1. 下列實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A. B. 0C. D.
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 中國(guó)倡導(dǎo)的“一帶一路”建設(shè)將促進(jìn)我國(guó)與世界各國(guó)的互利合作，根據(jù)規(guī)劃“一帶一路”地區(qū)覆蓋總?cè)丝诩s為4500000000人，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）．
A. B. C. D.
4. 如圖①．用一個(gè)平面截長(zhǎng)方體，得到如圖②的幾何體，它在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中被稱(chēng)為“塹堵”．圖②“塹堵”的俯視圖是（ ）
A. B. C. D.
5. 如圖線(xiàn)段兩兩相交于三點(diǎn)，則度數(shù)是（ ）．
A. B. C. D.
6. 一元二次方程x2+x﹣2=0根的情況是【 】
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C. 無(wú)實(shí)數(shù)根D. 無(wú)法確定
7. 如圖，在菱形中，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊的中點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為( )
A. 3B. C. 2D.
8. 下面是“作一個(gè)角使其等于”的尺規(guī)作圖方法．
上述方法通過(guò)判定得到，其中判定的依據(jù)是（ ）
A. 三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
B. 兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
C. 兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
D. 兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等
9. 如圖，頂點(diǎn)為的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.
B. 若點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則
C. 當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小
D. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
10. 如圖，在中，，設(shè)，，且是定值，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，將線(xiàn)段沿繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線(xiàn)段交于點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰為點(diǎn)，則下列線(xiàn)段長(zhǎng)為定值的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．
11. 請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)二次根式_____________，使它滿(mǎn)足只含有一個(gè)字母x，且當(dāng)時(shí)有意義．
12. 為了全面推進(jìn)素質(zhì)教育，助力學(xué)生健康成長(zhǎng)，公能學(xué)校開(kāi)設(shè)了多門(mén)選修課程．其中南南和開(kāi)開(kāi)想從刺繡、糖畫(huà)、國(guó)家疆土、巧匠工坊中選修一門(mén)課程，兩名同學(xué)恰好選修同一門(mén)課程的概率為_(kāi)_______．
13. 如圖，在中，軸，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與交于點(diǎn)．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______．
14. 如圖，在中，，，，分別以各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分面積為_(kāi)_______．
15. 如圖，在中，點(diǎn) D 為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的上方作正方形，當(dāng)取得最小值時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

三、計(jì)算題：本大題共1小題，共10分．
16. (1)計(jì)算：÷(+1)；
(2)解不等式組：．
四、解答題：本題共7小題，共65分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17. 某校九年級(jí)計(jì)劃組織學(xué)生外出開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，在選擇研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)時(shí)，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求被調(diào)查的學(xué)生從A、B、C、D四個(gè)研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)中選擇自己最喜歡的一個(gè)．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，編制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：
（1）此次被調(diào)查的學(xué)生共有__________人，研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)A所在扇形的圓心角的度數(shù)為_(kāi)_________；
（2）若該年級(jí)共有800名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)最喜歡去C地研學(xué)的學(xué)生人數(shù)；
（3）九（1）班研學(xué)歸來(lái)，班主任組織學(xué)生進(jìn)行研學(xué)收獲及感悟交流分享會(huì)，A小組有兩名男同學(xué)和兩名女同學(xué)，從A小組中隨機(jī)選取2人談收獲及感悟，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求恰好抽中兩名同學(xué)為一男一女的概率．
18. 如圖，在中，，為的外角的平分線(xiàn)，，垂足為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．

（1）在不添加新的線(xiàn)的前提下，請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件：______，使得四邊形為矩形，并說(shuō)明理由；
（2）若四邊形為矩形，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形，使為菱形的一條對(duì)角線(xiàn)．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
19. 小新的數(shù)學(xué)研學(xué)日記
課題：測(cè)量旗桿的高度
地點(diǎn)：操場(chǎng)
時(shí)間：2025月1月13日
昨天，晴．高老師要帶我們?nèi)ゲ賵?chǎng)測(cè)量旗桿的高度，我們小組設(shè)計(jì)方案：小卓拿著標(biāo)桿垂直于地面放置，如圖1所示，標(biāo)桿，影長(zhǎng)，旗桿的影長(zhǎng)，則可求得旗桿的高度為 _____ ．
今天，陰．設(shè)計(jì)方案：如圖2所示，高老師將升旗用繩子拉直，用儀器測(cè)得繩子與地面的夾角為，然后又將繩子拉到一個(gè)0.3米高的平臺(tái)上，拉直繩子使繩子上的H點(diǎn)剛好觸到平臺(tái)時(shí)剩余的繩子長(zhǎng)度為5米，此時(shí)測(cè)得繩子與平臺(tái)的夾角為，利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿的高度嗎？
請(qǐng)你回答小新的問(wèn)題．若能，請(qǐng)求出旗桿的高度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
20. 如圖，內(nèi)接于，為直徑，作交于點(diǎn)E，且．

（1）求證：直線(xiàn)是的切線(xiàn)．
（2）如果，，求圖中陰影部分的面積．
21. 已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)B是線(xiàn)段上（不與點(diǎn)A重合）的一點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）觀(guān)察圖象，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出不等式的解集；
（3）如圖，將點(diǎn)A繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在的圖象上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
22. 某品牌大米遠(yuǎn)近聞名，深受廣大消費(fèi)者喜愛(ài)，某超市每天購(gòu)進(jìn)一批成本價(jià)為每千克4元的該大米，以不低于成本價(jià)且不超過(guò)每千克7元的價(jià)格銷(xiāo)售．當(dāng)每千克售價(jià)為5元時(shí)，每天售出大米；當(dāng)每千克售價(jià)為6元時(shí)，每天售出大米，通過(guò)分析銷(xiāo)售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：每天銷(xiāo)售大米的數(shù)量與每千克售價(jià)（元）滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）超市將該大米每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷(xiāo)售該大米的利潤(rùn)可達(dá)到1800元？
（3）當(dāng)每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)為多少？
23. 綜合與實(shí)踐
【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】如圖1是某景點(diǎn)的入口處，大門(mén)輪廓形狀可視為拋物線(xiàn)，拱門(mén)寬3米（拱門(mén)所在拋物線(xiàn)與地面所在直線(xiàn)的兩交點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為拱門(mén)寬，這兩個(gè)交點(diǎn)稱(chēng)為拱門(mén)的左端點(diǎn)與右端點(diǎn)），拱高4米（拱門(mén)所在拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)到地面所在直線(xiàn)的距離稱(chēng)為拱高）．為了緩解入口處人流壓力，讓拱門(mén)成為景點(diǎn)的新一個(gè)標(biāo)志建筑，需要重造擴(kuò)建拱門(mén)．經(jīng)測(cè)算，當(dāng)拱頂?shù)降孛娴木嚯x為拱門(mén)寬的一半時(shí)，拱門(mén)最為美觀(guān)．
【提出問(wèn)題】在拱門(mén)右側(cè)距拱門(mén)右端點(diǎn)10米處有一棵高為2米的珍貴樹(shù)木，不宜移栽，為了不影響樹(shù)木的生長(zhǎng)，需要給樹(shù)木左右兩側(cè)各留足3米，上方留足8米的生長(zhǎng)空間（不考慮拱門(mén)厚度）．由于地域限制，為使改建后拱門(mén)的拱門(mén)寬不能超過(guò)25米，現(xiàn)以原拱門(mén)左端點(diǎn)為起點(diǎn)，向右擴(kuò)建，拱高在什么范圍，才能使拱門(mén)最美觀(guān)，又不影響樹(shù)木的生長(zhǎng)呢？
分析問(wèn)題】
（1）二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)和，此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)________；
（2）如圖2，已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與的圖象均經(jīng)過(guò)和，則的取值范圍是________；
【解決問(wèn)題】
（3）以原拱門(mén)左端點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，以，為端點(diǎn)的拱門(mén)表示原拱門(mén)，表示大樹(shù)．當(dāng)以原拱門(mén)左端點(diǎn)為起點(diǎn)向右擴(kuò)建，使拱門(mén)擴(kuò)建后最美觀(guān)且不影響樹(shù)木的生長(zhǎng)時(shí)，求此時(shí)拱頂?shù)降孛娴木嚯x的取值范圍．
2025年河南省鄭州市九年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)一檢押題卷（一）
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 下列實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：∵-3＜-2＜0＜，
∴所給的實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是-3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)＞0＞負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而?。?br>2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)，，分式的加減，合并同類(lèi)項(xiàng)計(jì)算即可．
本題考查了二次根式的性質(zhì)，冪的乘方，分式的加減，合并同類(lèi)項(xiàng)，熟練掌握公式和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
詳解】A. ，錯(cuò)誤，不符合題意；
B. ，錯(cuò)誤，不符合題意；
C. ，錯(cuò)誤，不符合題意；
D. ，正確，符合題意；
故選D．
3. 中國(guó)倡導(dǎo)的“一帶一路”建設(shè)將促進(jìn)我國(guó)與世界各國(guó)的互利合作，根據(jù)規(guī)劃“一帶一路”地區(qū)覆蓋總?cè)丝诩s為4500000000人，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【詳解】解：4500000000=4.5×109，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4. 如圖①．用一個(gè)平面截長(zhǎng)方體，得到如圖②的幾何體，它在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中被稱(chēng)為“塹堵”．圖②“塹堵”的俯視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)幾何體的俯視圖是從上面看進(jìn)行判斷解答即可．
【詳解】解：由圖可知，該“塹堵”的俯視圖是 ，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的俯視圖，理解俯視圖的概念是解答的關(guān)鍵．
5. 如圖線(xiàn)段兩兩相交于三點(diǎn)，則的度數(shù)是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查三角形中求角度，涉及三角形內(nèi)角和定理、對(duì)頂角定義等知識(shí)，在中，在中，在中及在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到相關(guān)角度的等式，再由對(duì)頂角定義等量代換即可得到答案，數(shù)形結(jié)合，熟記三角形內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：在中，，則；
在中，，則；
在中，，則；
，
，，，
在中，，則，
，
故選：B．
6. 一元二次方程x2+x﹣2=0根的情況是【 】
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C. 無(wú)實(shí)數(shù)根D. 無(wú)法確定
【答案】A
【解析】
【詳解】∵a=1，b=1，c=﹣2，
∴b2﹣4ac=1+8=9＞0．
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程（a≠0）的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
7. 如圖，在菱形中，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊的中點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為( )
A. 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)中位線(xiàn)定理可得，由菱形的面積可得，進(jìn)而可求出，再根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵四邊形是菱形
∴
∵點(diǎn)，分別是邊的中點(diǎn)，
∴
∵
∴
∴
∴
故選：D
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、中位線(xiàn)定理、直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半、勾股定理等．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．
8. 下面是“作一個(gè)角使其等于”的尺規(guī)作圖方法．
上述方法通過(guò)判定得到，其中判定的依據(jù)是（ ）
A. 三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
B. 兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
C. 兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
D. 兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．由作圖過(guò)程可得，，，結(jié)合全等三角形的判定可得答案．
【詳解】解：由作圖過(guò)程可得，，，
∴，
∴判定的依據(jù)是三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．
故選：A．
9. 如圖，頂點(diǎn)為的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.
B. 若點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則
C. 當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
D. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：A、由圖象可知，拋物線(xiàn)與x軸交于兩點(diǎn)，
∴，故A錯(cuò)誤；
B、∵拋物線(xiàn)在對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=－3，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，
∴m=n，故B錯(cuò)誤；
C、由圖象可知，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故C正確；
D、∵拋物線(xiàn)的最小值為－6，
∴關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故D錯(cuò)誤，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想是解答的關(guān)鍵．
10. 如圖，在中，，設(shè)，，且是定值，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，將線(xiàn)段沿繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線(xiàn)段交于點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰為點(diǎn)，則下列線(xiàn)段長(zhǎng)為定值的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接，，，在上取點(diǎn)H，使，連接，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)K，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，求出，得出，求出，得出，求出，，得出，求出，，，從而求出，，即可得出答案．
【詳解】解：連接，，，在上取點(diǎn)H，使，連接，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)K，如圖所示：
∵在中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，
∴，
∴，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：，，
∴和為等腰三角形，，
設(shè)，則，
∴，
∴，
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)可知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為的中位線(xiàn)，
∴，
∴、均不是定值，
∴，
∴為定值，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴為的中位線(xiàn)，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴不是定值，
綜上分析可知，為定值，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．
11. 請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)二次根式_____________，使它滿(mǎn)足只含有一個(gè)字母x，且當(dāng)時(shí)有意義．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查二次根式的定義，根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案．
【詳解】解：由題意可知：（答案不唯一）滿(mǎn)足條件，
故答案為：（答案不唯一）．
12. 為了全面推進(jìn)素質(zhì)教育，助力學(xué)生健康成長(zhǎng)，公能學(xué)校開(kāi)設(shè)了多門(mén)選修課程．其中南南和開(kāi)開(kāi)想從刺繡、糖畫(huà)、國(guó)家疆土、巧匠工坊中選修一門(mén)課程，兩名同學(xué)恰好選修同一門(mén)課程的概率為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再?gòu)闹羞x出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式計(jì)算事件或事件的概率．畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出他們兩人恰好選修同一門(mén)課程的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【詳解】解：用、、、分別表示刺繡、糖畫(huà)、國(guó)家疆土、巧匠工坊，
畫(huà)樹(shù)狀圖如圖，
共有種等可能的結(jié)果，其中他們兩人恰好選修同一門(mén)課程的結(jié)果數(shù)為，
所以他們兩人恰好選修同一門(mén)課程的概率為：．
13. 如圖，在中，軸，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與交于點(diǎn)．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形、平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)，則，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)、坐標(biāo)可得，，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出，解方程求出值即可得答案．
【詳解】解：設(shè)，
∵，
∴，
∵在中，軸，，，
∴，，，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：
14. 如圖，在中，，，，分別以各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．
【答案】6
【解析】
【分析】此題考查了勾股定理、圓面積公式等知識(shí)．根據(jù)勾股定理求出長(zhǎng)，兩個(gè)小半圓面積和直角三角形的面積之和減去大半圓面積即可求出答案．
【詳解】解：∵在中，，，，
∴，
∴圖中陰影部分的面積為
故答案為：6
15. 如圖，在中，點(diǎn) D 為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的上方作正方形，當(dāng)取得最小值時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

【答案】
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)作于，由四邊形是正方形，得，，可證明，即有，，從而，而，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得取得最小值時(shí)，，即可得到答案．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：

四邊形是正方形，
，，
，，
，且，，
，
，，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，最小，則也最小，
此時(shí)，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及正方形性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理及二次函數(shù)圖像與性質(zhì)等知識(shí)，熟記二次函數(shù)表圖像與性質(zhì)，用含的代數(shù)式表示是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．.
三、計(jì)算題：本大題共1小題，共10分．
16. (1)計(jì)算：÷(+1)；
(2)解不等式組：．
【答案】(1)；(2)﹣≤x＜
【解析】
【分析】(1)首先分解因式及進(jìn)行括號(hào)內(nèi)分式的加法運(yùn)算，再把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，最后約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果；
(2)分別求出不等式組中兩個(gè)不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．
【詳解】解：(1)原式＝÷
＝?
＝；
(2) ，
由①得：x＜，
由②得：x≥﹣，
∴不等式組的解集為﹣≤x＜．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，解一元一次不等式組，(1)要先算括號(hào)里的，再進(jìn)行因式分解和約分運(yùn)算；(2)準(zhǔn)確求得每一個(gè)不等式的解集是解決本題的關(guān)鍵．
四、解答題：本題共7小題，共65分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
17. 某校九年級(jí)計(jì)劃組織學(xué)生外出開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，在選擇研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)時(shí)，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求被調(diào)查學(xué)生從A、B、C、D四個(gè)研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)中選擇自己最喜歡的一個(gè)．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，編制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：
（1）此次被調(diào)查的學(xué)生共有__________人，研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)A所在扇形的圓心角的度數(shù)為_(kāi)_________；
（2）若該年級(jí)共有800名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)最喜歡去C地研學(xué)的學(xué)生人數(shù)；
（3）九（1）班研學(xué)歸來(lái)，班主任組織學(xué)生進(jìn)行研學(xué)收獲及感悟交流分享會(huì)，A小組有兩名男同學(xué)和兩名女同學(xué)，從A小組中隨機(jī)選取2人談收獲及感悟，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求恰好抽中兩名同學(xué)為一男一女的概率．
【答案】（1）100；
（2）估計(jì)最喜歡去C地研學(xué)的學(xué)生人數(shù)大約有320人
（3）列表見(jiàn)解析，剛好抽中兩名同學(xué)為一男一女的概率為
【解析】
【分析】本題主題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、利用樣本估計(jì)總體、列表法求概率等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
（1）利用“選擇地點(diǎn)B的學(xué)生人數(shù)其其占比”求解即可；利用“選擇地點(diǎn)A的學(xué)生占比”求解即可；
（2）利用“該校學(xué)生總數(shù)×選擇地點(diǎn)C的學(xué)生占比”，即可求得答案；
（3）根據(jù)題意列表，結(jié)合表格即可獲得答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：此次被調(diào)查的學(xué)生共有（人）；
研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)A所在扇形的圓心角的度數(shù)為．
故答案為：100；；
【小問(wèn)2詳解】
解：（人），
答：估計(jì)最喜歡去C地研學(xué)的學(xué)生人數(shù)大約有320人．
【小問(wèn)3詳解】
解：列表如下：
由上表可知共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽中一男一女的結(jié)果有8種，
剛好抽中兩名同學(xué)為一男一女的概率為：（一男一女）．
答：剛好抽中兩名同學(xué)為一男一女的概率為．
18. 如圖，在中，，為的外角的平分線(xiàn)，，垂足為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．

（1）在不添加新的線(xiàn)的前提下，請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件：______，使得四邊形為矩形，并說(shuō)明理由；
（2）若四邊形為矩形，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形，使為菱形的一條對(duì)角線(xiàn)．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
【答案】（1）（答案不唯一），理由見(jiàn)解析；
（2）見(jiàn)解析．
【解析】
【分析】添加：(答案不唯一)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可證，根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，可證四邊形為矩形；
延長(zhǎng)到，使得，連接，，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是菱形即可知四邊形是菱形且為菱形的一條對(duì)角線(xiàn)．
【小問(wèn)1詳解】
解：添加：答案不唯一
理由：，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形；
【小問(wèn)2詳解】
解：如下圖所示，在射線(xiàn)上截取，
連接、，
四邊形即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握矩形和菱形的判定定理，依據(jù)判定定理添加條件．
19. 小新數(shù)學(xué)研學(xué)日記
課題：測(cè)量旗桿的高度
地點(diǎn)：操場(chǎng)
時(shí)間：2025月1月13日
昨天，晴．高老師要帶我們?nèi)ゲ賵?chǎng)測(cè)量旗桿的高度，我們小組設(shè)計(jì)方案：小卓拿著標(biāo)桿垂直于地面放置，如圖1所示，標(biāo)桿，影長(zhǎng)，旗桿的影長(zhǎng)，則可求得旗桿的高度為 _____ ．
今天，陰．設(shè)計(jì)方案：如圖2所示，高老師將升旗用繩子拉直，用儀器測(cè)得繩子與地面的夾角為，然后又將繩子拉到一個(gè)0.3米高的平臺(tái)上，拉直繩子使繩子上的H點(diǎn)剛好觸到平臺(tái)時(shí)剩余的繩子長(zhǎng)度為5米，此時(shí)測(cè)得繩子與平臺(tái)的夾角為，利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿的高度嗎？
請(qǐng)你回答小新的問(wèn)題．若能，請(qǐng)求出旗桿的高度；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】，11.1米．
【解析】
【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算求出；過(guò)點(diǎn)H作于Q，于P，根據(jù)正弦的定義求出．
【詳解】解：∵，
∴，
即
解得：
過(guò)點(diǎn)作于， 于，
則米，
∴米，
由題意可知：，
在中， ，
則，
∴，
∴，
在中， ，
則
∴，
∴，
則，解得：，
∴旗桿的高度約為米.
故答案為：．
20. 如圖，內(nèi)接于，為直徑，作交于點(diǎn)E，且．

（1）求證：直線(xiàn)是的切線(xiàn)．
（2）如果，，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）連接，可得，然后推導(dǎo)，即可解題；
（2）先根據(jù)正弦得到，即可求出，然后根據(jù)解題即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴為的切線(xiàn)；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握切線(xiàn)的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21. 已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)B是線(xiàn)段上（不與點(diǎn)A重合）的一點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）觀(guān)察圖象，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出不等式的解集；
（3）如圖，將點(diǎn)A繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在的圖象上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
（1）先將代入求出a的值，然后用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合點(diǎn)得出不等式的解集即可；
（3）過(guò)點(diǎn)B作軸，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，，可得，則設(shè)點(diǎn)，得到點(diǎn)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出n值，繼而得到點(diǎn)E坐標(biāo)．
小問(wèn)1詳解】
解：將代入得，
，
將，代入得，
解得，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為；
【小問(wèn)2詳解】
解：根據(jù)函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象的上面，
∴不等式的解集為；
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作軸，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，
則，
，
∵點(diǎn)A繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
，，
，
，
設(shè)點(diǎn)，，，
∴點(diǎn)，
∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)圖象上，
．
解得，（舍去），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．
22. 某品牌大米遠(yuǎn)近聞名，深受廣大消費(fèi)者喜愛(ài)，某超市每天購(gòu)進(jìn)一批成本價(jià)為每千克4元的該大米，以不低于成本價(jià)且不超過(guò)每千克7元的價(jià)格銷(xiāo)售．當(dāng)每千克售價(jià)為5元時(shí)，每天售出大米；當(dāng)每千克售價(jià)為6元時(shí)，每天售出大米，通過(guò)分析銷(xiāo)售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：每天銷(xiāo)售大米的數(shù)量與每千克售價(jià)（元）滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）超市將該大米每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷(xiāo)售該大米的利潤(rùn)可達(dá)到1800元？
（3）當(dāng)每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)為多少？
【答案】（1）
（2）6元 （3）當(dāng)每千克售價(jià)定為7元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)為2550元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得，該函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，將代入，求出k和b的值，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷(xiāo)售量，列出方程求解即可；
（3）設(shè)利潤(rùn)為w，根據(jù)總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷(xiāo)售量，列出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)， 即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
解∶ 根據(jù)題意可得，該函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
將代入得：
，解得：，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
【小問(wèn)2詳解】
解；根據(jù)題意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售價(jià)不低于成本價(jià)且不超過(guò)每千克7元，
∴每千克售價(jià)定為6元時(shí)，利潤(rùn)可達(dá)到1800元；
【小問(wèn)3詳解】
解：設(shè)利潤(rùn)為w，
，
∵，函數(shù)開(kāi)口向下，
∴當(dāng)時(shí)，w隨x的增大而增大，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，此時(shí)，
∴當(dāng)每千克售價(jià)定為7元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)為2550元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法和步驟，正確理解題意，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程和函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
23. 綜合與實(shí)踐
【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】如圖1是某景點(diǎn)的入口處，大門(mén)輪廓形狀可視為拋物線(xiàn)，拱門(mén)寬3米（拱門(mén)所在拋物線(xiàn)與地面所在直線(xiàn)的兩交點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為拱門(mén)寬，這兩個(gè)交點(diǎn)稱(chēng)為拱門(mén)的左端點(diǎn)與右端點(diǎn)），拱高4米（拱門(mén)所在拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)到地面所在直線(xiàn)的距離稱(chēng)為拱高）．為了緩解入口處人流壓力，讓拱門(mén)成為景點(diǎn)的新一個(gè)標(biāo)志建筑，需要重造擴(kuò)建拱門(mén)．經(jīng)測(cè)算，當(dāng)拱頂?shù)降孛娴木嚯x為拱門(mén)寬的一半時(shí)，拱門(mén)最為美觀(guān)．
【提出問(wèn)題】在拱門(mén)右側(cè)距拱門(mén)右端點(diǎn)10米處有一棵高為2米的珍貴樹(shù)木，不宜移栽，為了不影響樹(shù)木的生長(zhǎng)，需要給樹(shù)木左右兩側(cè)各留足3米，上方留足8米的生長(zhǎng)空間（不考慮拱門(mén)厚度）．由于地域限制，為使改建后拱門(mén)的拱門(mén)寬不能超過(guò)25米，現(xiàn)以原拱門(mén)左端點(diǎn)為起點(diǎn)，向右擴(kuò)建，拱高在什么范圍，才能使拱門(mén)最美觀(guān)，又不影響樹(shù)木的生長(zhǎng)呢？
【分析問(wèn)題】
（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)和，此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)________；
（2）如圖2，已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與的圖象均經(jīng)過(guò)和，則的取值范圍是________；
【解決問(wèn)題】
（3）以原拱門(mén)左端點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，以，為端點(diǎn)的拱門(mén)表示原拱門(mén)，表示大樹(shù)．當(dāng)以原拱門(mén)左端點(diǎn)為起點(diǎn)向右擴(kuò)建，使拱門(mén)擴(kuò)建后最美觀(guān)且不影響樹(shù)木的生長(zhǎng)時(shí)，求此時(shí)拱頂?shù)降孛娴木嚯x的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）待定系數(shù)法求出，，由圖象可得的頂點(diǎn)在的下方，即可得出，求解即可；
（3）設(shè)新拱門(mén)拋物線(xiàn)解析式為，則拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為由題意可得，從而解得，（不符題意，舍去），得到新拱門(mén)拋物線(xiàn)解析式為，將代入得，，解得，從而可得，將代入得，，解得，從而可得；將代入得，，解得，從而可得；分別求解即可得解．
【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)和，
∴此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)；
（2）∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)和，
∴，
將代入可得：，
∴，
∴，
∵的圖象均經(jīng)過(guò)和，
∴，
∵由圖象可得：的頂點(diǎn)在的下方，
∴，
解得：；
（3）如圖所示，將點(diǎn)分別向左右兩側(cè)平移3個(gè)單位得到點(diǎn)、，將向上平移個(gè)單位，矩形即為大樹(shù)生長(zhǎng)空間．
由題意得，，，
∴，；
設(shè)新拱門(mén)拋物線(xiàn)解析式為
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為
∵拱頂?shù)降孛娴木嚯x為拱寬的一半，
∴，
解得，（不符題意，舍去），
∴新拱門(mén)拋物線(xiàn)解析式為
將代入得，，解得
∴，
∵原拱門(mén)拱頂距地面為4米，
∴
將代入得，，解得，
∴
將代入得，，解得
∴
∴
綜上所述，的取值范圍是或．
（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)C，D；
（2）作射線(xiàn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)；
（3）過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，則.
（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)C，D；
（2）作射線(xiàn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)；
（3）過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，則.
男1
男2
女1
女2
男1
男1男2
男1女1
男1女2
男2
男2男1
男2女1
男2女2
女1
女1男1
女1男2
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2女1

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