說明：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，貼好條形碼。
2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2b鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上。字體工整，筆跡清楚。
3.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效；在試卷上、草紙上答題無效。
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．設(shè)，，則
A． B．C． D．，或
2．如圖，在圓中，已知弦的長(zhǎng)度為，則
A． B． C． D．
3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，則
A． B． C． D．
4．若，是兩條直線，，是兩個(gè)平面，且，.設(shè)，，
則是的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．若函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范
圍是
A． B． C． D．
6．棱長(zhǎng)為的正方體中，棱的中點(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，則三棱
錐的外接球的表面積為
A． B． C． D．
7．已知正實(shí)數(shù)滿足，則
A． B． C． D．
8．以“冰雪同夢(mèng) 亞洲同心”為主題的第九屆亞冬會(huì)于年月日在哈爾濱盛大開幕，場(chǎng)
館上方懸掛的萬朵小雪花片裝置，讓觀眾仿佛置身于冰雪童話之中．理論上，一片雪
花的周長(zhǎng)可以無限長(zhǎng)，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”．它可以這樣畫：
如圖，畫一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，第一步，把每一邊三等分；第二步，取三等分后的一
邊中間的一段，以此為邊向外作正三角形，并把這中間的一段擦掉，形成雪花曲線；重
復(fù)上述兩步，形成雪花曲線，，…，，記雪花曲線的周長(zhǎng)為，則數(shù)列
的最大項(xiàng)為

A． B． C． D．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．在的展開式中，則
A．各二項(xiàng)式系數(shù)的和是 B．各項(xiàng)系數(shù)的和是
C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng) D．的系數(shù)是
10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是
A．的周期為
B．的圖象關(guān)于對(duì)稱
C．在上恰有個(gè)零點(diǎn)
D．若在上單調(diào)遞增，則的最大值為
11．牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法───牛頓法. 具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面過程得到；一直進(jìn)行下去，得到，，…，，使得當(dāng)很大時(shí)，很小，我們可以把的值作為的近似值. 已知函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，取，則下列說法正確的是
A．切線的方程為 B．
C． D．若，則
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。其中第14題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分。
12．已知，則 ．
13． 已知復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為 ．
14．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．已知，分別為雙曲線：，的左、右焦點(diǎn)，過右支上一點(diǎn)作雙曲線的切線與軸交于點(diǎn)，設(shè)為的內(nèi)心，且，，則 ， ．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（本小題滿分13分）
已知等差數(shù)列的公差，且滿足，，記是數(shù)列的前項(xiàng)
和，且滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16．（本小題滿分15分）
是由中國(guó)杭州的公司開發(fā)的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度學(xué)習(xí)的決心. 主要功能為?內(nèi)容生成、?數(shù)據(jù)分析與可視化、?代碼輔助、?多模態(tài)融合、?自主智能體等，在?金融領(lǐng)域、?醫(yī)療健康、?智能制造、?教育領(lǐng)域等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景. 為提高的應(yīng)用能力，某公司組織，兩部門的名員工參加培訓(xùn).
（Ⅰ）此次培訓(xùn)的員工中共有名部門領(lǐng)導(dǎo)參加，恰有人來自部門. 從這
名部門領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取人，記表示選取的人中來自部門的人數(shù)，求的分
布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）此次培訓(xùn)分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概
率分別為，，，每輪培訓(xùn)結(jié)果相互獨(dú)立，至少兩輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的員工才能合格.
（?。┣竺课粏T工經(jīng)過培訓(xùn)合格的概率；
（ⅱ）經(jīng)過預(yù)測(cè)，開展培訓(xùn)后，合格的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤(rùn)萬元，不合格的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤(rùn)萬元，且公司需每年平均為每位參加培訓(xùn)的員工支付萬元的其他成本和費(fèi)用. 試估計(jì)該公司，兩部門培訓(xùn)后的年利潤(rùn)（公司年利潤(rùn)員工創(chuàng)造的利潤(rùn)其他成本和費(fèi)用）.
17．（本小題滿分15分）
已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知，為橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，，點(diǎn)為垂
足，求證：直線過定點(diǎn)；并判斷是否存在定點(diǎn)，使得為定值．若存
在，求出定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
18．（本小題滿分17分）
如圖，直四棱柱中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形， ，，棱的中點(diǎn)為．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）矩形以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至矩形，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
19．（本小題滿分17分）
函數(shù)在處的階帕德逼近定義為：
，且滿足，，，…，
其中，…，．已知函數(shù)在處的階帕德逼近．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）比較與的大?。?br>（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍， 并證明：．
.

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