1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容（概率與統(tǒng)計除外）.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的解法及集合的表示方法，求得集合，，結(jié)合集合交集的運算，即可求解.
【詳解】由不等式，即，解得，所以，
又由，
所以.
故選：B.
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.
【詳解】，則，.
故選：A
3. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，找到中間變量，進(jìn)行比較即可.
詳解】 ，，，
.
故選: C.
4. 已知為等比數(shù)列，且，則（ ）
A. 216B. 108C. 72D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式列式計算即可求.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由題意，
所以.
故選：A
5. 已知曲線在點處的切線與圓相切，則的半徑為（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出曲線在點處的切線方程，利用直線與圓相切的幾何關(guān)系即可求出圓的半徑．
【詳解】由，得，
故切線的斜率，
所以曲線在點處的切線方程為.
又因為與圓相切，
所以的半徑.
故選：C
6. 已知，是方程的兩個根，則（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得，，即可結(jié)合和差角公式以及弦切互化，代入求解.
【詳解】因為，是方程的兩個根，
所以，，
所以.
故選：D
7. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過作其中一條漸近線的垂線，垂足為，則（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，其中，
所以到的距離為，因此，
，，則，
由，
得，解得.
故選：B
8. 已知函數(shù)，若，是銳角的兩個內(nèi)角，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出，由的單調(diào)性即可判斷選項.
【詳解】因為，所以，
當(dāng)時，，所以，即，
所以在上單調(diào)遞減.
因為，是銳角的兩個內(nèi)角，所以，則，
因為在上單調(diào)遞減，
所以，
故，故D正確.
同理可得，C錯誤；
而的大小不確定，故與，與的大小關(guān)系均不確定，
所以與，與的大小關(guān)系也均不確定，AB不能判斷.
故選：D
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 直線過拋物線的焦點，且與交于M，N兩點，則（ ）
A. B.
C. 的最小值為6D. 的最小值為12
【答案】BD
【解析】
【分析】先根據(jù)題意及直線過定點即可判斷A，B；再根據(jù)拋物線的性質(zhì)知直線垂直于軸，取得最小值，進(jìn)而即可判斷C，D．
【詳解】對于A，B，由直線與軸的交點坐標(biāo)為，則，即，故A錯誤，B正確；
對于C，D，當(dāng)直線垂直于軸，即時，取得最小值，且最小值為．故C錯誤，D正確．
故選：BD．
10. 如圖，點在以為直徑的半圓上運動（不含A，B），，，記，，的弧度數(shù)為，則下列說法正確的是（ ）
A. 是的函數(shù)B. 是的函數(shù)C. 是的函數(shù)D. 是的函數(shù)
【答案】AD
【解析】
【分析】注意點運動中的值的變化情況，結(jié)合函數(shù)的定義可判斷.
【詳解】設(shè)圓的半徑為R，由題可得，，，
其中當(dāng)點從運動到的過程中，的值從一直減小到0，
的值從增大到，再從減小到，的值從0一直增大到，
由函數(shù)的定義可知不是的函數(shù)，是的函數(shù)，不是的函數(shù)，是的函數(shù).
故選：AD.
11. 如圖，在三棱錐中，平面，，且，，過點的平面分別與棱，交于點M，N，則下列說法正確的是（ ）
A. 三棱錐外接球的表面積為
B. 若平面，則
C. 若M，N分別為，的中點，則點到平面的距離為
D. 周長的最小值為3
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可判斷球心位置，進(jìn)而可求解A,根據(jù)垂直以及相似即可求解B，根據(jù)等體積法即可求解C，根據(jù)展開圖結(jié)合余弦定理即可求解D.
【詳解】取中點為，連接,
因為平面，平面，所以,
故,
,所以,又，且，，
所以
因此,
所以三棱錐外接球的半徑，
表面積，A不正確.
若平面，平面,則，.
平面，平面，所以,
又,,平面，所以平面，
平面，故，所以.
由于,
又，所以，，解得，B正確
因為M，N分別為，的中點，所以，
由于平面,則平面，又平面，平面，
故平面，
則點到平面的距離等于點到平面的距離.
設(shè)點到平面的距離為，易知，，，
由，得，解得，C正確.
如圖，將，翻折至平面內(nèi)，連接，易知即周長的最小值，
，周長的最小值為3，D正確.
故選:BCD
12. 已知，均是由自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，且，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題意，判斷出的取值范圍，進(jìn)而得出數(shù)列的通項公式，依次判斷選項.
【詳解】由，得，
又，故，
得，即，
記表示不大于的最大整數(shù)，
因為，所以，故，則，A正確；
若，則，，
故，所以，即，B不正確.
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
故，C正確.
，
則，D正確
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵在于判斷出的取值范圍，求得數(shù)列的通項公式.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知向量，，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算即可求解.
【詳解】因為，，所以，
故.
故答案為：
14. 先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，寫出圖象的一條對稱軸的方程：__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用伸縮和平移變換寫出的函數(shù)表達(dá)式，再求對稱軸方程.
【詳解】先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到，
向左平移個單位長度得到 ，
令，，解得，，
可取，則.
故答案為：（答案不唯一）.
15. 降雨量是指降落在水平地面上單位面積的水層深度（單位：mm）.氣象學(xué)中，把24小時內(nèi)的降雨量叫作日降雨量.等級劃分如下表：
某數(shù)學(xué)建模小組為了測量當(dāng)?shù)啬橙盏慕涤炅浚谱髁艘粋€圓臺形水桶，如圖所示，若在一次降雨過程中用此桶接了24小時的雨水恰好是桶深的，則當(dāng)日的降雨量等級為__________.

【答案】大雨
【解析】
【分析】依據(jù)圖形計算圓臺的體積求解即可.
【詳解】由題可知水桶的上底面半徑，下底面半徑，桶深，
水面半徑，水深，
則水桶中水的體積，
則日降雨量為，
故當(dāng)日的降雨量等級為大雨.
故答案為：大雨
16. 已知，是函數(shù)的兩個零點，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)零點轉(zhuǎn)為，圖象交點，根據(jù)對稱性即可求解.
【詳解】顯然，當(dāng)時，令，得.
令，，則的零點轉(zhuǎn)化為與圖象的交點.
因為，故，所以的圖象關(guān)于點對稱.
，故的圖象也關(guān)于點對稱，
所以，則.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.
（1）求；
（2）若，，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換即可求解，
（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合面積公式即可求解.
【小問1詳解】
因為，所以，
又，所以.
由為銳角三角形，得.
【小問2詳解】
由（1）及余弦定理知.
因為，，所以，
所以的面積.
18. 已知函數(shù).
（1）若，求的極值；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）極大值為，極小值為；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性并求出極值即可.
（2）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.
【小問1詳解】
當(dāng)時，函數(shù)定義域為R，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以的極大值為，的極小值為.
【小問2詳解】
由在上恒成立等價于在上恒成立，
令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
，于是，
所以的取值范圍為.
19. 在正項等差數(shù)列中，，.
（1）求的通項公式；
（2）若，數(shù)列的前項和為，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量運算得解；
（2）由（1），再根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式求解.
【小問1詳解】
設(shè)的公差為d，則，
解得或（舍去），
故.
【小問2詳解】
證明：由（1）可知，
則.
20. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，，.

（1）證明：.
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）證明平面即可.
（2）建系，利用空間向量求面面夾角.
【小問1詳解】
連接，與交于點，連接.
因為四邊形是正方形，所以.
因為，為的中點，所以.
因，平面，平面，所以平面.
又平，所以.
【小問2詳解】
過作的垂線，垂足為，
由第一問可知：平面平面平面平面，
且平面平面，平面，
可得：平面.
以為坐標(biāo)原點，過且平行于，的直線分別為軸，軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：

由，得，因為，，
所以，則，，，
則，，，.
由，得，，.
設(shè)平面的法向量為，
由得
令，解方程組可得，
故.
由圖可知是平面的一個法向量.
，
顯然二面角為銳角，故.
故平面與平面夾角的余弦值為.
21. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點作軸的垂線，并與交于A，B兩點，過點作一條斜率存在且不為0的直線與交于M，N兩點，，的周長為8.
（1）求的方程.
（2）記，分別為的左、右頂點，直線與直線相交于點，直線與直線相交于點Q，和的面積分別為，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案】（1）
（2）是定值，定值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)通徑以及焦點三角形的周長即可聯(lián)立求解，
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)直線方程可得坐標(biāo)，即可由三角形的面積公式化簡求解.
【小問1詳解】
將代入可得，
所以
解得，，故的方程為
【小問2詳解】
為定值，定值為.理由如下：
依題可設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立方程組整理得，
則，.
易知，，直線的方程為，
則直線的方程為，令，得，
同理可得.
.
故為定值，且該定值為.

22. 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若恰好有兩個零點，，且恒成立，證明：.
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性；
（2）由推出，結(jié)合換元，，證明，令轉(zhuǎn)化為，繼而構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，求出最值，從而證明結(jié)論.
【小問1詳解】
因為，，
所以.
若，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
由，得，
令，則.
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則，，.
由，，得.
令，，則，，則，
即，則恒成立等價于恒成立.
因為，
所以恒成立等價于恒成立.
令，則不等式轉(zhuǎn)化為恒成立.
令，則，
令，，
則.
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
因為，所以當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
故，從而.
【點睛】思路點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用，綜合性強，計算量大；難點在第二問結(jié)合函數(shù)的零點證明不等式問題，解答時要根據(jù)推出，結(jié)合換元，，證明，令轉(zhuǎn)化為，繼而構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，求出最值，從而證明結(jié)論.
日降雨量/mm
等級
小雨
中雨
大雨
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