1.本試題卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).
3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無(wú)效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.
選擇題部分
一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選?多選?錯(cuò)選均不得分.）
1. 已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)寫出復(fù)數(shù)，再應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法化簡(jiǎn)求復(fù)數(shù).
【詳解】由題設(shè).
故選：A
2. 在下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的一組基底為兩個(gè)不共線的非零向量，結(jié)合的坐標(biāo)，逐項(xiàng)判斷可得答案.
【詳解】A.為零向量，不能作為基底，A錯(cuò)誤.
B.由得，，故，不能作為一組基底，B錯(cuò)誤.
C.由得為不共線的非零向量，可以作為基底，C正確.
D.由得，，故，不能作為一組基底，D錯(cuò)誤.
故選：C.
3. 已知正三角形的邊長(zhǎng)為1，則的值為（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加減的幾何意義及數(shù)量積的運(yùn)算律求.
【詳解】由題設(shè).
故選：C
4. 在中，，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知及余弦定理得，進(jìn)而有，再應(yīng)用三角形面積公式求面積.
【詳解】由題設(shè)，且為三角形的最大角，
所以，則的面積為.
故選：D
5. 已知，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求得答案.
【詳解】由，得，，
所以在上的投影向量為.
故選：A
6. 已知平面向量滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)條件可得，表示，利用基本不等式可得最大值.
【詳解】不妨設(shè)，
∴，
∵，∴，即，
∴.
∵，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴的最大值為.
故選：B.
7. 是斜邊上一點(diǎn)，若，則的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合幾何圖形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解.
【詳解】在中，令，由，則，
，，
在中，，由正弦定理，，
即，整理得，
即，因，則有，即的值是.
故選：D
8. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，依次是邊的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），記，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到，，表示，利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可比較大小.
【詳解】
∵，∴，
∵，∴.
∵，∴.
∵依次是邊的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），
∴，
，
，
∴
，
，
，
∴.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算，即可比較大小.
二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選，錯(cuò)選得0分.）
9. 已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則下列正確的是（ ）
A. 的虛部為
B.
C. 是純虛數(shù)
D. 若是方程的一個(gè)根，則
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)已知有，設(shè)且，進(jìn)而求得，，最后依次判斷各項(xiàng)正誤.
【詳解】由題設(shè)，令且，
所以，即，
所以，則，可得，
所以，，則，A錯(cuò)，B對(duì)；
，C對(duì)；
若是方程的一個(gè)根，
則，，故，D錯(cuò)
故選：BC
10. 已知單位向量的夾角為，若平面向量，有序?qū)崝?shù)對(duì)稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記，則下列命題正確的是（ ）
A. 已知，則
B. 已知，則線段的長(zhǎng)度為1
C. 已知，則
D. 已知，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)“仿射”坐標(biāo)系的定義，依據(jù)各項(xiàng)條件并應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及相關(guān)坐標(biāo)運(yùn)算判斷正誤即可.
【詳解】A：由題設(shè)，
所以，對(duì)；
B：由題設(shè)，則，對(duì)；
C：由題設(shè)，錯(cuò)；
D：由題設(shè)，即，
由，且時(shí)取等號(hào)，
則，故，即時(shí)的最大值為，對(duì).
故選：ABD
11. 已知銳角，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，下列命題正確的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分條件
B. 若，則是等腰三角形
C. 若，則的取值范圍
D. 若，則的取值范圍
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)充分、必要性定義及誘導(dǎo)公式、銳角三角形性質(zhì)判斷A；由已知及正弦邊角關(guān)系及二倍角正弦公式有，結(jié)合銳角三角形有判斷B；由已知及正余弦定理、三角恒等變換得，進(jìn)而有，且，再由、求范圍，即可判斷C、D.
【詳解】由，則，所以，必要性成立，
由，又為銳角三角形，必有，充分性成立，
所以“”是“”的充要條件，A錯(cuò)；
由，又，
故，則，
又，則或，得或（舍），
所以為等腰三角形，B對(duì)；
由，又，則，
所以，則，故，
所以，即，
結(jié)合三角形為銳角三角形，可得，故，
由，故，C對(duì)；
，
又，顯然在上單調(diào)遞減，
所以，D對(duì).
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于C、D，根據(jù)已知得到，且為關(guān)鍵.
非選擇題部分
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 已知向量，若，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值.
詳解】由題設(shè)，且，
所以，則.
故答案為：
13. 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式求的最大值為__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)新定義有，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求其最大值.
【詳解】由題設(shè)，
當(dāng)，即時(shí)，的最大值為2.
故答案為：2
14. 已知為單位向量，設(shè)向量，向量的夾角為，若，求的取值范圍__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知及數(shù)量積的運(yùn)算律求得，，，再應(yīng)用數(shù)量積的夾角公式求的范圍.
【詳解】由，
所以，故，
又，，
所以
，而，所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知得到為關(guān)鍵.
四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）
15. 已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足
（1）求值；
（2）在復(fù)平面內(nèi)，若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）令且，根據(jù)已知等量關(guān)系得，進(jìn)而求復(fù)數(shù)的模；
（2）由已知有，結(jié)合其所在象限列不等式組求參數(shù)范圍.
【小問(wèn)1詳解】
令且，則，
所以，則，可得，
所以，則；
【小問(wèn)2詳解】
由，
故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，則，
所以，即.
16. 已知的內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為是外一點(diǎn)，若，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求四邊形面積的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及和角正弦公式得，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)及已知，即可確定角的大??；
（2）由（1）為等邊三角形，令，建立直角坐標(biāo)系并確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，由及三角形面積公式、輔助角公式、正弦型函數(shù)的性質(zhì)求范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由題設(shè)，即，
所以，而，故，
又，則，故.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）易知為等邊三角形，令，建立如下圖的直角坐標(biāo)系，
則，，，故，
所以
，當(dāng)時(shí)取最大值為.
17. 在中，為線段上的點(diǎn)，分別為的中點(diǎn).
（1）若，求值；
（2）若，求的長(zhǎng)度；
（3）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）令得到，結(jié)合已知即可求參數(shù)值；
（2）由已知得，，，結(jié)合已知有，再應(yīng)用余弦定理求邊長(zhǎng)；
（3）根據(jù)已知有均為等腰三角形，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及幾何意義，將條件化為，結(jié)合已知求.
【小問(wèn)1詳解】
令，則，
而，即；
【小問(wèn)2詳解】
由題意，在、中為斜邊上的中點(diǎn)，
所以，，故，，
所以，
由，
所以，
故；
【小問(wèn)3詳解】
由（2）易知，則，

所以，
同理，
所以，即，
顯然，則.
18. 杭州最高的建筑是杭州世紀(jì)中心，也被形象地稱為“杭州之門”，作為杭州的新地標(biāo)，它不僅是城市的一道亮麗風(fēng)景線，更是杭州發(fā)展的重要見證，也是旅游打卡的勝地.某校高一研究性學(xué)習(xí)小組在老師帶領(lǐng)下去測(cè)量“杭州之門”的高度，該小組同學(xué)在該建筑底部的東南方向上選取兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)與，測(cè)得米，在兩處測(cè)得該建筑頂部的仰角分別為.（已知）
（1）請(qǐng)計(jì)算“杭州之門”的高度（保留整數(shù)部分）；
（2）為慶祝某重大節(jié)日，在“杭州之門”上到處設(shè)計(jì)特殊的“燈光秀”以烘托節(jié)日氣氛.知米，高直接?。?）的整數(shù)結(jié)果，市民在底部的東南方向的處欣賞“燈光秀”（如圖），請(qǐng)問(wèn)當(dāng)為多少米時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大？（結(jié)果保留根式）
【答案】（1）300米；
（2）為米時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知有，即可求的高度；
（2）由，根據(jù)已知及差角正切公式、基本不等式求的最值，確定取值條件即可得結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
由題設(shè)，
所以米；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)米，則，，
由，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，欣賞“燈光秀”的視角最大.
19. 如圖，已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn).設(shè)，且.
（1）若，求的面積；
（2）求的最小值；
（3）若，設(shè)的周長(zhǎng)為.
（i）求的值；
（ii）設(shè)，記，求的值域.
【答案】（1）；
（2）；
（3）（i）3；（ii）.
【解析】
【分析】（1）連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，設(shè)，則，結(jié)合三點(diǎn)共線可得，，進(jìn)而求得，，即可得出結(jié)果.
（2）取的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)向量及數(shù)量積的定義、運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)求出最小值.
（3）（i）根據(jù)給定條件，結(jié)合中點(diǎn)向量及共線向量定理的推論求解即得；（ii）求出，由余弦定理求得，結(jié)合（i）的結(jié)論求出，利用的范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得出的值域.
【小問(wèn)1詳解】
連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F，設(shè)，則，
由B，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，得，解得，
因此，即，則，
由是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，得的面積
由，得，由，得，
則，所以的面積.
【小問(wèn)2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，則，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
【小問(wèn)3詳解】
（i）由，得為的重心，
連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)，則為BC中點(diǎn)，，
因此
由D，G，E三點(diǎn)共線，得，所以
（ii）由正△ABC的邊長(zhǎng)為1，得，，，
在△ADE中，，
則，
由，得，即，
因此，
又，則，
由，，得，，又，則有，
而，于是，
由，得，則的最小值為，最大值為，
即，在上單調(diào)遞增，則，
所以的值域?yàn)?
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：借助余弦定理求出函數(shù)，再利用不等式性質(zhì)及二次函數(shù)性質(zhì)求出的范圍是求得答案的關(guān)鍵.

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