn)有兩條直線與，所成的角都是，
綜上所述，過(guò)空間任意一點(diǎn)可作與，所成的角都是的直線有4條．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】題給出兩條直線所成角為，求過(guò)空間任意一點(diǎn)可作與，所成的角都是的直線的條數(shù)．著重考查了空間兩條異面直線所成角及其求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
21．（2022?上海）如圖正方體中，、、、分別為棱、、、的中點(diǎn)，連接，．空間任意兩點(diǎn)、，若線段上不存在點(diǎn)在線段、上，則稱兩點(diǎn)可視，則下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為
A．點(diǎn)B．點(diǎn)C．點(diǎn)D．點(diǎn)
【分析】線段上不存在點(diǎn)在線段、上，即直線與線段、不相交，因此所求與可視的點(diǎn)，即求哪條線段不與線段、相交，再利用共面定理，異面直線的判定定理即可判斷．
【解答】解：線段上不存在點(diǎn)在線段、上，即直線與線段、不相交，
因此所求與可視的點(diǎn)，即求哪條線段不與線段、相交，
對(duì)選項(xiàng)，如圖，連接、、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，
易證，故、、、四點(diǎn)共面，與相交，錯(cuò)誤；
對(duì)、選項(xiàng)，如圖，連接、，易證、、、四點(diǎn)共面，
故、都與相交，、錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)，連接，由選項(xiàng)分析知、、、四點(diǎn)共面記為平面，
平面，平面，且平面，點(diǎn)，
與為異面直線，
同理由，選項(xiàng)的分析知、、、四點(diǎn)共面記為平面，
平面，平面，且平面，點(diǎn)，
與為異面直線，
故與，都沒(méi)有公共點(diǎn)，選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，共面定理的應(yīng)用，異面直線的判定定理，屬中檔題．
22．（2023秋?松江區(qū)校級(jí)月考）已知正方體，點(diǎn)，，分別是線段，和上的動(dòng)點(diǎn)，觀察直線與，與給出下列結(jié)論：
①對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；
②對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；
③對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得；
④對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得．
其中正確的結(jié)論是
A．①B．②③C．①④D．②④
【分析】根據(jù)直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合正方體的性質(zhì)，分別判斷選項(xiàng)，利用排除法能得出結(jié)論．
【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，且，所以平面，
因?yàn)閷?duì)于任意給定的點(diǎn)，都有平面，
所以對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得，所以①正確；
②只有平面，即平面時(shí)，
才能滿足對(duì)于任意給定的點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線只有一條，而，所以②錯(cuò)誤；
③當(dāng)與，重合時(shí)，在線段上找不到點(diǎn)，使，所以③不正確；
④只有當(dāng)平面，若存在點(diǎn)，使得，則平面，
又平面，則有平面平面，顯然不可能，
所以對(duì)于任意給定的點(diǎn)不存在點(diǎn)，使，故④不正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的判斷，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．
23．（2024春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是 ．
【分析】以正方體為載體，列舉出所有情況，從而得到一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是異面或平行．
【解答】解：在正方體中，
①和是異面直線，
，，
②和是異面直線，
，和是異面直線，
一條直線與兩條異面直線中的一條平行，
則它和另一條的位置關(guān)系是異面或相交．
故答案為：異面或相交．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩直線的位置關(guān)系的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
四．直線與平面平行
24．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）下列四個(gè)正方體圖形中，，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形的序號(hào)是
A．①③B．②③C．①④D．②④
【分析】對(duì)于①，可以構(gòu)造面面平行，考慮線面平行定義；對(duì)于②，考慮線面平行的判定及定義；對(duì)于③，可以用線面平行的定義及判定定理判斷；對(duì)于④，用線面平行的判定定理即可．
【解答】解：對(duì)圖①，構(gòu)造所在的平面，即對(duì)角面，可以證明這個(gè)對(duì)角面與平面，由線面平行的定義可得平面．
對(duì)圖④，通過(guò)證明得到平面；
對(duì)于②、③無(wú)論用定義還是判定定理都無(wú)法證明線面平行；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定，主要考慮定義、判定定理兩種方法，同時(shí)運(yùn)用面面平行的性質(zhì)解決問(wèn)題．
25（2023秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）設(shè)、是平面外的兩條直線，且，那么是的 條件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
【分析】判斷由能否得到，再判斷由能否得到即可．
【解答】解：證明充分性：若，結(jié)合，且在平面外，可得，是充分條件；
證明必要性：若，結(jié)合，且，是平面外，則，可以平行，也可以相交或者異面，所以不是必要條件．
故是的“充分非必要”
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面平行，線線平行之間的關(guān)系，充分條件和必要條件，屬于基礎(chǔ)題．
26．（2023?楊浦區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，面，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，為正方形內(nèi)一點(diǎn)，若面，則的最小值為 ．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出與平面平行的線段，再計(jì)算的最小值．
【解答】解：如圖所示：
四棱錐中，平面，平面，所以；
由點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，所以；
又，取的中點(diǎn)，連接，
則，
所以；
又平面，平面，
所以平面．
所以的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理、線面平行的判定定理和線面垂直的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與計(jì)算能力，是中檔題．
27．（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四面體中，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．求證：
（1）直線面；
（2）平面面．
【分析】（1）根據(jù)線面平行關(guān)系的判定定理，在面內(nèi)找一條直線和直線平行即可，根據(jù)中位線可知，面，面，滿足定理?xiàng)l件；
（2）需在其中一個(gè)平面內(nèi)找一條直線和另一個(gè)面垂直，由線面垂直推出面面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可知面，而面，滿足定理所需條件．
【解答】證明：（1），分別是，的中點(diǎn)．
是的中位線，，
面，面，直線面；
（2），，，
，是的中點(diǎn)，
又，面，
面，面面
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力．
28.（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）如圖，四邊形是矩形，，，平面，，．點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解
(2)證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理分析論證即可得證.
（2）利用線面平行的判定定理分析論證即可得證.
【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，又由，
而，平面，平面，
∴平面.
（2）證明：
如上圖，連接交于，連接，
∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
∴.
又∵平面，平面，
∴平面.
五．直線與平面垂直
29．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）設(shè)，，均為直線，其中，在平面內(nèi)，則“”是“且”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【分析】由題意可知：時(shí)，由線面垂直性質(zhì)定理知，且．但反之不能成立，由充分必要條件概念可獲解．
【解答】解：，，均為直線，，在平面內(nèi)，且（由線面垂直性質(zhì)定理）．
反之，如果且推不出，也即時(shí)，也可能平行于．
由充分必要條件概念可知，命題中前者是后者成立的充分非必要條件．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面垂直和充分必要條件的有關(guān)知識(shí)．主要注意兩點(diǎn)：
（1）線面垂直判定及性質(zhì)定理．
（2）充分必要條件的判定，要注意方向性，即誰(shuí)是誰(shuí)的．
30．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）在中，，，平面，，則點(diǎn)到的距離為 ．
【分析】由是等腰三角形所在平面外一點(diǎn)，平面，我們易得，取的中點(diǎn)，則，且，利用勾股定理我們易求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即點(diǎn)到的距離．
【解答】解：如下圖所示：
設(shè)為等腰三角形底面上的中點(diǎn)，則長(zhǎng)即為點(diǎn)到的距離
又即為三角形的中線，也是三角形邊上的高
，，易得
在直角三角形中，又
故答案為
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間點(diǎn)、線、面之間的距離，其中利用三角形的性質(zhì)，做出即為點(diǎn)到的垂線段是解答本題的關(guān)鍵．
32．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，矩形的長(zhǎng)，寬，若平面，矩形的邊上至少有一個(gè)點(diǎn)，使得，則的范圍是 ．
【分析】依據(jù)三垂線定理，要使，必須有，即以為直徑的圓應(yīng)與有公共點(diǎn)即可，從而可求的范圍．
【解答】解：平面，平面，
；
要使，依三垂線定理得，必須有，而為矩形的邊上的一個(gè)點(diǎn)，
以為直徑的圓應(yīng)與有公共點(diǎn)，
，寬，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
32．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知正四棱柱，
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面
【分析】（1）根據(jù)正四棱柱特點(diǎn)結(jié)合線面垂直的判定即可證明；
（2）通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)并結(jié)合面面平行的判定即可證明．
【解答】證明：（1）因?yàn)檎睦庵?，所以平面?br>且四邊形為正方形，所以，
又因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)椋?，平面，所以平面?br>（2）因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形?br>所以，又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，
因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形?br>所以，又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，
又因?yàn)椋?，平面，所以平面平面?br>【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定定理，考查面面平行的判定定理，是中檔題．
33．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面．
【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，則，由此能證明平面．
（2）推導(dǎo)出，，，從而平面，，平面，，，由此能證明平面．
【解答】證明：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，
底面是正方形，是的中點(diǎn)，
是的中點(diǎn)，，
平面，平面，平面．
（2）底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，
，，，
，平面，
平面，，
，平面，
平面，，
，，平面．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
34．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)月考）三棱錐中，，分別為，中點(diǎn)，，．
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的大小．
【分析】（1）連接，證明，，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）取的中點(diǎn)，連接、、，找到異面直線與所成角，求出相關(guān)線段長(zhǎng)，解三角形，即可求得答案．
【解答】解：（1）證明：連接，，為的中點(diǎn)，
，，且，
又，為的中點(diǎn)，
，且，
在中，，
，即，
又，，平面，
平面．
（2）取的中點(diǎn)，連接、、，
由為的中點(diǎn)，知，，
直線與所成的角就是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，
在中，，，
由平面，平面，所以，
是直角三角形斜邊上的中線，，
在中，由余弦定理可得：，
由于異面直線所成角的范圍為，
所以異面直線與所成角的大小為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直以及線面角的求法，屬于中檔題．
六．平面與平面平行
35．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是
A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行B．內(nèi)有兩條相交直線與平行
C．，平行于同一條直線D．，垂直于同一平面
【分析】由平面與平面平行的判定逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．
【解答】解：內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，不一定有，也可能相交，故錯(cuò)誤；
內(nèi)有兩條相交直線與平行，則，反之成立，故正確；
，平行于同一條直線，不一定有，也可能相交，故錯(cuò)誤；
，垂直于同一平面，不一定有，也可能相交，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面平行的判定，考查充分必要條件的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
36．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）在空間中，已知命題的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等且不為零，命題：平面平面，則是的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【分析】由線面平行的性質(zhì)結(jié)合平面與平面的位置關(guān)系判斷即可．
【解答】解：當(dāng)平面平面時(shí)，的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等且不為零，
當(dāng)?shù)娜齻€(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等且不為零時(shí)，平面可能與平面相交，
例如當(dāng)平面且，的中點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，
的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等且不為零，但平面與平面相交，
即是的必要不充分條件．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的性質(zhì)和面面的位置關(guān)系，屬于中檔題．
37．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與所成角的正切值．
【分析】（1）由已知可證四邊形是平行四邊形，從而，可證平面，再證平面，可證平面平面；
（2）為直線與所成角，由可求．
【解答】（1）證明：連接，
，分別是，的中點(diǎn)，
且，
四邊形是平行四邊形，，
又，，
平面，平面，
平面，
，分別是，的中點(diǎn)，
，，
，平面，平面，
平面，又，，平面，
平面平面；
（2）解：由（1）知，
為直線與所成角，
在中，，
，所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面平行的證明，以及線線角的求法，屬中檔題．
七．平面與平面垂直
38．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）在三棱錐中，若，，那么必有
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【分析】運(yùn)用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，結(jié)合條件和三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論．
【解答】解：在三棱錐中，若，，且，
可得平面，
由平面，可得平面平面，
由平面，可得平面平面，故正確；
若平面平面，又平面平面，平面平面，
可得平面，，與矛盾，故錯(cuò)誤；
若平面平面，又平面平面，可得平面，，不一定成立，故錯(cuò)誤；
若平面平面，又平面平面，可得平面，則，不一定成立，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間面面的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于中檔題．
39．（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)期末）已知，表示兩個(gè)不同的平面，為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的 條件（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選出一種填空．
【分析】可以想象兩平面垂直，平面內(nèi)的直線和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面內(nèi)，所以由得不出，而由，能得到，這根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到，所以是的必要不充分條件．
【解答】解：由，得不出，因?yàn)閮善矫娲怪?，其中一平面?nèi)的直線可以和另一平面平行；
若，，則根據(jù)面面垂直的判定定理得到；
，是的必要不充分條件．
故答案為必要不充分．
【點(diǎn)評(píng)】考查面面垂直時(shí)平面內(nèi)的直線和另一平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理，以及充分條件、必要條件、必要不充分條件的概念．
40．（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，在三棱錐中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，平面平面．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面．
【分析】（1）線面平行的定理的應(yīng)用，注意一定要有面內(nèi)，面外的說(shuō)明；
（2）面面垂直定理的性質(zhì)定理及判定定理的應(yīng)用．
【解答】證明：如圖所示：（1），分別為棱，的中點(diǎn)，
，
，，
所以面；
（2），點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，
，又平面平面，
平面平面，，面，又，
平面平面．
【點(diǎn)評(píng)】考查線面平行定理的應(yīng)用及面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
41．（2023秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面．
【分析】（1）連接與交于點(diǎn)，連接，證明四邊形是平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理，即可證明平面；
（2）證明平面平面，只需證明平面．
【解答】證明：（1）連接與交于點(diǎn)，連接，
為的中點(diǎn)，
且，
為的中點(diǎn)，
且，
且，
四邊形是平行四邊形，
，
平面，平面，
平面
（2），為的中點(diǎn)，
由（1）知，
，
底面，底面，
，
，
，
，
平面
面，
平面平面．
【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查線面平行，平面與平面垂直的判定等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
八．點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
42．（2023秋?閔行區(qū)期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，若直線平面，則線段長(zhǎng)度的最小值是
A．B．C．D．
【分析】首先找出過(guò)點(diǎn)且與平面平行的平面，然后在三角形內(nèi)找線段長(zhǎng)度的最小值即可．
【解答】解：連結(jié)，，，如圖所示，
因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)，
所以，又平面，平面，則平面，
因?yàn)?，同理可得平面，又，，平面?br>所以平面平面，
因?yàn)橹本€平面，
所以點(diǎn)在直線上，
在中，，
所以，
故當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，
所以，故．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中兩平面平行的證明，等面積法求點(diǎn)到直線的距離，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題．
43．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上異于，的動(dòng)點(diǎn)．有下列結(jié)論：
①線段的長(zhǎng)度為1；
②若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則無(wú)論點(diǎn)與如何運(yùn)動(dòng)，直線與直線都是異面直線；
③的余弦值的取值范圍為；
④周長(zhǎng)的最小值為．
其中正確結(jié)論的為
A．①②B．②③C．③④D．①④
【分析】將四面體放置在正方體中，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，求得值判斷①；取特殊點(diǎn)并求值判斷②③；利用剪展法求最小值判斷④．
【解答】解：將四面體放置在正方體中，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，
，故①正確；
當(dāng)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線與直線相交垂直，
故②錯(cuò)誤；
若在的中點(diǎn)處，則，
此時(shí)，
若在的端點(diǎn)處（在處同理），則，，
此時(shí)，故③錯(cuò)誤；
將和展開成平面圖形，如圖2，由圖2可知，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，
周長(zhǎng)的最小值為，故④正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
44．（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）在正方體中，，則直線到平面的距離為 ．
【分析】根據(jù)已知先得出平面，然后求出點(diǎn)到平面的距離，即可得出答案．
【解答】解：根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，．
又平面，平面，
所以，平面．
所以，點(diǎn)到平面的距離，即等于直線到平面的距離．
又平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為．
所以，直線到平面的距離為2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和平面的距離，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
45．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）在的二面角內(nèi)有一點(diǎn)，在平面、內(nèi)的射影、分別落在半平面內(nèi)，且，，則到的距離為 ．
【分析】由已知中在的二面角內(nèi)有一點(diǎn)，在平面、內(nèi)的射影、分別落在半平面內(nèi)，且，，我們易求出的長(zhǎng)，利用四點(diǎn)共圓及圓周角定理的推理，我們易得到到的距離即為的外接圓直徑，利用正弦定理，求出圓的直徑即可得到答案．
【解答】解：在的二面角內(nèi)有一點(diǎn)，
在平面、內(nèi)的射影、分別落在半平面內(nèi)，
又，，
，
而到的距離即為的外接圓直徑，
由正弦定理得，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間點(diǎn)、線、面之間的距離計(jì)算，二面角的平面角及求法，其中將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題后，得到到的距離即為的外接圓直徑是解答本題的關(guān)鍵．
46．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，BD∩AC＝O，M是線段D1O上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作平面ACD1的垂線交平面A1B1C1D1于點(diǎn)N，則點(diǎn)N到點(diǎn)A距離的最小值為 ．
【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可證，N在B1D1上，過(guò)N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，設(shè)NG＝x，利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于x的函數(shù)，求函數(shù)的最小值．
【解答】解：∵平面ACD1⊥平面BDD1B1，又MN⊥平面ACD1，
∴MN?平面BDD1B1，∴N∈B1D1，
過(guò)N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，將平面A1B1C1D1展開，如圖：
設(shè)NG＝x，（0≤x≤1），
∴AN＝＝＝≥，
當(dāng)x＝時(shí)，AN取最小值．
故答案為：．
47．（2023秋?松江區(qū)校級(jí)期中）某種游戲中，用黑、黃兩個(gè)點(diǎn)表示黑、黃兩個(gè)“電子狗”，它們從棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)出發(fā)沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”．黑“電子狗”爬行的路線是，黃“電子狗”爬行的路線是，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段與第段所在直線必須是異面直線是整數(shù)）．設(shè)黑“電子狗”爬完2025段、黃“電子狗”爬完2022段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、黃“電子狗”間的距離是 ．
【分析】先根據(jù)題意得到黑“電子狗”與黃“電子狗”經(jīng)過(guò)幾段后又回到起點(diǎn)得到周期，再計(jì)算黑“電子狗”爬完2025段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算黃“電子狗”爬完2022段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)，最后計(jì)算出它們的距離即可．
【解答】解：由題意，黑“電子狗”爬行路線為，即過(guò)6段后又回到起點(diǎn)，可以看作以6為周期，
同理，黃“電子狗”爬行路線為，
也是過(guò)6段后又回到起點(diǎn)，
所以黑“電子狗”爬完2025段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)點(diǎn)，
黃“電子狗”爬完2022段后到達(dá)第六段的終點(diǎn)，
此時(shí)的距離為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間兩點(diǎn)的距離，找出周期是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．
48．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，，分別為，，的中點(diǎn)．點(diǎn)在平面內(nèi)，若直線平面，則線段長(zhǎng)度的最小值是
【分析】連結(jié)，，，推導(dǎo)出平面，平面，從而平面平面，推導(dǎo)出點(diǎn)在直線上，在中，，，，由此能求出當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，并能求出最小值．
【解答】解：如圖，連結(jié)，，，
，，分別為，，的中點(diǎn)，
，平面，平面，
平面，
，平面，平面，
平面，
，平面平面，
平面，
點(diǎn)在直線上，在中，，，，
，
當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段長(zhǎng)度的最小值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
49．（2023秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在幾何體中，已知平面，且四邊形為直角梯形，
，，．
（1）求證：平面平面；
（2）若與平面所成的角為，求點(diǎn)到平面的距離．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用平面幾何知識(shí)分析底面形狀，得到，進(jìn)而結(jié)合已知條件底面，利用線面垂直的判定定理證得線面垂直，進(jìn)一步可得面面垂直；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用面面垂直的判定定理可得平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)定理得到到平面的垂線，垂足在上，根據(jù)已知線面角由的長(zhǎng)度求得，即為到平面的距離．
【解答】（1）證明：連接，，為直角，，，
又，，
又，
為等腰直角三角形，，
又底面，，
又，，平面，
平面，
由面面垂直的判斷定理可得平面平面．
（2）平面，是與平面所成的角，
故由已知得，
在中，過(guò)作，垂足為，
則到斜邊的距離，
平面，平面，平面平面，
又平面平面，
，平面，
平面，
即就是到平面的距離，
到平面的距離為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查面面垂直的證明，點(diǎn)面距離的計(jì)算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等題．
50．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）如圖，是圓柱的一條母線，是底面的一條直徑，是圓上一點(diǎn)，且，．
（1）求直線與平面所成角的大??；
（2）求點(diǎn)到平面的距離．
【分析】（1）由，得出平面，故而即為所求角，利用勾股定理得出，即可得出；
（2）過(guò)作，垂足為，通過(guò)證明平面平面得出平面，利用等面積法求出；
【解答】解：（1）平面，平面，
，
是圓的直徑，
，
又平面，平面，，
平面．
是與平面所成的角．
，，
．
直線與平面所成角的大小為．
（2）過(guò)作，垂足為，
由（1）得平面，平面，
平面平面，
又平面平面，平面，，
平面．
，．
．
即到平面的距離為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定，空間角的計(jì)算，屬于中檔題．

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