一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.問題：①某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶，為了了解社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽出一個(gè)容量為100戶的樣本；②從10名學(xué)生中抽出3人參加座談會(huì)，方法：Ⅰ簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法；Ⅱ分層抽樣法.則問題與方法配對(duì)正確的是( )
A. ①Ⅰ②ⅡB. ①Ⅰ②ⅠC. ①Ⅱ②ⅠD. ①Ⅱ②Ⅱ
2.直線x+y? 3=0的傾斜角為( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°
3.已知m，n表示兩條直線，α表示一個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題：
①m⊥αn⊥α?m//n；②m⊥αm⊥n?n//α；③m//αn//α?m//n；④m⊥αn//α?m⊥n．
其中正確命題的序號(hào)是( )
A. ①②B. ②④C. ②③D. ①④
4.已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為( )
A. 2 33πB. 2 23πC. 33πD. 23π
5.如圖所示，矩形O′A′B′C′是一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，其中O′A′=3，O′C′=1，則原圖形是( )
A. 面積為6 2的菱形B. 面積為6 2的矩形
C. 面積為3 24的菱形D. 面積為3 24的矩形
6.某校組織1000名學(xué)生參加紀(jì)念紅軍長(zhǎng)征90周年知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這1000名學(xué)生的成績(jī)都在區(qū)間[50,100]內(nèi)，按分?jǐn)?shù)分成5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖、根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. 成績(jī)?cè)赱50,60)上的人數(shù)最少
B. 成績(jī)不低于80分的學(xué)生所占比例為50%
C. 用分層抽樣從該校學(xué)生中抽取容量為100的樣本，則應(yīng)在[70,80)內(nèi)抽取30人
D. 這1000名學(xué)生成績(jī)的平均分小于第50百分位數(shù)
7.如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的半球面上，AB=AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為( )
A. 4 2B. 2 2C. 2D. 2
8.在下列關(guān)于概率的命題中，正確的有( )
A. 若事件A，B滿足P(A)+P(B)=1，則A，B為對(duì)立事件
B. 若三個(gè)事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則P(ABC)=P(A)?P(B)?P(C)
C. 若事件A，B滿足P(A)=13，P(B)=34，P(AB)=14，則A，B相互獨(dú)立
D. 若事件A與B是互斥事件，則A與B?也是互斥事件
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列事件是隨機(jī)事件的是( )
A. 連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面朝上
B. 異性電荷相互吸引
C. 在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1℃結(jié)冰
D. 買一注彩票中了特等獎(jiǎng)
E. 擲一次骰子，向上的一面的點(diǎn)數(shù)是6
10.要考察某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取種子，先將850顆種子按001，002，…，850進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)數(shù)表第2行第2列的數(shù)開始并向右讀，下列選項(xiàng)中屬于最先檢驗(yàn)的4顆種子中一個(gè)的是________.(下面抽取了隨機(jī)數(shù)表第1行至第3行)( )
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
A. 774B. 946C. 428D. 572
11.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E，F(xiàn)分別是BC，A1C1的中點(diǎn)，D在線段B1C1上，則下面說法中正確的有( )
A. EF//平面AA1B1B
B. 若D是B1C1上的中點(diǎn)，則BD⊥EF
C. 直線EF與平面ABC所成角的正弦值為2 55
D. 直線BD與直線EF所成角最小時(shí)，線段BD長(zhǎng)為3 22
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.學(xué)校從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2人參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，則選出的2人中至少有1名女同學(xué)的概率為______(結(jié)果用數(shù)值表示)
13.直線l1：ax+y+1=0與直線l2：ax?y+1=0垂直，則實(shí)數(shù)a= ______．
14.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E是側(cè)棱AA1的中點(diǎn)，則平面B1CE截正方體ABCD?A1B1C1D1所得的截面圖形的周長(zhǎng)是______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
甲、乙兩人獨(dú)立地參加本次普通高中化學(xué)學(xué)業(yè)水平合格性考試，他們的考試成績(jī)互不影響.甲的化學(xué)成績(jī)得滿分的概率為35，乙的化學(xué)成績(jī)得滿分的概率為23．
(1)求甲、乙兩人的化學(xué)成績(jī)都得滿分的概率；
(2)求甲、乙兩人至少有一人的化學(xué)成績(jī)沒有得滿分的概率．
16.(本小題12分)
已知△ABC頂點(diǎn)A(1,2)，B(?3,?1)，C(3,?3)．
(1)求邊BC上的高所在直線的方程；
(2)若直線l過點(diǎn)A，且l的縱截距是橫截距的2倍，求直線l的方程．
17.(本小題12分)
上周某校高三年級(jí)學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測(cè)試，年級(jí)組織任課教師對(duì)這次考試進(jìn)行成績(jī)分析.現(xiàn)從中隨機(jī)選取了40名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，已知這40名學(xué)生的成績(jī)?nèi)吭?0分至100分之間，現(xiàn)將成績(jī)按如下方式分成6組：第一組；第二組；…；第六組，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)估計(jì)這次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和眾數(shù)和35%分位數(shù)；
(2)從成績(jī)大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選2名，求至少有1名學(xué)生的成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]內(nèi)的概率．
18.(本小題12分)
已知四棱錐P?ABCD的底面是梯形，PD⊥底面ABCD，且AB//CD，AD⊥CD，PD=2AB=2AD=CD=2，PM=13PC．
(1)求證：PA//平面MBD；
(2)求點(diǎn)C到平面MBD的距離；
(3)求直線PB與平面MBD所成角的正弦值．
19.(本小題12分)
某企業(yè)招聘員工，指定“英語聽說”、“信息技術(shù)”、“邏輯推理”作為三門考試課程，有兩種考試方案．
方案一：參加三門課程的考試，至少有兩門及格為通過；
方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，并參加這兩門課程的考試，兩門都及格為通過．
假設(shè)某應(yīng)聘者參加三門指定課程考試及格的概率分別是p1，p2，p3(pi∈(0,1)，i=1，2，3)
且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響．
(1)分別求該應(yīng)聘者選方案一考試通過的概率T1和選方案二考試通過的概率T2；
(2)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由．
參考答案
1.C
2.D
3.D
4.C
5.A
6.C
7.A
8.C
9.ADE
10.ACD
11.ACD
12.710
13.±1
14.3 2+2 5
15.解：(1)根據(jù)題意，設(shè)事件A=“甲的化學(xué)成績(jī)得滿分”，B=“乙的化學(xué)成績(jī)得滿分”，
事件AB，即甲、乙兩人的化學(xué)成績(jī)都得滿分，
故P(AB)=P(A)P(B)=35×23=25；
(2)根據(jù)題意，事件AB?，即甲、乙兩人至少有一人的化學(xué)成績(jī)沒有得滿分，
其概率P(AB?)=1?P(AB)=1?25=35．
16.解：(1)由△ABC頂點(diǎn)A(1,2)，B(?3,?1)，C(3,?3)，可得kBC=?3?(?1)3?(?3)=?13，
所以其高線斜率滿足kl?kBC=?1，即kl=3，
所以邊BC的高所在直線的方程為y?2=3(x?1)，即3x?y?1=0；
(2)由直線l過點(diǎn)A，且l的縱截距是橫截距的2倍，
可分為兩種情況討論：
當(dāng)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，k=21=2，此時(shí)直線l：y=2x，符合題意；
當(dāng)直線l不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線方程為xa+y2a=1，
由l過點(diǎn)A(1,2)，則1a+22a=1，解得a=2，
所以直線l方程為x2+y4=1，即2x+y?4=0，
綜上所述，直線l的方程為y=2x或2x+y?4=0．
17.解：(1)因各組的頻率之和為1，
所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,90)內(nèi)的頻率1?(0.005×2+0.015+0.020+0.045)×10=0.1，
所以平均分x?=0.05×45+0.15×55+0.45×65+0.20×75+0.10×85+0.05×95=68，
眾數(shù)的估計(jì)值是60+702=65，
設(shè)35%分位數(shù)為x，因?yàn)閇40,50)的頻率為0.05，[50,60)的頻率為0.15，[60,70)的頻率為0.45，
所以x∈[60,70)，所以0.05+0.15+(x?60)×0.045=0.35，解得x=6313；
(2)解：設(shè)A表示事件“在成績(jī)大于等于80分的學(xué)生中隨機(jī)選2名，至少有1名學(xué)生的成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]內(nèi)”，
由題意可知成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80,90)內(nèi)的學(xué)生所選取的有：0.010×10×40=4人，
記這4名學(xué)生分別為a，b，c，d；
成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]內(nèi)的學(xué)生有0.005×10×40=2人，
記這2名學(xué)生分別為e，f；
則從這6人中任選2人的基本事件為：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，
(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，共15種，
事件“至少有1名學(xué)生的成績(jī)?cè)趨^(qū)間[90,100]內(nèi)”的可能結(jié)果為：(a,e)，(a,f)，(b,e)，(b,f)，
(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，共9種，
所以P(A)=915=35．
18.(1)證明：連接AC與BD交于點(diǎn)E，連接ME，
因?yàn)锳B/?/CD，CD=2AB，所以AE=13AC，
又PM=13PC，故PM=13PC，所以PA//ME．
又PA?平面MBD，ME?平面MBD，
所以PA//平面MBD．
(2)解：由已知得PD，AD，CD兩兩垂直，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，
又PM=13PC，故M(0,23,43)，則DB=(1,1,0)，DM=(0,23,43)，DC=(0,2,0)，
設(shè)平面BDM的法向量m=(x,y,z)，則m?DB=0，m?DM=0，
即x+y=023y+43z=0，取x=2，則y=?2，z=1故m=(2,?2,1)，
設(shè)點(diǎn)C到平面MBD的距離為?，則?=|DC?m||m|=43．
(3)解：由(2)知平面BDM的法向量為m=(2,?2,1)，PB=(1,1,?2)，
故cs?m,PB?=m?PB|m||PB|=?23× 6=? 69，
所以直線PB與平面MBD所成角的正弦值為 69．
19.解：(1)根據(jù)題意，設(shè)通過“英語聽說”考試為事件A，通過“信息技術(shù)”考試為事件B，通過“邏輯推理”考試為事件C，
則T1=P(ABC?+AB?C+A?BC+ABC)=P(ABC?)+P(AB?C)+P(A?BC)+P(ABC)
=p1p2(1?p3)+p1p3(1?p1)+p2p3(1?p1)+p1p2p3=p1p2+p1p3+p2p3?2p1p2p3，
T2=13P(AB)+13P(AC)+13P(BC)=13(p1p2+p1p3+p2p3)；
(2)根據(jù)題意，選擇方案一，該應(yīng)聘者通過的概率較大，
理由如下：
由(1)的結(jié)論，T1=p1p2+p1p3+p2p3?2p1p2p3，
T2=13(p1p2+p1p3+p2p3)；
則T1?T2=p1p2+p1p3+p2p3?2p1p2p3?13(p1p2+p1p3+p2p3)=23[p1p2(1?p3)+p1p3(1?p1)+p2p3(1?p1)]，
又由pi∈(0,1)，i=1，2，3，則有T1?T2>0，即T1>T2，
故選擇方案一，該應(yīng)聘者通過的概率較大．

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