1. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進行處理，或者特殊值法處理.
【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量
由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數(shù)列公差，則，則.
故選：D
2. 已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列中，存在兩項使得且，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用給定條件，求出等比數(shù)列的公比，進而求出m，n的關(guān)系等式，再利用“1”的妙用求解作答.
【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，由得：，
即，解得：，又，，則，即，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值是.
故選：A
3. 記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（ ）．
A. 120B. 85C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；
方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．
【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，，所以，否則，
從而，成等比數(shù)列，
所以有，，解得：或，
當(dāng)時，，即為，
易知，，即；
當(dāng)時，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運算．
4. 以斐波那契數(shù)：1，1，2，3，5，…為邊的正方形拼成一個長方形，每個正方形中畫圓心角為的圓弧，這些圓弧連接而成的弧線也稱作斐波那契螺旋線，下圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一段圓弧所對應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面則該圓錐的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意得到扇形的半徑，利用圓錐底面周長等于扇形弧長，求得圓錐底面的半徑，進而計算表面積.
【詳解】根據(jù)已知可得所求扇形半徑為，即圓錐母線長為，
設(shè)圓錐底面半徑為，則，，
所以圓錐表面積為，
故選:A.
5. 已知是公差不為0的等差數(shù)列，是其前項和，則“對于任意，都有”是“的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式和充分性、必要性的概念求解即可.
【詳解】因為數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，所以，
當(dāng)時，沒有最大值，所以由對于任意，都有可得，所以，充分性成立；
當(dāng)時，，所以必要性不成立，
故“對于任意，都有”是“的充分不必要條件，
故選：A
6. 設(shè)數(shù)列的前項之積為，滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可得，進而可得的值．
【詳解】由，得，即，解得，
當(dāng)時，，顯然，則，
因此數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，，
則，所以.
故選：C
7. 已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前18項和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累乘法，求得其通項公式，根據(jù)三角函數(shù)的計算，求得數(shù)列的周期，整理數(shù)列的通項公式，利用分組求和，可得答案.
【詳解】由，則，
即，
顯然，滿足公式，即，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
則數(shù)列是以為周期的數(shù)列，由，則，
設(shè)數(shù)列的前項和為，
.
故選：D.
8. 已知數(shù)列的前項和為，，．則下列選項正確的（ ）
A. B. 數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列
C. 對任意的D. 的最小正整數(shù)的值為15
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)的遞推關(guān)系可得，從而可得，由此可得的通項和的通項，從而可逐項判斷正誤.
【詳解】依題意，，由，，得，
又，則，即，而，
因此數(shù)列為等比數(shù)列，，即，，AC錯誤；
對于B，，不是常數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列，B錯誤；
對于D，，數(shù)列各項均為正，因此數(shù)列是遞增數(shù)列，
，
，所以的最小正整數(shù)n的值為15，D正確.
故選：D
二、多選題：共2個小題．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．
9. 已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則是等差數(shù)列
B. 若是等差數(shù)列，則三點、、共線
C. 若，則
D. 若是等比數(shù)列，則、、一定成等比數(shù)列
【答案】BC
【解析】
【分析】計算判斷A；結(jié)合等差數(shù)列前項和公式，借助斜率判斷B；利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合倒序相加法計算判斷C；舉例說明判斷D.
【詳解】對于A，由，得，
，數(shù)列不是等差數(shù)列，A錯誤；
對于B，令為等差數(shù)列公差為，則，，
，，，，所給三點共線，B正確；
對于C，由，得，
，因此，C正確；
對于D，令，是等比數(shù)列，而，
數(shù)列不是等比數(shù)列，D錯誤.
故選：BC
10. 設(shè)為的單調(diào)遞增數(shù)列，且滿足，則下列選項正確的是（ ）
A.
B. 至多有種取值可能
C.
D. （表示大于或等于的最小整數(shù)，表示小于或等于的最大整數(shù)）
【答案】AC
【解析】
【分析】由條件化簡得，則，或，A項代入求解可得；B項結(jié)合每項求解時遞推關(guān)系都有兩種選擇，利用分步計數(shù)原理可得；C項利用變化范圍利用放縮法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和即可證明；D項，由范圍及符號定義可求.
詳解】由得，
，
所以，
因為為的單調(diào)遞增數(shù)列，
所以，即，
所以，或.
A項，因為，
令，并將代入上式可得，
解得或，又為的單調(diào)遞增數(shù)列，
故，故A正確；
B項，由A項知，
要確定的取值，需要個步驟：
第1步，由確定有2種選擇；
第2步，由確定有2種選擇；
；
第2023步，由確定有2種選擇，
每一步都有兩種選擇（要么滿足，要么滿足.），
故由分步乘法計數(shù)原理可知，至多有種取值可能.
考慮到：若，根據(jù)或，
可得或即或；
可得或或或.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
數(shù)列中，任意，，即所有可能的取值有個.
（i）當(dāng)時，由，則根據(jù)或，
可得或，即或.
即的所有可能取值為個，即當(dāng)時命題成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)時，命題成立，
即，，所有可能的取值有個.
則根據(jù)或，
可得或，
故所有可能的取值為，共個.
故當(dāng)時，命題也成立.
綜合（i）（ii）可知，對任意，，即所有可能的取值有個，得證.
由已證命題結(jié)論，故的所有可能取值為
共個，故B錯誤；
C項，，
①若以后各項的確定，每步選擇都選（時也滿足），
即對任意恒成立，且，
則是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
即，所以；
②若以后各項的確定，每步選擇都選，
即對任意恒成立，且，
則是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，
即當(dāng)時，，所以；
③若數(shù)列以后各項的確定，每步都隨機選擇或兩種中的一種，
結(jié)合①②可知，不論每步如何選擇，對隨著選擇變化的任意數(shù)列，
都有對任意恒成立.
由上結(jié)論可知，，
所以有，又，
則
，且當(dāng)時，.
所以，故C正確；
D項，由，
則
設(shè)，則 ，，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，故D錯誤；
故選：AC．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題的關(guān)鍵有以下兩點，一是理解兩種遞推關(guān)系或的選擇不確定，每一項求解時遞推關(guān)系的不同選擇導(dǎo)致數(shù)列的變化；二是放縮法的使用，應(yīng)用分式放縮，將不易求和的數(shù)列問題通過放縮轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的易求和問題，從而證明不等式.
三、填空題：本題共2小題
11. 已知數(shù)列滿足，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】變形給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出通項.
【詳解】由，得，即，
因此數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，，
所以
故答案為：
12. 正方形位于平面直角坐標(biāo)系上，其中，，，．考慮對這個正方形執(zhí)行下面三種變換：（1）：逆時針旋轉(zhuǎn)．（2）：順時針旋轉(zhuǎn)．（3）：關(guān)于原點對稱．上述三種操作可以把正方形變換為自身，但是，，，四個點所在的位置會發(fā)生變化．例如，對原正方形作變換之后，頂點從移動到，然后再作一次變換之后，移動到．對原來的正方形按，，，的順序作次變換記為，其中，．如果經(jīng)過次變換之后，頂點的位置恢復(fù)為原來的樣子，那么我們稱這樣的變換是-恒等變換．例如，是一個3-恒等變換．則3-恒等變換共________種；對于正整數(shù)，-恒等變換共________種．
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)3-恒等變換必定含可列舉求解；作用一次變換相當(dāng)于兩次變換；作用一次變換相當(dāng)于三次變換．我們記為數(shù)字1，為數(shù)字2，為數(shù)字3，作用相應(yīng)的變化就增加相應(yīng)的數(shù)字．那么如果作了次變換（其中包含個、個、個），當(dāng)是4的倍數(shù)時，就能得到一個-恒等變換．我們假設(shè)作了次變換之后得到的相應(yīng)數(shù)字除以4的余數(shù)是0，1，2，3的情況數(shù)分別為，，，.求得，，，，從而可得，利用構(gòu)造法求得，從而有，再利用累加法求得.
【詳解】3-恒等變換必定含，所以一共有，，，，，這6種3-恒等變換；
注意到，作用一次變換相當(dāng)于兩次變換；作用一次變換相當(dāng)于三次變換．我們記為數(shù)字1，為數(shù)字2，為數(shù)字3，作用相應(yīng)的變化就增加相應(yīng)的數(shù)字．那么如果作了次變換（其中包含個、個、個），當(dāng)是4的倍數(shù)時，就能得到一個-恒等變換．我們假設(shè)作了次變換之后得到的相應(yīng)數(shù)字除以4的余數(shù)是0，1，2，3的情況數(shù)分別為，，，.
把這次變換分解成次變換和第次變換，
假設(shè)經(jīng)過次變換之后余數(shù)為0．如果經(jīng)過次變換后的余數(shù)是0，則第次變換余數(shù)不可能為0；如果經(jīng)過次變換后的余數(shù)分別是1，2，3，則第次變換余數(shù)必須分別為3，2，1．其他完全類似，因此
，
，
，
．
把后三個式子相加可得，
代入第一個式子可得，．
所以是公比為3的等比數(shù)列．
已經(jīng)算出，而2-恒等變換有，，這三種，故．因此，，從而．
兩邊同乘，可得．
根據(jù)累加法可得
于是．
故答案為：6；
【點睛】關(guān)鍵點睛：
這道題的關(guān)鍵是要注意到作用一次變換相當(dāng)于兩次變換；作用一次變換相當(dāng)于三次變換．我們記為數(shù)字1，為數(shù)字2，為數(shù)字3，作用相應(yīng)的變化就增加相應(yīng)的數(shù)字．那么如果作了次變換（其中包含個、個、個），當(dāng)是4的倍數(shù)時，就能得到一個-恒等變換．假設(shè)作了次變換之后得到的相應(yīng)數(shù)字除以4的余數(shù)是0，1，2，3的情況數(shù)分別為，，，.把這次變換分解成次變換和第次變換，從而得到，，，，進而得到，至此思路就清晰明朗了.
四、解答題：本題共4小題．解答應(yīng)寫出文字說明，正明過程或演算步驟．
13. 已知為數(shù)列的前項和，，且是公差為1的等差數(shù)列．正項等比數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項；
（2）求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）計算得到，根據(jù)等比數(shù)列公式得到，計算得到答案.
（2）確定，則， ，相減計算得到答案.
【小問1詳解】
，是公差為的等差數(shù)列，，即，
當(dāng)時，，滿足通項公式，則.
是正項等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，
，而，故，，即.
【小問2詳解】
，
， ，
兩式相減得到：
故.
14. 如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．
（1）若，證明：平面；
（2）若，且二面角的正弦值為，求．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，從而 ，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；
（2）過點D作于，再過點作于，連接，根據(jù)三垂線法可知，即為二面角的平面角，即可求得，再分別用的長度表示出，即可解方程求出．
【小問1詳解】
（1）因為平面，而平面，所以，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以.
因為，所以， 根據(jù)平面知識可知，
又平面，平面，所以平面．
【小問2詳解】
如圖所示，過點D作于，再過點作于，連接，
因為平面，所以平面平面，而平面平面，
所以平面，又，所以平面，
根據(jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，
即，即．
因為，設(shè)，則，由等面積法可得，，
又，而為等腰直角三角形，所以，
故，解得，即．
15. 已知數(shù)列前項和為，且.
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，記數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，求的取值范圍；
（3）設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，請求出所有符合條件的數(shù)組；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）已知求即可；
（2）結(jié)合 (1) 求出 , 而后根據(jù) 正負(fù)進行討論;
（3）表示出 , 結(jié)合的單調(diào)性求解即可.
【小問1詳解】
因為，所以，
當(dāng)時，，解得；
由，得，
所以，整理得，
所以，所以，
所以，所以，所以是等差數(shù)列，
又，所以.
【小問2詳解】
由（1）知，
所以，
又，所以是遞增數(shù)列.
當(dāng)時，若對任意的恒成立，則；
當(dāng)時，若對任意的恒成立，則，即，
所以的取值范圍是.
【小問3詳解】
由（1）知，假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，
則，即，其中，故，即.
設(shè)，則，
故數(shù)列為遞減數(shù)列，而，故的正整數(shù)解為，
此時，故即，由的單調(diào)性可得，
所以符合條件的數(shù)組為.
16. 在平面直角坐標(biāo)系中，有點、．若以軸為折痕，將直角坐標(biāo)平面折疊成互相垂直的兩個半平面（如圖所示），則稱此時點在空間中的距離為“點關(guān)于軸的折疊空間距離”，記為．

（1）若點、、在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為、、，求證：，；
（2）若點、在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為、，試用文字描述滿足的點在平面直角坐標(biāo)系中的軌跡是什么，并求該軌跡與軸圍成的圖形的面積；
（3）若在平面直角坐標(biāo)系中，點是橢圓上一點，過點的兩條直線、分別交橢圓于、兩點，且其斜率滿足，求的最大值．
【答案】（1）證明見解析
（2）點所在軌跡是半圓：與四分之三圓：的組合曲線；
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點、、的坐標(biāo)，即可求出、的值，即可證得結(jié)論成立；
（2）對點的位置關(guān)系進行分類討論，根據(jù)求出點的軌跡方程，確定軌跡形狀，即可求得其軌跡所圍成區(qū)域的面積；
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)、兩點坐標(biāo)分別為、，設(shè)直線的方程為，可知直線的方程為，然后、兩點的位置進行分類討論，求出的取值范圍，結(jié)合弦長公式以及基本不等式可求得的最大值.
【小問1詳解】
建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，

其中為坐標(biāo)原點、軸、軸正方向與原平面中一致，
軸正方向與折疊后的軸正方向一致．
由題，空間中三點坐標(biāo)分別為、、．
因此
【小問2詳解】
由題意，空間中點的坐標(biāo)為，
（i）當(dāng)點在軸上半平面，即時，空間中點的坐標(biāo)為，
于是．化簡得．
因此在平面直角坐標(biāo)系中，點在軸上半平面的軌跡為以為圓心，以1為半徑的圓；
（ii）當(dāng)點在軸下半平面．即時，空間中點的坐標(biāo)為，
于是，化簡得．
因此在平面直角坐標(biāo)系中，點在軸下半平面的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓.
所以，點所在軌跡是半圓：與四分之三圓：的組合曲線,（如圖2）.
其與軸圍成的面積為．
【小問3詳解】
在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)、兩點坐標(biāo)分別為、．
設(shè)直線的方程為，即，
因為，所以直線的方程為．
由于與、兩點在平面直角坐標(biāo)系中的相對位置有關(guān)，
而點的位置與兩直線的斜率有關(guān)．
因此首先需要對、兩點可能的位置進行討論，并求出相應(yīng)的的范圍．
由于兩直線具有對稱性，此點位置與點位置等價，所以不妨設(shè)．
因為時，、兩點重合，與題目中交于兩點不符，舍去．
當(dāng)直線與橢圓相切時，計算此時的斜率，聯(lián)立，
整理得：①，
令，解得．
因此若使、兩點存在，需成立．
，，于是，同理，
當(dāng)、兩點存在且不重合時，有三種可能的位置關(guān)系：
（i）、同在軸上半平面；
（ii）、同在軸下半平面；
（iii）在軸上半平面，而在軸下半平面．
記橢圓左、右頂點分別為、，
則直線的斜率，的斜率，

（i）由圖3，當(dāng)直線、均高于直線（包括重合）時，、同在軸上半平面，
此時由于兩直線的對稱性，只需直線的斜率大于等于直線的斜率即可，所以，
再由前述限制，此時斜率滿足．

如圖4所示，當(dāng)點、位于軸的上半平面，即時．
、兩點空間坐標(biāo)分別為、，
因此②，
又，
代入②式可得：,，
因此，．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對空間折疊距離的理解，求得折疊后的點的坐標(biāo)是關(guān)鍵，平面解析幾何的方程思想的應(yīng)用.

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