數(shù)學(xué)試題
（全卷共四個(gè)大題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；
2．作答前認(rèn)真閱讀試卷上的注意事項(xiàng)；
3．作圖（包括輔助線）請(qǐng)一律用黑色2B鉛筆完成；
4．考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將答題卡收回．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．
1.下列是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.估計(jì)的值在( )
A. 和之間B. 和之間C. 和之間D. 和之間
3.如圖是用棋子擺成的圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第個(gè)圖案需要的棋子個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D.
4.下列命題的逆命題是假命題的是( )
A. 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B. 矩形的對(duì)角線相等且互相平分
C. 菱形的每一條對(duì)角線都能平分所在一組對(duì)角 D. 正方形的四條邊都相等
5.電影長(zhǎng)津湖講述了一段波瀾壯闊的歷史，一上映就獲得全國(guó)人民的追捧已知第一天票房約為億元，前三天票房累計(jì)約億元若每天票房的增長(zhǎng)率都為，依題意可列方程為( )
A. B. C. D.
6.用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為( )
A. B. C. D.
7.已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在和之間不包括這兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：；；；；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）
A. 個(gè)B. 個(gè)C. 個(gè)D. 個(gè)
9 ．如圖，在正方形 ABCD 中AB = 6 ，點(diǎn) E 是對(duì)角線 AC 上的一點(diǎn)，連接DE ，過(guò)點(diǎn) E 作 EF 丄 ED ，交 AB 于點(diǎn) F，以DE, EF 為鄰邊作矩形DEFG ，連接AG ，若 F 恰為 AB 的 中點(diǎn)，則 AG 的長(zhǎng)為 ( )
A ． B ． C ． D ．
10 ．已知 ．下列說(shuō)法：
①當(dāng)b = —5 時(shí)，若T(x) . G(x) = 0 ，則x 的值為 0 或 3；
②當(dāng)a = —2 時(shí)，若T(x)+ F (x) = 7 ，則關(guān)于x 的方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
③若a = 1 ， b = 2 ，則x = 5 時(shí)， | F(x) —T(x) + 3x | + | (x — 3)G(x) + 3 | 有最小值 8 .
其中正確的個(gè)數(shù)是 ( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
第8題圖 第9題圖 第15題圖 第16題圖
二、填空題（本大題共8小題，共32分）將每小題的答案直接填寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上．
11．已知一個(gè)正多邊形的內(nèi)角為140°，這個(gè)多邊形的條數(shù)為 .
12 ．把二次函數(shù)y = 2x2 的圖象向右平移 1 個(gè)單位，再向下平移 2 個(gè)單位，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式是 .
13 ．已知二次函數(shù)y = —x2 + 6x — 5 ，當(dāng)1 ≤ x ≤ 4 時(shí)，函數(shù)的最小值為 .
14 ．若是關(guān)于 x 的二次函數(shù)，則 m 的值為 .
15 ．如圖所示的是某廣場(chǎng)噴水池噴出的拋物線形水柱的平面圖，若水柱噴出的豎直高度y(m) 與水平距離
x(m)滿足 ，則水柱的最大高度是 米.
16 ．如圖，在 △ABC 中，已知 AB = ， BC = 5 ，以 AC 為一邊作正方形ACDE ，
使得點(diǎn)B ， E 落在直線 AC 的兩側(cè)，連接BE ，以 AB 為一邊作正方形ABFG ，使得點(diǎn)C ， G 落在直線 AB 的兩側(cè)，連接 CG ．若 ∠ABC=45°，則BE 的長(zhǎng)為 .
17 ．若關(guān)于x 的不等式組無(wú)解，且關(guān)于y 的分式方程有整數(shù)解，則滿足
條件的所有整數(shù)a 的和為 .
18 ．對(duì)于一個(gè)三位自然數(shù) m ，將各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別乘以 3 后，取其個(gè)位數(shù)字，得到三個(gè)新的數(shù)字x, y, z ，我 們對(duì)自然數(shù) m 規(guī)定一個(gè)運(yùn)算： F (m) = x2 + y2 + z2 ，例如： m = 136 ，其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別乘以 3 后，再取其個(gè)位數(shù)字分別是：3, 9, 8 ，則F(136) = 32 + 92 + 82 = 154 ．則F(432)
=；若已知兩個(gè)三位數(shù)p = , q = （a, b 為整數(shù)，且2 ≤ a ≤ 5, 2 ≤ b ≤ 5 ），若p + q 能被 7 整除，則F(p + q) 的最大值是 .

三、（解答題：（本大題共8小題，其中19題8分，其余每題10分，共78分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過(guò)程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上．
19 ．(1)解方程： x2 + 4x -12 = 0 ； （2）化簡(jiǎn)：
20 ．為加強(qiáng)暑期安全教育，由中國(guó)教育電視臺(tái)制作了“暑期安全一直在行動(dòng)”系列科普宣傳視頻內(nèi)容在多媒體 平臺(tái)播出，廣大學(xué)生家長(zhǎng)及時(shí)選擇內(nèi)容進(jìn)行了觀看．為了解學(xué)生對(duì)暑期安全知識(shí)的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)從該校七、 八年級(jí)中各隨機(jī)抽取 10 名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)試（測(cè)試成績(jī)?yōu)榘俜种?，學(xué)生得分均為整數(shù)且用 x 表示），并對(duì)測(cè) 試數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行如下收集、整理和分析：
【收集數(shù)據(jù)】七年級(jí) 10 名學(xué)生測(cè)試成績(jī)：75 ，83 ，76 ，82 ，75 ，83 ，95 ，80 ，68 ，83 八年級(jí)的成績(jī)整理如表：其中分布在80 < x < 90 這一組的成績(jī)是：85 ，85 ，86 ，84 ，85
【整理數(shù)據(jù)】 【分析數(shù)據(jù)】
【解決問(wèn)題】根據(jù)以上信息，解答下面問(wèn)題：
(1)填空： a =______ ，b = ______ ， c = ______；
(2)請(qǐng)你根據(jù)【分析數(shù)據(jù)】中的信息，判斷哪個(gè)年級(jí)的成績(jī)比較好，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
(3)七八年級(jí)共有學(xué)生 1800 人，按規(guī)定，若學(xué)生測(cè)試成績(jī)超過(guò) 80 分為“優(yōu)秀” ，估計(jì)這兩個(gè)年級(jí)安全知識(shí)學(xué)習(xí) 優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)有多少？
21 ．在學(xué)習(xí)了平行線后，小西進(jìn)行了如下思考，夾在一組平行線間的線段的垂直平分線，與平行線的兩個(gè)交點(diǎn)和 線段兩端點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是什么四邊形．請(qǐng)根據(jù)小西的思路完成以下作圖與填空.
已知：如圖， AD ⅡBC ，連接 AC .
(1)用直尺和圓規(guī)完成以下基本作圖：作線段AC 的垂直平分線EF ， EF 分別交BC ， AC ， AD 于點(diǎn)E ， O ， F ， 連接 AE ， CF ． (2)求證：四邊形AECF 是菱形.
證明：∵AD ∥BC ， ∴ ① 。
∵ EF 是 AC 的垂直平分線， ∴ OA = OC ， AE = CE ，
在△AOF 和 △COE 中，
∴△AOF≌△COE（ASA），∴ ③ 。
∴ 四邊形 AECF 是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
∴ AE = CE ， ∴四邊形 AECF 是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.
在作圖過(guò)程中，小西進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：夾在一組平行線間的線段的垂直平分線，與平行線的兩個(gè)交點(diǎn)和線段兩端 點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是 ④ 。
22 ．小明和小玲游覽一處景點(diǎn)，如圖，兩人同時(shí)從景區(qū)大門A 出發(fā)，小明沿正東方向步行 60 米到一處小山B 處，再沿著BC 前往寺廟C 處，在B 處測(cè)得亭臺(tái)D 在北偏東15° 方向上，而寺廟C 在B 的北偏東30° 方向上， 小玲沿著A 的東北方向上步行一段時(shí)間到達(dá)亭臺(tái)D 處，再步行至正東方向的寺廟C 處.
(1)求小山B 與亭臺(tái)D 之間的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）
(2)若兩人步行速度一樣，則誰(shuí)先到達(dá)寺廟C 處．（結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：
≈ 1.41 ， ≈ 1.73 ， ≈ 2.45）
23．2024 年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干旱，一居民小區(qū)的部分綠化樹枯死．小區(qū)物業(yè)管理公司決定補(bǔ)種綠化樹， 計(jì)劃購(gòu)買小葉榕和香樟共 50 棵進(jìn)行栽種．其中小葉榕每棵 680 元，香樟每棵 1000 元，經(jīng)測(cè)算，購(gòu)買兩種樹共需 38800 元． (1)原計(jì)劃購(gòu)買小葉榕、香樟各多少棵？
(2)實(shí)際購(gòu)買時(shí)，經(jīng)物業(yè)管理公司與商家協(xié)商，每棵小葉榕和香樟的售價(jià)均下降10m元（ m ≤ 10) ），且兩種樹的售 價(jià)每降低 10 元，物業(yè)管理公司將在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上多購(gòu)買小葉榕 2 棵，香樟 1 棵．物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買的費(fèi) 用比原計(jì)劃多3600 元，求物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買兩種樹共多少棵？
24 ．如圖，在Rt△ABC 中，∠A = 90° ，∠B=60° ，D 為 AC 上一點(diǎn)，且CD = AB = 4 ．動(dòng)點(diǎn) P 以每秒 2 個(gè)單位 長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A 出發(fā)，沿著 A → B → C 勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C 時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 x 秒，△CDP 的 面積為y ．
直接寫出y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，
并注明 x 的取值范圍；
請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出y 的函數(shù)圖象
并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
(3)若 與y 的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出 t 的取值范圍 .
年級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七年級(jí)
80
81
b
八年級(jí)
80
c
85
年級(jí)
0 < x ≤ 70
70 < x ≤ 80
80 < x ≤ 90
90 < x ≤ 100
七年級(jí)
1
4
a
1
八年級(jí)
0
4
5
1
25 ．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線，為軸上一點(diǎn)，直線與拋物線交于另一點(diǎn)．
求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
試在線段下方的拋物線上求一點(diǎn)，使得的面積最大，并求出最大面積；
在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，軸上一點(diǎn)使得是等腰直角三角形？如果存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理．

26 ．已知如圖，△ABC 是等邊三角形，點(diǎn) D 是直線BC 上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AD ，將AD 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120° 后得到 AE ，連接DE .
(1)如圖 1 ，當(dāng) AD 丄BC 時(shí)， DE 與AC 相交于點(diǎn) F，若AB = 2 ，求EF 的長(zhǎng)；
(2)如圖 2 ，當(dāng)點(diǎn) D 在BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE ，延長(zhǎng)CA 交BE 于點(diǎn) N，點(diǎn) M 是DE 的中點(diǎn)，連接MN ，求證：MN - AN = ;(3)如圖 3 ，點(diǎn) D 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)CE 最短時(shí)，直接寫出 的值.
2024-2025學(xué)年上期教學(xué)大練兵(一)
九年級(jí)數(shù)學(xué)試題答案
【答案】
一選擇題
二填空題
11. 12. 13. 14.
15. 16. 13 17. 18. ；
19. 解：（1）解： x2 + 4x 一12 = 0
x2 + 4x = 12 ，
x2 + 4x + 4 = 12 + 4 ，
(x + 2)2 = 16
開方得： x + 2 = ±4 ， ∴ x1 = 一6 ， x2 =2 ； .
20. (1)4；83； 84.5
(2)八年級(jí)學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)更好，理由見(jiàn)解析
(3)990 人
【詳解】（1）解： a = 10 一1一 4 一1 = 4 ；
∵83 出現(xiàn)的次數(shù)最多，共 3 次， ∴七年級(jí)的眾數(shù)是 83 ，即b = 83 ；
按從小到大排列，第 5 ，第 6 個(gè)成績(jī)應(yīng)是 85 ，85，
故八年級(jí)的中位數(shù)是 = 84.5 ，即c = 84.5 ；
故答案為：4；83； 84.5 .
（2）解：可以推斷出八年級(jí)學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)更好，
理由為兩班平均數(shù)相同，而八年級(jí)的中位數(shù)以及眾數(shù)均高于七年級(jí)， 說(shuō)明八年級(jí)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)更好（答案不唯一）.
解：1800× = 1800× = 990
答：估計(jì)這兩個(gè)年級(jí)安全知識(shí)學(xué)習(xí)優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)有 990 人.
21. 【詳解】（1）如圖所示：

①?FAO ???ECA， ②AO ??CO ，③OF ??OE ，④菱形
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
B
D
D
C
D
C
D
C
22.
23.
24..
(2)圖象見(jiàn)解析，當(dāng)0 < x ≤ 2 時(shí)，函數(shù)值隨 x 的增大而增大（答案不唯一）
(3) 0 ≤ t ≤ 一6
【詳解】（1）解：①當(dāng)點(diǎn) P 在 AB 上時(shí)，即0 ≤ x ≤ 4 時(shí)，
∵ AP = 2x ， CD = AB = 4 ，
當(dāng)點(diǎn) P 在BC 上時(shí)，即 2 < x ≤ 6 時(shí)， 過(guò)點(diǎn) P 作PE 丄 AC 于 E ，如圖，
∵ ∠ A = 90°， ∠B=60°，
∴ ∠C = 90°一 ∠B = 30°， ∴ BC = 2AB = 8 ，
∵ PC = AB + BC 一 2x = 12 一 2x ，
綜上，
（2）解：畫出的函數(shù)圖象如下：
性質(zhì)：當(dāng)0 < x ≤ 2 時(shí)，函數(shù)值隨 x 的增大而增大（答案不唯一） （3）解：當(dāng)l 過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則t = 0 ；當(dāng)l 過(guò)點(diǎn)(6, 0) 時(shí)， 6 + t = 0 ， 則t = 一6 ，
當(dāng)l 在l1，l2 間平行移動(dòng)時(shí)，直線l : y1 = x + t 恰好與圖象有一個(gè)交點(diǎn)，但不與l1 重合， 此時(shí)0 < t ≤ 一6 .
∴ 0 ≤ t ≤ 一6 .
25.
26.
∵ △ABC 是等邊三角形，
∴ AB = AC ， ∠BAC = ∠ACB = 60° ， ∴ ∠BAK = ∠ACD = 120° ，
∴△ACD≌△BAK(SAS)，
∴ AD = BK ， ∠KBA = ∠CAD ，
由旋轉(zhuǎn)知， ∠DAE = 120° ， AE = AD ， ∴ AE = BK ，
∴ ∠KBA + ∠BAE = ∠CAD +120° + ∠KAE = 180° ， ∴ BK∥AE ，
∴ ∠KBN = ∠AEN ， ∠BKN = ∠EAN ，
∴△AEN≌△KBN(ASA) ，
∴ BN = EN ， AN = NK = ，
∵點(diǎn) M 是DE 的中點(diǎn)，
∴ MN 是△BDE 的中位線，
∴ BD = 2MN ，
∵ BD - CD = BC ，
∴ 2NM - 2AN = BC ，
（3）如圖 3 所示，將 AB 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120° ，得到AG ，連接 GE ，延長(zhǎng)GE 交DC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H，設(shè) 等邊△ABC 的邊長(zhǎng)為 2，
則AG = AB = 2 ， ∠BAG = 120°， ∵ AE = AD ， ∠DAE = 120° ，
∴ ∠BAG = ∠DAE = 120° ，
∴ ∠BAG - ∠BAE = ∠DAE - ∠BAE ， 即∠DAB = ∠EAG ，
∴△ABD≌△AGE(SAS)，
∴ ∠AGE = ∠ABD = 180°- ∠ABC = 120° ，
∴E 點(diǎn)在直線 GE 上運(yùn)動(dòng)， ∴當(dāng)CE 丄 GE 時(shí)CE 最短， ∵ ∠ABC = 60° ，
∴ ∠BAG + ∠ABC = 180° ， ∴ AG∥CH ，
∴ ∠GAC = ∠ACB = 60° ， ∴ ∠AGH + ∠GAC = 180° ， ∴ AC∥GH ，
∴四邊形 ACHG 是平行四邊形，
∵ AG = AC = 2 ，
∴ 平行四邊形ACHG 是菱形，
∴ CH = GH = 2 ，
當(dāng)CE 丄 GE 時(shí)，
∵ ∠H = ∠ACB = 60° ， ∴ ∠ECH = 30° ，
∴ EG = GH - EH = 1， ∴ BD = 1，
∵ ∠ACE = ∠CEH = 90° ， CE = EH=
∴ AE = ·
∴ AD =

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