遼寧省撫順市六校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考試時間：120分鐘試卷滿分：150分
命題人：呼妍白金艷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 如果，則（）
A. B. C. 1D. 2
2. 已知某圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側(cè)面積為（）
A. B. 4πC. D. 8π
3. 在中，點D在邊AB上，．記，，則（）
A B. C. D.
4. 下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）
A. B. C. D.
5. 已知，，，若，則（）
A. B. C. 5D. 6
6. 若，則的值為（）
A. B. C. D.
7. 已知正三棱臺上、下底面的面積分別為和,高為1，所有頂點都在球O的表面上，則球O的表面積是（）
A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π
8. 在中，已知，，，則的面積是（）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）
A. 的最小正周期為2π
B. 在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)
C. 當(dāng)時，的取值范圍為
D. 的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到
10. 在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，，，那么下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
11. 長方體中，，，E是線段上的一動點（包括端點），則下列說法正確的是（）
A. 的最小值為
B. 平面
C. 的最小值為
D. 以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長是
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則______．
13. 已知，若，則______．
14. 在中，，，點D為AC的中點，點E為BD的中點，，則的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15 已知平面上兩個向量，，其中，，且．
（1）若與共線，求的值；
（2）求與的夾角的余弦值．
16. 如圖（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中點，現(xiàn)將沿AB折起得圖（2），點M是PD中點，點N是BC的中點．

（1）求證：平面PAB；
（2）在線段PC上是否存在一點E，使得平面平面PAB？若存在，請指出點E位置并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．
17. 在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，以a，b，c為邊長的三個等邊三角形的面積依次為，，．已知，．
（1）求角B：
（2）若的面積為，求c．
18. 如圖，PO是三棱錐的高，，，E是PB的中點．
（1）求證：平面PAC；
（2）若，，，求三棱錐體積．
19. 已知函數(shù)，稱非零向量為的“特征向量”，為的“特征函數(shù)”．
（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的“特征向量”；
（2）若函數(shù)的“特征向量”為，求當(dāng)且時的值；
（3）若的“特征函數(shù)”為，且方程存在4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．
2023-2024學(xué)年度下學(xué)期“撫順六校協(xié)作體”
期末考試試題高一數(shù)學(xué)
考試時間：120分鐘試卷滿分：150分
命題人：呼妍白金艷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 如果，則（）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算求出，然后由共軛復(fù)數(shù)概念可得.
【詳解】因為，所以，
所以，所以.
故選：D
2. 已知某圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側(cè)面積為（）
A. B. 4πC. D. 8π
【答案】B
【解析】
【分析】圓的周長公式求出，然后由圓錐側(cè)面積公式可得.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，則由題意有，得，
所以側(cè)面積為.
故選：B
3. 在中，點D在邊AB上，．記，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖形結(jié)合向量的線性運算分析求解.
【詳解】由題意可得：.
故選：B.
4. 下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】函數(shù)，
要求函數(shù)的增區(qū)間，即，
即.
令，得到.則A正確，B錯誤；
令，得到.則C，D錯誤．
故選：A．
5. 已知，，，若，則（）
A. B. C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的線性運算的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)相等，建立關(guān)于的等式求解．
詳解】解：，，
，
，
，
解得：，
故選：C．
6. 若，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用兩角和的正切公式求，再利用三角函數(shù)恒等變化，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次分式，轉(zhuǎn)化為正切表示，即可求解.
【詳解】，，
，
.
故選：C
7. 已知正三棱臺上、下底面的面積分別為和,高為1，所有頂點都在球O的表面上，則球O的表面積是（）
A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．
【詳解】正三棱臺上、下底面面積分別為和,可求出上下底邊長為：和.
設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，
即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，
所以，，
故或，即或，
解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A.
8. 在中，已知，，，則的面積是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用三角恒等變換以及正弦定理可得，，進而求，利用正弦定理可得，即可得面積.
【詳解】因為，則，
且，則，可得，解得，
又因為，由正弦定理可得，
則，
且，則，
可得，即，可得，
則，
由正弦定理可得，
所以的面積是.
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）
A. 的最小正周期為2π
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)
C. 當(dāng)時，的取值范圍為
D. 的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到
【答案】BC
【解析】
【分析】對于ABC，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一分析判斷即可；對于D，利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】對A,對于，它的最小正周期，故A錯誤；
當(dāng)時，，
對B,又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
對C,當(dāng)時，，所以，
所以的取值范圍為，故C正確；
對D,的圖象向左平移個單位長度得到解析式為，故D錯誤.
故選：BC．
10. 在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，，，那么下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)點的坐標(biāo)，求出向量，模以及數(shù)量積，再結(jié)合三角恒等變換公式等即可判斷.
詳解】對A，，，則，
，所以，故A正確；
對B，，，
則，，
因為與的大小不確定，所以沒辦法判定是否相等，故B錯誤；
對C，，，所以，
，所以，故C正確；
對D，，
，
所以，故D錯誤.
故選：AC.
11. 長方體中，，，E是線段上的一動點（包括端點），則下列說法正確的是（）
A. 的最小值為
B. 平面
C. 的最小值為
D. 以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長是
【答案】BCD
【解析】
【分析】計算的邊上的高后可判斷A的正誤，可證平面平面，從而可平面，故可判斷B的正誤，利用平面展開圖結(jié)合余弦定理可求的最小值，故可判斷C的正誤，D中判斷出交線的形狀結(jié)合計算可判斷D的正誤.
【詳解】
對于A，因為在長方體中，，，
故，故為等腰三角形，
而，故為銳角，
故的最小值為的邊上的高，設(shè)高為，
則，故，
故的最小值為，故A錯誤.
對于B，由長方體的性質(zhì)可得，
故四邊形為平行四邊形，故，
而平面，平面，故平面，
同理平面，而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
故B正確.
對于C，如圖，將、放置在一個平面中，
則的最小值即為，而，
，
因為、均為銳角，故，，
故，
故，故C正確.
對于D，以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為個圓弧，
該圓弧的圓心為，半徑為，故弧長為，故D成立.
故選：BCD.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則______．
【答案】
【解析】
【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)模長公式計算即可.
【詳解】,
可得.
故答案為：.
13. 已知，若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得，利用，結(jié)合二倍角的余弦公式可求值.
【詳解】由，可得，則，
則
.
故答案為：
14. 在中，，，點D為AC的中點，點E為BD的中點，，則的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】將用基底表示出來，后用余弦定理，結(jié)合基本不等式可解.
【詳解】如圖所示，設(shè)分別為的角所對邊，
由余弦定理知，，即，即.
,即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.
根據(jù)三點共線的向量結(jié)論，可知
，，
則，
化簡得.
則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.
則的最大值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知平面上兩個向量，，其中，，且．
（1）若與共線，求的值；
（2）求與的夾角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）運用向量共線的定理結(jié)論，求的值即可；
（2）運用向量數(shù)量積的夾角的余弦公式求解即可．
小問1詳解】
若與共線，則存在實數(shù)k，
使得，即，
因為向量與不共線，所以，解得．
【小問2詳解】
因為，
，
所以．
16. 如圖（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中點，現(xiàn)將沿AB折起得圖（2），點M是PD的中點，點N是BC的中點．

（1）求證：平面PAB；
（2）在線段PC上是否存在一點E，使得平面平面PAB？若存在，請指出點E的位置并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，E為PC中點，證明見解析
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用線面平行判定定理證明即可；
（2）先取點，再應(yīng)用面面平行判定定理證明即可；
【小問1詳解】
取AP的中點Q，連接MQ，BQ，

因為M，Q分別為PD，PA的中點，
所以，，
又因為N為BC的中點，
所以，．
所以，，
所以四邊形MNBQ為平行四邊形，所以，
又因為平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB．
【小問2詳解】
存在點E，當(dāng)E為PC中點時，平面平面PAB．
證明如下：由圖（1）因為A是PD中點，，，
所以且，
所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以．
因為E，M分別為PC，PD中點，所以，
所以，
因為平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB，
同理可知平面PAB，又因為平面平面，
所以平面平面PAB．

17. 在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，以a，b，c為邊長的三個等邊三角形的面積依次為，，．已知，．
（1）求角B：
（2）若的面積為，求c．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由已知可得，結(jié)合余弦定理可得，結(jié)合已知可得，進而求得；
（2）由（1）可求得，進而由正弦定理可得，，從而由面積可求得.
【小問1詳解】
因為，所以
由余弦定理，
可得，
因為，所以，
從而，
又因為，即，且，所以．
【小問2詳解】
由（1）可得，，，
從而，，
而，
由正弦定理有，
從而，，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為
，
由已知的面積為，可得，
所以．
18. 如圖，PO是三棱錐的高，，，E是PB的中點．
（1）求證：平面PAC；
（2）若，，，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，由題意可證，進而可得平面，由三角形中位線定理可得，進而可證平面，從而可證平面平面，可得結(jié)論；
（2）由已知可得，，由三棱錐的體積公式可求體積.
【小問1詳解】
取中點，連接．
因為，為的中點，所以，
又因為，所以．
因為平面，平面，
所以平面．
因為分別是中點，所以．
因為平面，平面，
所以平面．
又因為，
所以平面平面，
因為平面，
所以平面．
【小問2詳解】
因為，，
由（1）可得，所以，
因為，所以，
又因為，所以，
所以，
因為PO是三棱錐的高，
所以．
19. 已知函數(shù)，稱非零向量為的“特征向量”，為的“特征函數(shù)”．
（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的“特征向量”；
（2）若函數(shù)的“特征向量”為，求當(dāng)且時的值；
（3）若的“特征函數(shù)”為，且方程存在4個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）先利用兩角和正余弦公式展開化簡函數(shù)，再根據(jù)特征函數(shù)的概念求解即可；
（2）由已知可得，利用即可求解；
（3）由定義得并化簡（化為一個角的一個三角函數(shù)形式），解方程得或且，求得兩根，然后作出函數(shù)，的圖象，由圖象可得且有兩根的的范圍．
【小問1詳解】
因為
所以的“特征向量”為．
【小問2詳解】
由題意知，
由得，，
因為，，所以，
所以．
【小問3詳解】
，當(dāng)時，．
由得，
所以或，
由，即，而，解得或，
即在上有兩個根，
因為方程在上存在4個不相等的實數(shù)根，
所以當(dāng)且僅當(dāng)且在上有兩個不等實根，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)在上的圖像和直線，
因為方程在上有兩個不等實根，
即當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在上的圖像和直線有兩個公共點，
由圖像可知：或，
解得或，
所以實數(shù)G的取值范圍是．
【點睛】本題在以新定義基礎(chǔ)之上考查了三角函數(shù)的有關(guān)知識點，考查了誘導(dǎo)公式及三角恒等變換中的幾個公式，還考查了三角函數(shù)中的方程的根的問題.

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