1.已知集合U={?3,?2,?1,0,1,2}，A={x∈Z||x|0)處的切線．
(Ⅰ)當(dāng)a=0，t=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求l的方程；
(Ⅱ)若存在l經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，求實數(shù)a的取值范圍；
(Ⅲ)當(dāng)a=?1時，設(shè)點(diǎn)A(t,f(t))(t>0)，O(0,0)，B為l與y軸的交點(diǎn)，S△AOB表示△AOB的面積.求S△AOB的最小值．
21.(本小題15分)
已知無窮遞增數(shù)列{an}各項均為正整數(shù)，記數(shù)列{aan}為數(shù)列{an}的自身子數(shù)列．
(Ⅰ)若an=2n?1(n∈N?)，寫出數(shù)列{an}的自身子數(shù)列的前4項；
(Ⅱ)證明：ak+1?ak≤aak+1?aak(k∈N?)；
(Ⅲ)若數(shù)列{aan}與{aan+1}是公差分別為d1，d2的等差數(shù)列．
(i)證明：d1=d2；
(ii)當(dāng)a1=1，d1=9時，求數(shù)列{an}的通項公式．
參考答案
1.D
2.B
3.B
4.C
5.C
6.D
7.A
8.C
9.B
10.B
11. 2
12.0 (?∞,1]
13.1，?2，4(答案不唯一)
14.2 32
15.②④
16.解：(Ⅰ)在△ABC中，因為b2?a2?c2=?117ac，
所以a2+c2?b2=117ac，
由余弦定理csB=a2+c2?b22ac，
得csB=1114，
因為B∈(0,π)，
所以sinB= 1?cs2B=5 314；
(Ⅱ)選擇條件①：
因為C=2π3，
所以sinC= 32，csC=?12，
由題意得S=12absinC=15 34，
即 34ab=15 34，
所以ab=15(1)．
因為csB=1114，sinB=5 314，
所以sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC=5 314×(?12)+1114× 32=3 314，
由正弦定理asinA=bsinB，得ab=35(2)，
由①②，解得a2=9，
所以a=3；
選擇條件②：
由題意得S=12acsinB=15 34，
所以ac=21(1)．
因為b=5，且b2?a2?c2=?117ac，
所以a2+c2=58，
又(a+c)2=a2+c2+2ac=100，
所以a+c=10(2)
由(1)(2)解得a=3或a=7；
選條件③：
由sinA?sinC=1，可得sinA=1+sinC，
因為C∈(0,π)，所以sinC>0，
所以sinA>1，不成立．
綜上，選擇條件①，a=3；選擇條件②，a=3或a=7．
17.解：(Ⅰ)證明：在△ABC中，因為AB=2，BC=4，∠ABC=60°，
所以AC2=AB2+BC2?2AB×BC×csB=4+16?2×2×4×12=12．
所以AC=2 3，
又因為AC2+AB2=BC2，所以AC⊥AB．
又因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AC?平面ABCD，
所以AC⊥平面PAB；
(Ⅱ)分別取AB，BC中點(diǎn)O，E，連接OP，OE.所以O(shè)E//AC．
因為AC⊥AB，所以O(shè)E⊥AB．
又因為△PAB為等邊三角形，所以O(shè)P⊥AB．
因為AC⊥平面PAB，OP?平面PAB，所以AC⊥OP．
又因為OE/?/AC，所以O(shè)E⊥OP．
所以O(shè)B，OE，OP兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，
則A(?1,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0, 3)，E(0, 3,0)，
所以BP=(?1,0, 3)，PA=(?1,0,? 3)，AD=BE=(?1, 3,0)，PD=PA+AD=(?2, 3,? 3)，
設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，
則n?BP=?x+ 3z=0n?BE=?x+ 3y=0，
令y=1，則x= 3，z=1.所以n=( 3,1,1)，
設(shè)直線PD與平面PBC所成角為θ，
則sinθ=|cs|=|n?PD||n||PD|= 65，
所以直線PD與平面PBC所成角的正弦值為 65．
18.解：(Ⅰ)上表中的7趟車次中，列車運(yùn)行時長不超過10小時的有4趟，
所以所求概率為47；
(Ⅱ)(i)甲選取的列車運(yùn)行時長不超過10小時的概率為24=12，
乙選取的列車運(yùn)行時長不超過10小時的概率為23，
丙選取的列車運(yùn)行時長不超過10小時的概率為47
所以X的所有可能取值為0，1，2，3，
P(X=0)=12×13×37=114，
P(X=1)=12×13×37+12×23×37+12×13×47=1342，
P(X=2)=12×23×47+12×13×47+12×23×37=37，
P(X=3)=12×23×47=421，
所以X的分布列為：
所以E(X)=0×342+1×1342+2×1842+3×842=7342；
(ii)甲．
19.解：(Ⅰ)由題意可得b=c,12×2bc=1,a2=b2+c2.
解得a= 2,b=1,c=1．
所以橢圓E的方程為x22+y2=1；
(Ⅱ)證明：由題意知，直線MP的斜率存在．
設(shè)直線MP的方程為y=k(x?2)，點(diǎn)M(x1,y1)f(x1,y1)，N(x2,y2)(x1≠x2)，則Q(1,y1)，
聯(lián)立方程組y=k(x?2)x22+y2=1，消去y整理得(1+2k2)x2?8k2x+8k2?2=0．
因為Δ=64k4?4(1+2k2)(8k2?2)>0，所以k20，使得g(t)=0．
又因為g′(t)=lnt，
當(dāng)00，
所以只需a≥?12，
所以a的取值范圍是[?12,+∞)．
(Ⅲ)當(dāng)a=?1時，f(x)=lnx+1xf′(x)=x?1x2，
f(t)=lnt+1tf′(t)=t?1t2，
直線l的方程為y?(lnt+1t)=t?1t2(x?t)，
令x=0，得y=lnt+2?tt，即B(0,lnt+2?tt)，
所以SΔAOB=12|xA|?|yB|=12t?|lnt+2?tt|=12|tlnt?t+2|，
由(Ⅱ)知，當(dāng)a=?1時，g(t)=tlnt?t?2a=tlnt?t+2在t=1時取得最小值，
因為g(1)=1>0，所以g(t)=tlnt?t+2>0恒成立，
所以當(dāng)t=1時，SΔAOB取得最小值12．
21.解：(1)由題意無窮遞增數(shù)列{an}各項均為正整數(shù)，結(jié)合自身子數(shù)列的定義：記數(shù)列{aan}為數(shù)列{an}的自身子數(shù)列，
直接可以寫出數(shù)列{an}的自身子數(shù)列的前4項為1，5，9，13；
(Ⅱ)證明：因為數(shù)列{an}是遞增數(shù)列且各項均為正整數(shù)，于是an+1?an≥1，
所以an+1?an=(an+1?an+k?1)+(an+k?1?an+k?2)+?+(an+1?an)≥k(k∈N?)，
設(shè)ak+1?ak=1，則as1s1?as1=as1+t?as1≥t，
所以ak+1?ak≤aak+1?aak；
(Ⅲ)(i)證明：由題得ank=an1+(k?1)d1,ank+1=an1+1+(k?1)d2，
又ak

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