1. 已知角，向量，，若，則（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值.
【詳解】因為，則，
向量，，若，則，可得，
故.
故選：B.
2. 已知，則＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用誘導(dǎo)公式及齊次式，即可求解.
【詳解】因為，所以，
故選：C.
3. 已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，如圖所示．則（ ）
A. 12B. 4C. 6D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，可得出，，，再結(jié)合平面向量坐標(biāo)的線性運算性質(zhì)即可求解.
【詳解】網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，
，
.
故選：C．
4. 若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和二倍角公式，可求出和的值，再計算即可.
【詳解】，，
，，
，化簡得，，
.
故選：C.
5. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖象求出的解析式，再由圖象平移確定的解析式，進(jìn)而求函數(shù)值.
【詳解】由圖知，則，
由，則，可得，
又，則，故，
由題意，故.
故選：B
6. 已知向量，滿足，，，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解．
【詳解】，則是單位向量，
由，，，得，，
，
在上的投影向量為，
故選：A．
7. 如圖，在三角形中，已知邊上的兩條中線相交于點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法1，將作為與的夾角，利用向量知識結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得答案；
方法2，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示完成運算；
方法3，利用余弦定理計算可得答案.
【詳解】法一：分別是的中點，.
與的夾角等于，
，
則；
法二：以為軸，過點作與垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則
，
則
；
法三：在中，由余弦定理，
又因為P為的重心，則，
在中再由余弦定理，
在中由余弦定理，
在中，由余弦定理，則
.
故選：D.
8. 在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理可得，再根據(jù)三角恒等變換可得，由三角形形狀得出角的取值范圍可得結(jié)果.
【詳解】由及正弦定理得，
所以，得，
所以或（舍去），所以，
因為是銳角三角形，故，解得，
故，，
.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用二倍角公式將化簡得出對應(yīng)表達(dá)式，由得出取值范圍.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分；部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知平面向量滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 與的夾角為
C. D. 的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】由模長的計算可得A錯誤、C正確；由夾角的計算可得B正確；設(shè)，由模長的計算和可得D正確；
【詳解】選項A：由得，又，所以，所以A錯誤；
選項B：設(shè)與的夾角為，則，因為，所以，所以B正確；
選項C：，所以，所以C正確；
選項D：設(shè)，則，
所以，
因為，所以，
因為，所以，
所以當(dāng)且僅當(dāng)與反向共線時，取得最大值，且最大值為，所以D正確．
故選：BCD
10. 對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（ ）
A. 與有相同的零點B. 與有相同的最大值
C. 與最小正周期不相同D. 與的圖象存在相同的對稱軸
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角恒等變換化簡兩個函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷AD選項；利用正弦型的最值可判斷B選項；利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷C選項.
【詳解】因為，
，
對于A選項，對于函數(shù)，由，可得，
對于函數(shù)，由，可得，
故函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，
所以，函數(shù)、沒有相同的零點，A錯；
對于B選項，的最大值為，的最大值為，故與的最大值相同，B對；
對于C選項，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，
這兩個函數(shù)的最小正周期不同，C對；
對于D選項，因為，，
所以，函數(shù)與的圖象存在相同的對稱軸，D對.
故選：BCD.
11. （多選）如圖，以為圓心，半徑為1的圓始終內(nèi)切于四邊形，且，，則當(dāng)增大時，下列說法正確的有（ ）
A. 單調(diào)遞減B. 恒為定值
C. 單調(diào)遞減D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】建系，，，由過點分別作，，的垂線，交點為,得到，再結(jié)合兩點間距離公式，得到，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示逐個判斷即可；
【詳解】
如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，
其中，．過點分別作，，的垂線，交點為,
易知，
所以，
所以，即．而，，
且，，
當(dāng)增大時，也增大，所以ABD正確，C錯誤；
故答案為：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 已知向量，，且，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)求得m，從而得到的坐標(biāo)求解.
【詳解】因為，所以，
又，，
所以，所以，
則，
所以.
故答案為：
13. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)通增，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，與題設(shè)比較列出不等式組，即可求得答案.
【詳解】由題意令，
則，
由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)通增，且，
故取，則，可得，解得，
結(jié)合，知，
故答案為：
14. 在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則______，的取值范圍為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由正弦定理得到，由三角恒等變換得到，結(jié)合角的范圍，得到，并利用三角恒等變換化簡得到，根據(jù)為銳角三角形，求出，從而得到的取值范圍.
【詳解】，
由正弦定理得，
又，
故，
即，
為銳角三角形，，故，所以，
故，，
又，故，故，
解得，
，
因為為銳角三角形，且，
解得，故，
，，
故.
故答案為：，
【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，
常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟．
15. 已知．
（1）求的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知，角的終邊與單位圓交于點，求．
【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換得到，從而利用求出最小正周期，并整體法求出單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)及求出，結(jié)合三角函數(shù)定義得到，由余弦二倍角公式求出答案.
【小問1詳解】
，
故的最小正周期為，
令，，解得，，
故單調(diào)遞增區(qū)間為
【小問2詳解】
，即，
因為，所以，
故，解得，
角的終邊與單位圓交于點，故，
所以
.
16. 某市一棚戶區(qū)改造用地平面示意圖如圖所示.該區(qū)域是半徑為的圓面，圓面的內(nèi)接四邊形是原棚戶區(qū)建筑用地，測量可知.
（1）求原棚戶區(qū)建筑用地中對角線的長度；
（2）請計算原棚戶區(qū)建筑用地的面積.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，在△和△中利用兩次余弦定理，整理計算即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中所求解得，再利用三角形面積公式即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
，由余弦定理，得
，
，
，
.
故原棚戶區(qū)建筑用地中對角線的長度為.
【小問2詳解】
在△中，因為，
故，又，故可得，則，
故.
即原棚戶區(qū)建筑用地的面積為.
17. 已知函數(shù)，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且經(jīng)過點．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)，方程有解，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若方程在區(qū)間上恰有三個實數(shù)根，且，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由題意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后將點代入中可求出的值，從而可求出函數(shù)解析；
（2）求得，則將問題轉(zhuǎn)化為有解，然后由求出的范圍，從而可求出實數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，則將問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上恰有三個實數(shù)根，然后結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可求出的范圍，從而可求出，進(jìn)而可求出的取值范圍．
【小問1詳解】
設(shè)的最小正周期為，由題意得，得周期，
所以，得，
因為，所以，
所以，
因為圖象過點，所以，得，
因為，所以，
故．
【小問2詳解】
，
即有解，
由，得，
所以，所以，
所以，即．
小問3詳解】
，設(shè)，則，
由“方程在區(qū)間上恰有三個實數(shù)根”，
得“方程在區(qū)間上恰有三個實數(shù)根”，
則的圖象如下：
即，
由圖得，，，
即，
綜上．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查由正弦函數(shù)的性質(zhì)求正弦函數(shù)的解析式，考查函數(shù)與方程的綜合問題，考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，第（3）問解題的關(guān)鍵是通過換元后，將問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上恰有三個實數(shù)根，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.
18. 如圖1所示，在中，點在線段BC上，滿足是線段AB上的點，且滿足，線段CG與線段AD交于點．
（1）若，求實數(shù)x，y的值；
（2）若，求實數(shù)的值；
（3）如圖2，過點的直線與邊AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，設(shè)，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算以為基底表示，進(jìn)而求解；
（2）根據(jù)向量的線性運算以為基底表示,又因為兩向量共線所以具有倍數(shù)關(guān)系，求出的值；
（3）根據(jù)向量的線性運算以為基底表示，又因為三點共線，所以系數(shù)之和為1，得出，然后應(yīng)用基本不等式中1的代換求出的最小值.
【小問1詳解】
因所以，
所以,
所以.
【小問2詳解】
由題意可知：，
，
又因為三點共線，所以存在實數(shù)使得,
，
所以，解得：，
所以.
【小問3詳解】
易知，
由（2）知，
又因為三點共線,所以，又，
所以：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.
19. 如圖，設(shè)、是平面內(nèi)相交成的兩條射線，、分別為、同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，若，則記.
（1）在仿射坐標(biāo)系中，若，求；
（2）在仿射坐標(biāo)系中，若，，且與的夾角為，求；
（3）如圖所示，在仿射坐標(biāo)系中，、分別在軸、軸正半軸上，，，、分別為、中點，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由題意可知，，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值；
（2）計算出、、，利用平面向量的夾角公式可得出關(guān)于的方程，解之即可；
（3）設(shè)、，利用平面向量的線性運算得出、關(guān)于、的關(guān)系式，利用余弦定理可得出和平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)化簡得出，設(shè)，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等變換以及正弦函數(shù)的有界性可求得的最大值.
【小問1詳解】
由題意可知，、的夾角為，
由平面向量數(shù)量積的定義可得，
因為，則，.
則，所以.
【小問2詳解】
由，，得，，
且，
所以，，
，則，
，
因為與的夾角為，則，解得.
小問3詳解】
依題意設(shè)、，
且，，，
因為為的中點，則，
因為為中點，同理可得，
所以，，
由題意可知，，，
則，
在中依據(jù)余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理，
設(shè)，則，且，
所以，，，
，
為銳角，且，
因為，則，
故當(dāng)時，取最大值，
則
【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標(biāo)運算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．

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