試卷滿(mǎn)分：150分
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．
1. 已知向量，，，若，則（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
故選：B
2. 將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的遞增區(qū)間是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平移得，進(jìn)而根據(jù)整體法即可求解單調(diào)區(qū)間.
【詳解】根據(jù)題意可知，
令,解得，，
故的遞增區(qū)間是，，
故選：D
3. 若且P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由或求解即可；
詳解】由題意得或．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，即；
當(dāng)時(shí)，，所以，即．
故選：D
4. 定義：，其中為向量與的夾角.若，，，則（ ）
A. B. C. 6D. －6
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積可求向量夾角的余弦值，從而可得夾角的正弦值，故可求.
【詳解】因?yàn)椋剩?br>而，故，故，
故選：A
5 設(shè)，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二倍角的正切公式與兩角和的正切公式求解，再分析角度范圍得到即可
【詳解】因?yàn)?，所以，且，所以，則
故選：A．
6. 在中，，則一定是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 銳角三角形D. 鈍角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】應(yīng)用投影向量的定義得出三角形形狀即可.
【詳解】由，
可知在上的投影向量為，
即點(diǎn)在邊上的投影為邊的中點(diǎn)，
所以，為等腰三角形．
故選：B.
7. 已知，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)向量，的夾角為，求得的表達(dá)式，利用平方的方法，結(jié)合余弦函數(shù)的值域等知識(shí)求得正確答案.
【詳解】設(shè)向量，的夾角為，則，
因?yàn)椋?br>所以，
令，則，
因?yàn)?，所以，又，所?
故選：C
8. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，邊上的中線、高線、角平分線長(zhǎng)分別是，，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A中，由正弦定理可得中線的表達(dá)式，判斷出A的真假；B中，由三角形等面積法求出角平分線的表達(dá)式，判斷出B的真假；C中，由三角形等面積法求出高的表達(dá)式，判斷出C的真假；D中，由選項(xiàng)的分析，可得三角形的面積的表達(dá)式，判斷出D的真假．
【詳解】A：設(shè)為的中線，由可得,可得，
即，所以A正確；
B中，設(shè)，設(shè)為的角平分線，所以，
由三角形等面積法可得，
可得，
所以，即，所以B正確；
設(shè)為邊上的高，由等面積法可得，
所以，因?yàn)?，由余弦定理可得?br>所以，
所以，
即，所以C正確；
D中，由C可得，所以D不正確．
故選：D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列化簡(jiǎn)正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得A錯(cuò)誤，根據(jù)二倍角的正弦公式計(jì)算可得B正確，將式子分解結(jié)合二倍角的余弦公式可計(jì)算C錯(cuò)誤，根據(jù)二倍角的正切公式的逆運(yùn)用可計(jì)算D正確.
【詳解】對(duì)于A，易知，可得A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，易知，即B正確；
對(duì)于C，易知
，即可得C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，可得D正確.
故選：BD
10. 如圖是函數(shù)的部分圖象，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的周期是
B. 點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
C. 直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸
D. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出、，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】由圖可得，所以，則，解得，
即函數(shù)的最小正周期是，故A正確；
又，所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
又，所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故B正確；
因?yàn)椋?br>所以直線不是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故C錯(cuò)誤；
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，
顯然為非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：AB
11. 如圖，直線與的邊分別相交于點(diǎn)，設(shè)，則（ ）
A. 面積B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由正弦定理和面積公式求出A正確；B選項(xiàng)，，由正弦定理得到B錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，利用向量加法法則得到，進(jìn)而由數(shù)量積的運(yùn)算法則得到答案.
【詳解】A選項(xiàng)，由正弦定理得，即，
的面積，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>由正弦定理得，B錯(cuò)誤；
CD選項(xiàng)，因，所以，
即，
故，
即，
所以，C錯(cuò)誤，D正確，
故選：AD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 如圖所示，小明和小寧家都住在東方明珠塔附近的同一幢樓上，小明家在層，小寧家位于小明家正上方的層，已知.小明在家測(cè)得東方明珠塔尖的仰角為，小寧在家測(cè)得東方明珠塔尖的仰角為，則他倆所住的這幢樓與東方明珠塔之間的距離__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義得到方程，解出即可.
【詳解】分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，
則根據(jù)正切函數(shù)的定義得，，
則，解得.
故答案為：.
13. 已知，如果與的夾角為鈍角，則的取值范圍是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量夾角為鈍角可得其數(shù)量積小于零，且不共線，解不等式即可.
【詳解】向量與的夾角為鈍角，則，
解得或；
又向量與不共線，所以，解得且；
故所求的取值范圍是.
故答案為：
14. 在邊長(zhǎng)為4的正方形中，，以F為圓心，1為半徑作半圓與交于M，N兩點(diǎn)，如圖所示．點(diǎn)P為弧上任意一點(diǎn)，向量最大值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】過(guò)作交于點(diǎn)，可知當(dāng)與半圓相切時(shí)，最大，再利用三角函數(shù)求解即可.
【詳解】過(guò)作交于點(diǎn)，根據(jù)投影向量的概念可得，
設(shè)，所以，
當(dāng)與半圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，
過(guò)作交于點(diǎn)，連接，
當(dāng)取得最大值時(shí)，且，
因?yàn)?，正方形邊長(zhǎng)為4，則，，
所以，
所以，
則，所以，
得，所以的最大值為.
所以最大值為.
故答案為：24.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟．
15. 化簡(jiǎn)下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的加法、減法法則計(jì)算即可；
（2）應(yīng)用向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可；
（3）利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
；
【小問(wèn)2詳解】
；
【小問(wèn)3詳解】
.
16. 的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）求；
（2）若，的面積為．求的周長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)即可；
(2)根據(jù)面積公式結(jié)合余弦定理求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由可得，
解得或（舍），故.
又為內(nèi)角，故.
【小問(wèn)2詳解】
，則，解得.
由余弦定理可得，
解得.
故的周長(zhǎng)為.
17. 如圖所示，在中，是邊邊上中線，為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)直線交邊，于，兩點(diǎn)，設(shè)，，（，與點(diǎn)，不重合）
（1）證明：為定值；
（2）求的最小值，并求此時(shí)的，的值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，從而由三點(diǎn)共線，可得答案；
（2）結(jié)合（1）可得，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得結(jié)果.
小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槭沁呥吷现芯€，，所以.
又是的中點(diǎn)，，
所以.
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以且
所以，即為定值；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，等號(hào)成立.
所以時(shí)，的最小值.
18. 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)W，E，F(xiàn)，M分別在邊，，，上，，，與交于點(diǎn)，，記．
（1）記四邊形的面積為的函數(shù)，周長(zhǎng)為的函數(shù)，
（i）證明：；
（ii）求的最大值；
（2）求四邊形面積的最小值．
【答案】（1）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）（i）根據(jù)已知條件求出，，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解；
（ii）根據(jù)（i）的結(jié)論及重要不等式即可求解；
（2）根據(jù)已知條件求出四邊形的面積的表達(dá)式，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
（i）由題知：，．
所以．
（ii）由（i）知：，
當(dāng)時(shí)，時(shí)取等號(hào)，
所以，
故當(dāng)時(shí)，的最大值為．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>令，所以，
令，
對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，
若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
若，則在上單調(diào)遞減，
所以，
綜上，當(dāng)時(shí)，四邊形面積最小值為；
當(dāng)時(shí)，四邊形面積最小值為.
19. （1）借助兩角和與差公式證明：；
（2）當(dāng)時(shí)，利用所給圖形證明（1）中等式；
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）利用即可求證；
（2）在中利用算兩次思想求得及即可.
【詳解】（1）由題意得，，
，
兩式相加得，．
（2）由題意得，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．
如圖，過(guò)作垂直于軸，交軸于，則，．
在中，，
在中，，
∴，
即．

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