1.復(fù)習(xí)鞏固氣體三個(gè)實(shí)驗(yàn)定律和理想氣體狀態(tài)方程。 2.會(huì)分析“玻璃管液封”模型和“汽缸活塞”模型。
考點(diǎn)二　“汽缸活塞”模型
考點(diǎn)一　“玻璃管液封”模型
例1 如圖1所示，兩側(cè)粗細(xì)均勻，橫截面積相等的U形管，左管上端封閉，右管上端開(kāi)口。左管中密封氣體的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1＝10 cm，右管中水銀柱上表面比左管中水銀柱上表面低H1＝4 cm。大氣壓強(qiáng)p0＝76 cmHg，環(huán)境溫度為T(mén)＝27 ℃，重力加速度為g。
(1)先將左管中密封氣體緩慢加熱，使左右管水銀柱上表面相平，此時(shí)左管密封氣體的溫度為多少；解析　由題意得，加熱前左管中氣體壓強(qiáng)p左1＝76 cmHg－4 cmHg＝72 cmHg加熱后左管中氣體壓強(qiáng)p左2＝p0＝76 cmHg
其中L1＝10 cm，T1＝(273＋27) K＝300 K解得T2＝380 K。答案　380 K　
(2)使左管中氣體保持(1)問(wèn)的溫度不變，現(xiàn)從右側(cè)端口緩慢注入水銀(與原水銀柱之間無(wú)氣隙)，求注入多少長(zhǎng)度的水銀(右端足夠長(zhǎng)，無(wú)水銀從管口溢出)能使最終穩(wěn)定后左管密封的氣體恢復(fù)原來(lái)的長(zhǎng)度。解析　設(shè)注入水銀的長(zhǎng)度為x，左側(cè)內(nèi)部溫度不變，由玻意耳定律有p左2L2S＝p左3L1S此時(shí)左側(cè)管中氣體壓強(qiáng)p左3＝p0＋ρg(x－H1)解得x＝19.2 cm。答案　19.2 cm
1.如圖2所示，一根上細(xì)下粗、上下分別均勻且上端開(kāi)口、足夠長(zhǎng)的薄壁玻璃管，管內(nèi)用水銀柱封住了一段理想氣體柱。上下管中水銀柱長(zhǎng)度h1＝h2＝2 cm，上方玻璃管橫截面積為S1，下方玻璃管橫截面積為S2，且S2＝2S1，氣體柱長(zhǎng)度l＝6 cm，大氣壓強(qiáng)為76 cmHg，氣體初始溫度為300 K，重力加速度為g。緩慢升高理想氣體溫度，求：(1)當(dāng)水銀剛被全部擠出粗管時(shí)，理想氣體的溫度；(2)當(dāng)理想氣體溫度為451 K時(shí)，水銀柱下端距粗管上端的距離。
答案　(1)410 K　(2)1.6 cm解析　(1)設(shè)水銀剛被全部擠出粗管時(shí)水銀柱的長(zhǎng)度為x，根據(jù)體積關(guān)系可得h1S1＋h2S2＝xS1根據(jù)平衡條件可知，開(kāi)始時(shí)理想氣體的壓強(qiáng)為p1＝p0＋ρg(h1＋h2)水銀剛被全部擠出粗管時(shí)理想氣體的壓強(qiáng)為p2＝p0＋ρgx
(2)設(shè)理想氣體溫度為451 K時(shí)的體積為V3，根據(jù)蓋－呂薩克定律有
設(shè)此時(shí)水銀柱下端距粗管上端的距離為y，則V3＝(l＋h2)S2＋yS1解得y＝1.6 cm。
例2 如圖3，兩側(cè)粗細(xì)均勻、橫截面積相等的U形管豎直放置，左管上端開(kāi)口且足夠長(zhǎng)，右管上端封閉。左管和右管中水銀柱高h(yuǎn)1＝h2＝5 cm，兩管中水銀柱下表面距管底高均為H＝21 cm，右管水銀柱上表面離管頂?shù)木嚯xh3＝20 cm。管底水平段的體積可忽略，氣體溫度保持不變，大氣壓強(qiáng)p0＝75 cmHg，重力加速度為g。
(1)現(xiàn)往左管中再緩慢注入h＝25 cm的水銀柱，求穩(wěn)定時(shí)右管水銀柱上方氣柱的長(zhǎng)度；解析　設(shè)兩側(cè)管的橫截面積為S，對(duì)右管上方氣體，有p3＝p0＝75 cmHg，V3＝h3Sp3′＝p0＋ρgh＝100 cmHg，V3′＝h3′S由玻意耳定律有p3h3S＝p3′h3′S解得h3′＝15 cm。答案　15 cm　
(2)求穩(wěn)定時(shí)兩管中水銀柱下表面的高度差。解析　對(duì)兩水銀柱下方氣柱，注入水銀柱前，有p2＝p0＋ρgh1＝80 cmHg，V2＝2HS注入水銀柱后有p2′＝p0＋ρg(h1＋h)＝105 cmHg設(shè)注入水銀柱后氣柱的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，則V2′＝L1S，由玻意耳定律有p2·2HS＝p2′·L1S解得L1＝32 cm此時(shí)兩側(cè)水銀柱下表面的高度差為Δh＝2H－L1＋2(h3－h(huán)3′)＝20 cm。答案　20 cm
1.“汽缸活塞”模型的解題思路(1)確定研究對(duì)象研究對(duì)象分兩類：①熱學(xué)研究對(duì)象(一定質(zhì)量的理想氣體)；②力學(xué)研究對(duì)象(汽缸、活塞或某系統(tǒng))。(2)分析物理過(guò)程①對(duì)熱學(xué)研究對(duì)象分析清楚初、末狀態(tài)及狀態(tài)變化過(guò)程，依據(jù)氣體實(shí)驗(yàn)定律列出方程。②對(duì)力學(xué)研究對(duì)象要正確地進(jìn)行受力分析，依據(jù)力學(xué)規(guī)律列出方程。(3)挖掘題目的隱含條件，如幾何關(guān)系等，列出輔助方程。(4)多個(gè)方程聯(lián)立求解。注意檢驗(yàn)求解結(jié)果的合理性。
2.兩個(gè)或多個(gè)汽缸封閉著幾部分氣體，并且汽缸之間相互關(guān)聯(lián)的問(wèn)題，解答時(shí)應(yīng)分別研究各部分氣體，找出它們各自遵循的規(guī)律，并寫(xiě)出相應(yīng)的方程，還要寫(xiě)出各部分氣體之間壓強(qiáng)或體積的關(guān)系式，最后聯(lián)立求解。
(1)最終汽缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)；解析　對(duì)左、右汽缸內(nèi)封閉的氣體，初態(tài)壓強(qiáng)p1＝p0，體積V1＝SH＋2SH＝3SH
(2)彈簧的勁度系數(shù)和添加的沙子質(zhì)量。解析　對(duì)右邊活塞受力分析可知mg＋p0·2S＝p2·2S
2.(2024·廣東東莞聯(lián)考)某同學(xué)制作了一個(gè)簡(jiǎn)易的環(huán)境溫度監(jiān)控器，如圖5所示，汽缸導(dǎo)熱，缸內(nèi)溫度與環(huán)境溫度可以認(rèn)為相等，達(dá)到監(jiān)控的效果。汽缸內(nèi)有一質(zhì)量不計(jì)、橫截面積S＝10 cm2的活塞封閉著一定質(zhì)量理想氣體，活塞上方用輕繩懸掛著重物。當(dāng)缸內(nèi)溫度為T(mén)1＝300 K時(shí)，活塞與缸底相距H＝3 cm，與重物相距h＝2 cm。環(huán)境空氣壓強(qiáng)p0=1.0×105 Pa，重力加速度大小g＝10 m/s2，不計(jì)活塞厚度及活塞與缸壁間的摩擦。(1)當(dāng)活塞剛好接觸重物時(shí)，求缸內(nèi)氣體的溫度T2；(2)若重物質(zhì)量為m＝2 kg，當(dāng)輕繩拉力剛好為零，警報(bào)器開(kāi)始報(bào)警，求此時(shí)缸內(nèi)氣體溫度T3。
答案　(1)500 K　(2)600 K
解得T2＝500 K。(2)從剛接觸重物到繩子拉力剛好為零，有p1S＝p0S＋mg
(1)此時(shí)上、下部分氣體的壓強(qiáng)；解析　整個(gè)裝置旋轉(zhuǎn)過(guò)程，上部分氣體發(fā)生等溫變化，根據(jù)玻意耳定律可知
解得旋轉(zhuǎn)后上部分氣體壓強(qiáng)為p1＝2p0。整個(gè)裝置旋轉(zhuǎn)過(guò)程，下部分氣體發(fā)生等溫變化，下部分氣體體積增大為
(2)“H”型連桿活塞的質(zhì)量(重力加速度大小為g)。
1.如圖1所示，粗細(xì)均勻的U形細(xì)管左側(cè)封閉，右側(cè)裝有閥門(mén)，水平部分和豎直部分長(zhǎng)均為L(zhǎng)＝10 cm，管中盛有一定質(zhì)量的水銀。先開(kāi)啟閥門(mén)，U形管靜止時(shí)左側(cè)水銀柱比右側(cè)高h(yuǎn)＝5 cm，再關(guān)閉閥門(mén)，使U形管以某一恒定加速度向左加速，液面穩(wěn)定后發(fā)現(xiàn)兩豎直管中液面變?yōu)榈雀摺９苤袣怏w均視為理想氣體，整個(gè)過(guò)程溫度不變，大氣壓強(qiáng)p0＝75 cmHg，重力加速度g＝10 m/s2，求：(1)靜止時(shí)左側(cè)氣體的壓強(qiáng)p1；(2)關(guān)閉閥門(mén)向左加速時(shí)的加速度大小a。
解析　(1)設(shè)U形管橫截面積為S，水銀密度為ρ，靜止時(shí)右側(cè)氣體的壓強(qiáng)為大氣壓p0對(duì)底部液柱由平衡條件有p0S＝(p1＋ρgh)S大氣壓強(qiáng)p0可表示為p0＝ρgh0其中h0＝75 cm解得p1＝70 cmHg。
(2)設(shè)底部液柱質(zhì)量為m，向左加速穩(wěn)定時(shí)左邊氣體壓強(qiáng)為p2，右邊氣體壓強(qiáng)為p3
對(duì)左邊氣體由玻意耳定律得p1L1S＝p2L2S對(duì)右邊氣體由玻意耳定律得p0LS＝p3L3S對(duì)底部液柱由牛頓第二定律有p3S－p2S＝ma其中m＝ρLS
2.如圖2所示，一端開(kāi)口一端封閉粗細(xì)均勻足夠長(zhǎng)的“U”形玻璃管豎直放置，管內(nèi)兩段水銀柱封閉了A、B兩部分理想氣體，開(kāi)始管外環(huán)境溫度為T(mén)1＝300 K，穩(wěn)定時(shí)各段水銀柱和空氣柱的長(zhǎng)度分別為h1＝14 cm，h2＝10 cm，h3＝15 cm。現(xiàn)使A、B兩部分理想氣體緩慢升高同樣的溫度，穩(wěn)定時(shí)下方水銀柱兩側(cè)水銀面相平，大氣壓強(qiáng)為p0＝76 cmHg，重力加速度為g。求：(1)開(kāi)始A、B兩部分氣體的壓強(qiáng)pA1和pB1；(2)升高后的溫度T2和升溫后A部分氣體氣柱的長(zhǎng)度LA。
答案　(1)90 cmHg　80 cmHg　(2)450 K　15 cm解析　(1)如題圖所示，A、B兩部分氣體的壓強(qiáng)為pA1＝p0＋ph1＝76 cmHg＋14 cmHg＝90 cmHgpB1＝pA1－ph2＝90 cmHg－10 cmHg＝80 cmHg。(2)開(kāi)始?xì)怏w溫度為T(mén)1＝300 K，B氣柱長(zhǎng)度為L(zhǎng)B1＝h3＝15 cm，升溫后氣體溫度為T(mén)2，A、B兩部分管內(nèi)最低水銀面相平，可求B氣體壓強(qiáng)為pB2＝pA1＝90 cmHg
對(duì)B氣體，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程有
代入數(shù)據(jù)解得T2＝450 K升溫過(guò)程A部分氣體做等壓變化，根據(jù)蓋－呂薩克定律有
3.如圖3所示，體積分別為V和2V的導(dǎo)熱汽缸Ⅰ、Ⅱ通過(guò)細(xì)管相連，汽缸內(nèi)通過(guò)活塞A、B封閉有一定質(zhì)量的理想氣體，汽缸Ⅰ的橫截面積為S，封閉氣體的壓強(qiáng)為p0；汽缸Ⅱ的橫截面積是2S，封閉氣體的壓強(qiáng)為1.25p0?，F(xiàn)給活塞A施加一水平向右逐漸增大的壓力，當(dāng)汽缸Ⅰ中一半質(zhì)量的氣體進(jìn)入汽缸Ⅱ時(shí)(環(huán)境溫度不變，大氣壓強(qiáng)為p0)，已知汽缸內(nèi)壁光滑，活塞厚度不計(jì)。求：(1)活塞A移動(dòng)的距離；(2)加在活塞A上的水平推力大小。
解析　(1)設(shè)后來(lái)兩部分氣體的壓強(qiáng)為p，活塞A移動(dòng)的距離為x，則汽缸Ⅰ內(nèi)的氣體體積變?yōu)閂1＝2(V－xS)汽缸Ⅱ內(nèi)的氣體體積變?yōu)閂2＝V＋xS由玻意耳定律：對(duì)Ⅰ內(nèi)的氣體p0V＝pV1對(duì)Ⅱ內(nèi)的氣體1.25p0·2V＝pV2
(1)活塞A、B分別下移的距離x1、x2；(2)對(duì)汽缸Ⅱ氣體加熱，使B活塞恰好回到初始位置，此時(shí)汽缸Ⅱ內(nèi)氣體溫度T。
體積V2＝(L－x2)S此過(guò)程中氣體發(fā)生等溫變化，由玻意耳定律有2p0LS＝p2V2
體積V1＝(L＋x2－x1)S由玻意耳定律有p0LS＝p1V1
(2)對(duì)汽缸Ⅱ內(nèi)氣體加熱，使B活塞恰好回到初始位置過(guò)程，氣體做等壓變化，由蓋－呂薩克定律有

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