一、單選題（本大題共8小題）
1．問題：①某社區(qū)有500個家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶，為了了解社會購買力的某項指標，要從中抽出一個容量為100戶的樣本；②從10名學生中抽出3人參加座談會，方法：Ⅰ簡單隨機抽樣法；Ⅱ分層抽樣法.則問題與方法配對正確的是（ ）
A．①Ⅰ②ⅡB．①Ⅰ②ⅠC．①Ⅱ②ⅠD．①Ⅱ②Ⅱ
2．直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
3．已知表示兩條不同的直線，表示一個平面，給出下列四個命題：
①；②；
③；④.
其中正確命題的序號是
A．①②B．②③C．②④D．①④
4．已知圓錐的側面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐的體積是（ ）
A．B．C．D．
5．如圖所示，矩形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形是（ ）

A．面積為的矩形B．面積為的矩形
C．面積為的菱形D．面積為的菱形
6．某校組織1000名學生參加紀念紅軍長征90周年知識競賽，經統(tǒng)計這1000名學生的成績都在區(qū)間內，按分數(shù)分成5組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖?根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結論錯誤的是（ ）
A．成績在上的人數(shù)最少
B．成績不低于80分的學生所占比例為50%
C．用分層抽樣從該校學生中抽取容量為100的樣本，則應在內抽取30人
D．這1000名學生成績的平均分小于第50百分位數(shù)
7．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點都在半徑為2的半球面上，AB=AC，側面BCC1B1是半球底面圓的內接正方形，則側面ABB1A1的面積為（ ）
A．B．C．1D．2
8．在下列關于概率的命題中，正確的是（ ）
A．若事件、滿足，則、為對立事件
B．若三個事件、、兩兩獨立，則
C．若事件、滿足，，，則、相互獨立
D．若事件與是互斥事件，則與也是互斥事件
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列事件是隨機事件的是（ ）
A．連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面朝上B．異性電荷相互吸引
C．在標準大氣壓下，水在1℃結冰D．買一注彩票中了特等獎
E．擲一次骰子，向上的一面的點數(shù)是6
10．要考查某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進行實驗，利用隨機數(shù)表法抽取種子，先將850顆種子按001，002，…，850進行編號，如果從隨機數(shù)表第2行第2列的數(shù)開始并向右讀，下列選項中屬于最先檢驗的4顆種子中一個的是________.(下面抽取了隨機數(shù)表第1行至第3行)（ ）
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
A．774B．946C．428D．572
11．在直三棱柱中，，，分別是的中點，在線段上，則下面說法中正確的有（ ）
A．平面
B．若是上的中點，則
C．直線與平面所成角的正弦值為
D．直線與直線所成角最小時，線段長為
三、填空題（本大題共3小題）
12．學校從名男同學和名女同學中任選人參加志愿者服務活動，則選出的人中至少有名女同學的概率為 （結果用數(shù)值表示）．
13．直線與直線垂直，則實數(shù) .
14．如圖，正方體的棱長為2，E是側棱的中點，則平面截正方體所得的截面圖形的周長是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．甲、乙兩人獨立地參加本次普通高中化學學業(yè)水平合格性考試，他們的考試成績互不影響．甲的化學成績得滿分的概率為，乙的化學成績得滿分的概率為．
(1)求甲、乙兩人的化學成績都得滿分的概率；
(2)求甲、乙兩人至少有一人的化學成績沒有得滿分的概率．
16．已知頂點，，.
(1)求邊BC上的高所在直線的方程；
(2)若直線l過點A，且l的縱截距是橫截距的2倍，求直線l的方程.
17．上周某校高三年級學生參加了數(shù)學測試，年級組織任課教師對這次考試進行成績分析.現(xiàn)從中隨機選取了40名學生的成績作為樣本，已知這40名學生的成績全部在40分至100分之間，現(xiàn)將成績按如下方式分成6組：第一組；第二組；……；第六組，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計這次月考數(shù)學成績的平均分和眾數(shù)和35分位數(shù)；
(2)從成績大于等于80分的學生中隨機選2名，求至少有1名學生的成績在區(qū)間內的概率.
18．已知四棱錐的底面是梯形，底面，且，.
(1)求證：平面；
(2)求點C到平面的距離；
(3)求直線與平面所成角的正弦值.
19．某企業(yè)招聘員工，指定“英語聽說”?“信息技術”?“邏輯推理”作為三門考試課程，有兩種考試方案.
方案一：參加三門課程的考試，至少有兩門及格為通過；
方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，并參加這兩門課程的考試，兩門都及格為通過.
假設某應聘者參加三門指定課程考試及格的概率分別是.，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.
(1)分別求該應聘者選方案一考試通過的概率和選方案二考試通過的概率；
(2)試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由.
參考答案
1．【答案】C
【分析】
利用隨機抽樣方法求解．
【詳解】
解：根據(jù)①中由于小區(qū)中各個家庭收入水平之間存在明顯差別，故①要采用分層抽樣的方法，②中從10名同學中抽取3個參加座談會，總體容量和樣本容量均不大，要采用簡單隨機抽樣的方法．
故選：．
2．【答案】D
【詳解】由題意可知，直線，即，
可知直線l的斜率，
設直線l的傾斜角為，則，所以.
故選D.
3．【答案】D
【詳解】①?m∥n，根據(jù)線面垂直的性質定理：垂直于同一平面的兩直線平行，故①正確．
②?n∥α，由m⊥α，m⊥n得n∥α或n?α，故②不正確．
③?m∥n，由m∥α，n∥α，則m，n可能平行、可能相交、可能異面．故③不正確．
④ ，則m，n可能相交、可能異面，根據(jù)異面直線所成的角，可知m⊥n．故④正確．
故選D．
4．【答案】A
【詳解】設圓錐底面圓半徑為，母線為，高為.
由題意得，解得，，
該圓錐的體積是.
故選：A.
5．【答案】C
【詳解】，所以，
故在原圖中，，
，
所以四邊形為菱形(如圖所示)，，
則原圖形面積為.

故選：C.
6．【答案】C
【詳解】對于A，這一組頻率最小，即成績在上的人數(shù)最少，A正確；
對于B，成績不低于80分的學生頻率為，成績不低于80分的學生所占比例為，B正確；
對于C，根據(jù)分層抽樣特點得，則應在內抽取人 ，C錯誤；
對于D，根據(jù)頻率分布直方圖，得1000名學生成績的平均數(shù)是
，
而1000名學生成績的第50百分位數(shù)即中位數(shù)為80，
因此1000名學生成績的平均分小于中位數(shù)，D正確.
故選：C
7．【答案】A
【詳解】由題意知，球心在側面的中心 上，為截面圓的直徑，
， 的外接圓圓心是 的中點，
同理的外心 是的中點．
設正方形的邊長為 ，
在中， ，， (R為球的半徑)，
∴，即 ，則，
.故選A.
考點：空間點、線、面的位置關系.
8．【答案】C
【詳解】對于A選項，若事件、不互斥，但是恰好，滿足，
但是、不是對立事件．故A錯誤；
對于B選項，設樣本空間含有等可能的樣本點，
且，，，
可求得，，，
所以，，，
即、、兩兩獨立，但，
所以，故B錯誤；
對于C選項，因為事件、滿足，，，
所以，所以、相互獨立，故C正確；
對于D選項，若事件與是互斥事件，不妨設與對立，則，此時，與是同一事件，故D錯誤．
故選：C.
9．【答案】ADE
【解析】根據(jù)隨機事件的定義，進行判斷，即可得答案.
【詳解】根據(jù)題意得：A，D，E是隨機事件，B為必然事件，C為不可能事件.
故選：ADE.
10．【答案】ACD
【分析】依據(jù)題意結合隨機數(shù)表法直接讀數(shù)并滿足號碼不大于850即可.
【詳解】依據(jù)題意可知：向右讀數(shù)依次為：774，946，774，428，114，572，042，533，…
所以最先檢驗的4顆種子符合條件的為：774，428，114，572
故選：ACD
【點睛】本題考查簡單隨機抽樣中的隨機數(shù)表法，掌握讀數(shù)的方法，屬基礎題.
11．【答案】ACD
【詳解】由題意可得，，，，
，，，設，
，，
直三棱柱中，，
可得為平面的一個法向量，
為平面的一個法向量，
對于A，，，
即，又平面，所以平面，故A正確；
對于B，若是上的中點，則，
所以，所以與不垂直，故B不正確；
對于C，由為平面的一個法向量，，
設直線與平面所成角為，
則，故C正確；
對于D，設，
則，

當時，即時，取最大值，
即直線與直線所成角最小，此時，
，故D正確.
故選：ACD
12．【答案】
【詳解】解：學校從3名男同學和2名女同學中任選2人參加志愿者服務活動，
基本事件總數(shù)n10．
選出的2人中至少有1名女同學包含的基本事件個數(shù)m7，
則選出的2人中至少有1名女同學的概率為p．
故答案為．
13．【答案】
【詳解】由于，所以.
故答案為：
14．【答案】
【詳解】為中點，連接，
正方體中，，，則四邊形為平行四邊形，
有，，
為中點，是的中點，則，得，
則平面截正方體所得的截面圖形為梯形，
其中，，，
則梯形的周長為 即所得的截面圖形的周長是
故答案為：
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意，甲、乙兩人的化學成績都得滿分的概率為.
（2）由題意，甲、乙兩人至少有一人的化學成績沒有得滿分的概率為.
16．【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）由、，且，
所以其高線斜率滿足，即，
所以邊BC的高所在直線的方程為，即；
（2）當直線過坐標原點時，，此時直線，符合題意；
當直線不過坐標原點時，由題意設直線方程為，
由過點，則，解得，
所以直線方程為，即，
綜上所述，直線的方程為或.
17．【答案】(1)68，65，；
(2).
【詳解】（1）解：因各組的頻率之和為1，
所以成績在區(qū)間內的頻率
；
所以平均分；
眾數(shù)的估計值是；
設分位數(shù)為，因為的頻率為，的頻率為，的頻率為，
所以，
所以，
解得；
（2）解：設表示事件“在成績大于等于80分的學生中隨機選2名，至少有1名學生的成績在區(qū)間內”，
由題意可知成績在區(qū)間內的學生所選取的有：人，
記這4名學生分別為；
成績在區(qū)間內的學生有人，
記這2名學生分別為；
則從這6人中任選2人的基本事件為： , ，共15種，
事件“至少有1名學生的成績在區(qū)間內”的可能結果為：,，共9種，
所以.
故所求事件的概率為：.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）連接與BD交于點，連接
因為，所以.
又，故，所以
又不在平面內，平面，
所以平面;
（2）由已知得兩兩垂直，
以分別為軸建立空間直角坐標系
則，又，
故,
由已知得，
設平面BDM的法向量，則，
即，取，則，故,
設點到平面的距離為，則,
（3）由（2）知平面BDM的法向量為
故,
所以直線PB與平面MBD所成角的正弦值為,
19．【答案】(1)；
(2)，理由見解析
【詳解】（1）記該應聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為，
則.
應聘者選方案一考試通過的概率
應聘者選方案二考試通過的概率
（2）
，
因為，所以,即.
故，即選方案一，該應聘者考試通過的概率較大.

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