學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．在Rt△ABC中，已知其兩直角邊長a＝6，b＝8，那么斜邊c的長為（ ）
A．6B．8C．10D．14
2．如圖，長為8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定兩端A和B，然后把中點C向上垂直拉升3cm至點D，則橡皮筋被拉長了（ ）
A．1cmB．2cmC．4cmD．5cm
3．滿足下列條件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2﹣c2＝a2B．a(chǎn)：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠BD．∠A：∠B：∠C＝9：12：15
4．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別為2，3，1，2，則最大正方形E的面積是（ ）
A．16B．17C．18D．19

（2題） （4題） （6題） （7題）
5．若△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足（a﹣b）?（a2+b2﹣c2）＝0，則△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．一輛裝滿貨物，寬為1.6米的卡車，欲通過如圖所示的隧道，則卡車的外形高必須低于（ ）
A．3.0米B．2.9米C．2.8米D．2.7米
7．如圖所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，且AB＝4，BD＝5，則點D到BC的距離是（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．如圖，三角形是直角三角形，四邊形是正方形，已知正方形A的面積是64，正方形B的面積是100，則半圓C的面積是（ ）
A．4.5πB．9πC．36D．18π
9．如圖，一個底面為正六邊形的六棱柱，在六棱柱的側(cè)面上，從頂點A到頂點B鑲有一圈金屬絲，已知此六棱柱的高為5cm，底面邊長為2cm，則這圈金屬絲的長度至少為（ ）
A．8cmB．13cmC．12cmD．15cm
10．將一個等腰三角形ABC紙板沿垂線段AD，DE進(jìn)行剪切，得到三角形①②③，再按如圖2方式拼放，其中EC與BD共線．若BD＝6，則AB的長為（ ）
A．252B．12C．15D．152

（9題） （10題） （11題）
二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，則△ABC的面積是 cm2．
12．如圖所示，一棵大樹在距地5m的B處折斷，著地處A與樹根C的距離比著地處A與折斷處B的距離少1m，則原樹高為 m．
13．如圖，AB⊥BC于點B，AB⊥AD于點A，點E是CD中點，若BC＝5，AD＝10，BE=132，則AB的長是 ．

（13題） （14題） （15題）
14．如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為 ．
15．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，P、Q分別為AB、BC邊上的動點，則CP+PQ的最小值為 ．
三．解答題（共8小題，滿分75分）
16．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AC⊥CD．
（1）求證：AB⊥BC；
（2）求四邊形ABCD的面積．
17．（9分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC交BC于點E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求證：∠A＝90°；
（2）若AC＝12，BD＝10，求△AEC的周長．
18．（9分）你是不是很喜歡蕩秋千？蕩秋千是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動．有一天，靜靜在公園里游玩（如圖），她發(fā)現(xiàn)，靜止時秋千位于鉛垂線BD上P點處，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝3m．靜靜在蕩秋千過程中，當(dāng)秋千擺動到最高點A時，測得點A到BD的距離AC＝2m，點A到地面的距離AE＝2m，將他從A處擺動后的坐板記為A′．
（1）當(dāng)A′B⊥AB時，求A′到BD的距離；
（2）當(dāng)靜靜秋千位于A′處時，她忽然發(fā)現(xiàn)一只小狗趴到了D點位置，小狗高度0.4m，假設(shè)小狗不動，請問靜靜蕩秋千的過程中，秋千是否會碰到小狗？
19．（9分）如圖，小區(qū)有一塊三角形空地ABC，為響應(yīng)中山市創(chuàng)建全國文明典范城市的號召，小區(qū)計劃將這塊空地種上三種不同的花卉，中間用小路AD、DE隔開，DE⊥AB．經(jīng)測量，AB＝15米，AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米．
（1）求BD的長；
（2）求小路DE的長．
20．（9分）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．
嘗試 化簡整式A．
發(fā)現(xiàn) A＝B2，求整式B．
聯(lián)想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當(dāng)n＞1時，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長，如圖．填寫下表中B的值：
21．（9分）如圖，某沿海城市A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向150km的B處有一臺風(fēng)中心正以20km/h的速度向BC方向移動，已知城市A到BC的距離AD＝90km，那么：
（1）臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？
（2）如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都有受到臺風(fēng)破壞的危險，為讓D點的游人脫離危險，游人必須在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離（撤離速度為6km/h）最好選擇什么方向？
22．（10分）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，請?zhí)骄肯铝袉栴}：
（1）求△ABC的面積；
（2）若點P以每秒2cm的速度從點A出發(fā)，沿折線A﹣B﹣C方向運(yùn)動，運(yùn)動到點C時停止，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
①當(dāng)點P在線段AB上運(yùn)動時，線段CP的長度何時最短？求出此時t的值．
②當(dāng)t為何值時，△ACP為等腰三角形？（直接寫出結(jié)果）
23．（11分）著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4×12ab+(a-b)2，由推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c2．
（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理；
（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A、B，AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）小明繼續(xù)思考研究，發(fā)現(xiàn)了三角形已知三邊的長，可求高的一種方法．他是這樣思考的，在第（2）問中若AB≠AC時，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，設(shè)AH＝x，可以求CH的值，請幫小明寫出求CH的過程．
參考答案
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．解：在Rt△ABC中，已知其兩直角邊長a＝6，b＝8，
∴斜邊c=a2+b2=62+82=10，
選：C．
2．解：Rt△ACD中，AC=12AB＝4cm，CD＝3cm；
根據(jù)勾股定理，得：AD=AC2+CD2=5（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
橡皮筋被拉長了2cm．
選：B．
3．解：b2﹣c2＝a2
則b2＝a2+c2
△ABC是直角三角形；
a：b：c＝3：4：5，
設(shè)a＝3x，b＝4x，c＝5x，
a2+b2＝c2，
△ABC是直角三角形；
∠C＝∠A﹣∠B，
則∠A＝∠B+∠C，
∠A＝90°，
△ABC是直角三角形；
∠A：∠B：∠C＝9：12：15，
設(shè)∠A、∠B、∠C分別為9x、12x、15x，
則9x+12x+15x＝180°，
解得，x＝5°，
則∠A、∠B、∠C分別為45°，60°，75°，
△ABC不是直角三角形；
選：D．
4．解：設(shè)中間兩個正方形的邊長分別為x、y，最大正方形E的邊長為z，則由勾股定理得：
x2＝22+32＝13；
y2＝12+22＝5；
z2＝x2+y2＝18；
即最大正方形E的面積為：z2＝18．
選：C．
5．解：∵（a﹣b）?（a2+b2﹣c2）＝0，∴（a﹣b）＝0或（a2+b2﹣c2）＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
選：D．
6．解：∵車寬1.6米，
∴欲通過如圖的隧道，只要比較距隧道中線0.8米處的高度與車高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD=OC2-OD2=12-(810)2=0.6（米），
∴CH＝CD+DH＝0.6+2.3＝2.9（米），
∴卡車的外形高必須低于2.9米．
選：B．
7．解：如圖：
過D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，
∴AD＝DE，
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BD＝5，由勾股定理得：AD＝3，
∴DE＝3，
即點D到BC的距離是3，
選：B．
8．解：正方形A的面積是64，正方形B的面積是100，
∴EF2＝64，DE2＝100，
在Rt△DEF中，由勾股定理得，DF=DE2-EF2=100-64=6，
∴半圓C的半徑為3，
∴半圓C的面積=12?π?32＝4.5π，
選：A．
9．解：如圖，六棱柱側(cè)面展開后，這圈金屬絲的長度最短為AB的長，
由勾股定理得，AB=52+(6×2)2=13(cm)，
選：B．
10．解：如圖，設(shè)∠B為∠1，∠C為∠2，∠CDE為∠3，圖2中∠1的余角為∠4，
∵△ABC是等腰三角形，BD＝6
∴∠1＝∠2，CD＝6，
∵∠2+∠3＝∠1+∠4＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴CO＝OD＝OB，
∴OB=12CD，
∵AO＝AD′，AD′＝AD，
∴AB=AO+OB=AD+12CD，
設(shè)AB為x，
根據(jù)勾股定理得AD=x2-62=x2-36，
∴x=x2-36+12×6，
解得：x=152，
∴AB=152，
選D．
二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）
11．解：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，
∴AB2+CB2＝100＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
∴△ABC的面積是12×AB×BC=12×6×8=24（cm2），
答案為：24．
12．解：由題意得，BC＝5，AB﹣AC＝1，BC⊥AC，
∴AC＝AB﹣1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝BC2+AC2，
∴AB2＝BC2+（AB﹣1）2，
∴AB2＝52+（AB﹣1）2，
解得AB＝13，
∴AB+BC＝13+5＝18（m），
即原樹高為 18m，
答案為：18．
13．解：如圖，延長BE交AD于點F，
∵點E是DC的中點，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠BCE，
∵∠FED＝∠BEC，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
答案為：12．
14．解：根據(jù)翻折的性質(zhì)可知：∠FBD＝∠DBC，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠FBD，
∴BF＝DF，
設(shè)BF＝DF＝x，
∴AF＝9﹣x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴AF2+AB2＝BF2，
（9﹣x）2+32＝x2，
解得x＝5，
∴S△FDB=12×5×3=152．
答案為：152．
15．解：作C關(guān)于AB的對稱點C′，過C′作C′Q⊥BC于Q，交AB于P，連接C′B，
則C′Q的長就是CP+PQ的最小值，
此時CD＝C′D，∠CDB＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC=AB2-AC2=4，
∵S△ABC=12BC×AC=12AB×CD=12AB×12C'C，
∴CC'=245，CD=125，
∴BD=BC2-CD2=165，
∵S△C'BC=12C'C×BD=12BC×C'Q，
∴C'Q=9625．
答案為：9625．
三．解答題（共8小題，滿分75分）
16．（1）證明：∵CD＝2，AD＝3，且AC⊥CD，
∴AC=AD2-CD2=32-22=5，
∵AB＝1，BC＝2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴AB⊥BC；
（2）解：∵S△ABC=12AB?BC，S△ACD=12AC?CD，四邊形ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD，
∴四邊形ABCD的面積=12×1×2+12×5×2＝1+5．
17．（1）證明：∵D是BC的中點，DE⊥BC，
∴DE是線段BC的垂直平分線，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2＝AC2+EA2，
∴△ACE是直角三角形，
∴∠A＝90°；
（2）解：∵D是BC的中點，BD＝10，
∴BC＝2BD＝20，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=BC2-AC2=202-122=16，
∴BE+AE＝16，
∵CE+AE+AC＝BE+AE+AC＝16+12＝28，
∴△AEC的周長為28．
18．（1）解：自A′作A′F⊥BD，垂足為點F（如圖），
由題意可知BD⊥DE，AC⊥BD，AE⊥DE，
∴四邊形ACDE是矩形，
∴CD＝AE＝2m，
∵BD＝3m．
∴BC＝BD﹣CD＝1m，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=22+12=5，
∵A′B⊥AB，AC⊥BD，
∴∠A′BF＝∠BAC＝90°﹣∠ABC，∠A′FB＝∠BCA＝90°，
在△A′BF與△BAC中，
∠A'BF=∠BAC∠A'FB=∠BCAA'B=BA，
∴△A′BF≌△BAC（AAS），
∴A′F＝BC＝1m，
即A′到BD的距離為1m．
（2）∵BP=AB=5m，BD＝3m．
∴PD=BD-BP=(3-5)m，
∵(3-0.4)2＞(5)2，則3-0.4＞5，
∴3-5＞0.4，
∴秋千不會碰到小狗．
19．解：（1）∵AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米，
∴AC2＝169，AD2+CD2＝144+25＝169，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°．
∴BD=AB2-AD2=152-122=9（米）．
（2）∵S△ABD=12AD?BD=12AB?DE，
∴AD?BD＝AB?DE，
∴12×9＝15DE，
∴DE=365（米）．
20．解：嘗試：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，
發(fā)現(xiàn)∵n4+2n2+1＝（n2+1）2，A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
當(dāng)2n＝8時，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；
當(dāng)n2﹣1＝35時，n2+1＝37．
答案為：17；37．
21．解：（1）在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD=1502-902=120.120÷20＝6時；
（2）根據(jù)題意，得游人最好選擇沿AD所在的方向撤離．撤離的時間＝30÷6＝5．
又臺風(fēng)到點D的時間是6小時．
即游人必須在接到臺風(fēng)警報后的1小時內(nèi)撤離，撤離的方向最好是沿AD所在的方向．
22．解：（1）如圖，作AD⊥BC，交BC于點D．
∵△ABC為等腰三角形，且AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，
∴BD＝CD=12BC=12×6＝3（cm），
∴AD=AB2-BD2=52-32=4（cm），
∴S△ABC=12BC?AD=12×6×4＝12（cm2）．
（2）①如圖，當(dāng)PC⊥AB時，線段CP最短．
∵S△ABC=12AB?CP=52CP＝12，
∴CP=245，
∴AP=AC2-CP2=52-(245)2=75（cm），
∴2t＝AP=75，
∴t=710．
②當(dāng)點P在AB邊上（不與點B重合）時：
作CD⊥AB，交AB于點D．
∵S△ABC=12AB?CD=12×5?CD＝12，
∴CD=245，
∴AD=AC2-CD2=52-(245)2=75（cm），
當(dāng)AC＝CP時，2t＝AP＝2AD＝2×75=145，
∴t=75；
當(dāng)AP＝CP時，2t=(245)2+(2t-75)2，
解得t=12528；
∵AB＝5，
∴0＜t≤52，
∴t=12528舍去；
當(dāng)AC＝AP時，點P與點B重合：
∵2t＝AB＝5，
∴t=52．
當(dāng)P點在BC上時，CP＝11﹣2t，
當(dāng)CP＝AC時，11﹣2t＝5，
解得t＝3；
當(dāng)AP＝CP時，11﹣2t=42+(2t-8)2，
解得t=4112；
綜上，當(dāng)t=75或52或3或4112時，△ACP為等腰三角形．
23．解：（1）梯形ABCD的面積為12（a+b）（a+b）=12a2+ab+12b2，
也可以表示為12ab+12ab+12c2，
∴12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，
即a2+b2＝c2；
（2）設(shè)AB＝AC＝x千米，
∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米，
在Rt△ACH中，根據(jù)勾股定理得：CA2＝CH2+AH2，
∴x2＝0.82+（x﹣0.6）2，
解得x≈0.83，
即CA≈0.83千米，
∴CA﹣CH≈0.83﹣0.8≈0.03（千米），
答：新路CH比原路CA少約0.03千米；
（3）∵AH＝x，
∴BH＝AB﹣AH＝21﹣x，
∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，
根據(jù)勾股定理：
在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，
∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，
即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，
解得：x＝6，
∴AH＝6，
∴CH=CA2-AH2=102-62=8．
直角三角形三邊
n2﹣1
2n
B
勾股數(shù)組Ⅰ
/
8

勾股數(shù)組Ⅱ
35
/

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